2sqpwodd - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqpwodd 12828

Description: The greatest power of two dividing twice the square of an integer is an odd power of two. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
oddpwdc.j
oddpwdc.f

**Assertion**
Ref	Expression
2sqpwodd

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

**Proof of Theorem 2sqpwodd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwdc.j	. . . . . . . . 9
2		oddpwdc.f	. . . . . . . . 9
3	1, 2	oddpwdc 12826	. . . . . . . 8
4		f1ocnv 5605	. . . . . . . 8
5		f1of 5592	. . . . . . . 8
6	3, 4, 5	mp2b 8	. . . . . . 7
7	6	ffvelcdmi 5789	. . . . . 6
8		xp2nd 6338	. . . . . 6
9	7, 8	syl 14	. . . . 5
10	9	nn0zd 9661	. . . 4
11		2nn 9364	. . . . . 6
12	11	a1i 9	. . . . 5
13	12	nnzd 9662	. . . 4
14	10, 13	zmulcld 9669	. . 3
15		dvdsmul2 12455	. . . 4 $/\$
16	10, 13, 15	syl2anc 411	. . 3
17		oddp1even 12517	. . . . 5
18	17	biimprd 158	. . . 4
19	18	con2d 629	. . 3
20	14, 16, 19	sylc 62	. 2
21		xp1st 6337	. . . . . . . . . . 11
22	7, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10
23		breq2 4097	. . . . . . . . . . . . 13
24	23	notbid 673	. . . . . . . . . . . 12
25	24, 1	elrab2 2966	. . . . . . . . . . 11 $/\$
26	25	simplbi 274	. . . . . . . . . 10
27	22, 26	syl 14	. . . . . . . . 9
28	27	nnsqcld 11019	. . . . . . . 8
29	25	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11
30	22, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10
31		2prm 12779	. . . . . . . . . . 11
32	27	nnzd 9662	. . . . . . . . . . 11
33		euclemma 12798	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
34		oridm 765	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
35	33, 34	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
36	31, 32, 32, 35	mp3an2i 1379	. . . . . . . . . 10
37	30, 36	mtbird 680	. . . . . . . . 9
38	27	nncnd 9216	. . . . . . . . . . 11
39	38	sqvald 10995	. . . . . . . . . 10
40	39	breq2d 4105	. . . . . . . . 9
41	37, 40	mtbird 680	. . . . . . . 8
42		breq2 4097	. . . . . . . . . 10
43	42	notbid 673	. . . . . . . . 9
44	43, 1	elrab2 2966	. . . . . . . 8 $/\$
45	28, 41, 44	sylanbrc 417	. . . . . . 7
46	12	nnnn0d 9516	. . . . . . . . 9
47	9, 46	nn0mulcld 9521	. . . . . . . 8
48		peano2nn0 9501	. . . . . . . 8
49	47, 48	syl 14	. . . . . . 7
50		opelxp 4761	. . . . . . 7 $/\$
51	45, 49, 50	sylanbrc 417	. . . . . 6
52	12	nncnd 9216	. . . . . . . . . . 11
53	52, 47	expp1d 10999	. . . . . . . . . 10
54	52, 47	expcld 10998	. . . . . . . . . . 11
55	54, 52	mulcomd 8260	. . . . . . . . . 10
56	52, 46, 9	expmuld 11001	. . . . . . . . . . 11
57	56	oveq2d 6044	. . . . . . . . . 10
58	53, 55, 57	3eqtrd 2268	. . . . . . . . 9
59	58	oveq1d 6043	. . . . . . . 8
60	12, 49	nnexpcld 11020	. . . . . . . . . 10
61	60, 28	nnmulcld 9251	. . . . . . . . 9
62		oveq2 6036	. . . . . . . . . 10
63		oveq2 6036	. . . . . . . . . . 11
64	63	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10
65	62, 64, 2	ovmpog 6166	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
66	45, 49, 61, 65	syl3anc 1274	. . . . . . . 8
67		f1ocnvfv2 5929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
68	3, 67	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15
69		1st2nd2 6347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
70	7, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71	70	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . . 15
72	68, 71	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . 14
73		df-ov 6031	. . . . . . . . . . . . . 14
74	72, 73	eqtr4di 2282	. . . . . . . . . . . . 13
75	12, 9	nnexpcld 11020	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75, 27	nnmulcld 9251	. . . . . . . . . . . . . 14
77		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . 15
78		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	78	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	77, 79, 2	ovmpog 6166	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	22, 9, 76, 80	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13
82	74, 81	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12
83	82	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11
84	75	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . 12
85	84, 38	sqmuld 11010	. . . . . . . . . . 11
86	83, 85	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10
87	86	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9
88	56, 54	eqeltrrd 2309	. . . . . . . . . 10
89	28	nncnd 9216	. . . . . . . . . 10
90	52, 88, 89	mulassd 8262	. . . . . . . . 9
91	87, 90	eqtr4d 2267	. . . . . . . 8
92	59, 66, 91	3eqtr4rd 2275	. . . . . . 7
93		df-ov 6031	. . . . . . 7
94	92, 93	eqtr2di 2281	. . . . . 6
95		f1ocnvfv 5930	. . . . . . 7 $/\$
96	3, 95	mpan 424	. . . . . 6
97	51, 94, 96	sylc 62	. . . . 5
98	97	fveq2d 5652	. . . 4
99		op2ndg 6323	. . . . 5 $/\$
100	45, 49, 99	syl2anc 411	. . . 4
101	98, 100	eqtrd 2264	. . 3
102	101	breq2d 4105	. 2
103	20, 102	mtbird 680	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 105 $\/$ wo 716 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2202

crab 2515

cop 3676 class class class wbr 4093

cxp 4729

ccnv 4730

wf 5329

wf1o 5332

cfv 5333 (class class class)co 6028

cmpo 6030

c1st 6310

c2nd 6311

cc 8090

c1 8093

caddc 8095

cmul 8097

cn 9202

c2 9253

cn0 9461

cz 9540

cexp 10863

cdvds 12428

cprime 12759

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8183 ax-resscn 8184 ax-1cn 8185 ax-1re 8186 ax-icn 8187 ax-addcl 8188 ax-addrcl 8189 ax-mulcl 8190 ax-mulrcl 8191 ax-addcom 8192 ax-mulcom 8193 ax-addass 8194 ax-mulass 8195 ax-distr 8196 ax-i2m1 8197 ax-0lt1 8198 ax-1rid 8199 ax-0id 8200 ax-rnegex 8201 ax-precex 8202 ax-cnre 8203 ax-pre-ltirr 8204 ax-pre-ltwlin 8205 ax-pre-lttrn 8206 ax-pre-apti 8207 ax-pre-ltadd 8208 ax-pre-mulgt0 8209 ax-pre-mulext 8210 ax-arch 8211 ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-xor 1421 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-frec 6600 df-1o 6625 df-2o 6626 df-er 6745 df-en 6953 df-sup 7243 df-pnf 8275 df-mnf 8276 df-xr 8277 df-ltxr 8278 df-le 8279 df-sub 8411 df-neg 8412 df-reap 8814 df-ap 8821 df-div 8912 df-inn 9203 df-2 9261 df-3 9262 df-4 9263 df-n0 9462 df-z 9541 df-uz 9817 df-q 9915 df-rp 9950 df-fz 10306 df-fzo 10440 df-fl 10593 df-mod 10648 df-seqfrec 10773 df-exp 10864 df-cj 11482 df-re 11483 df-im 11484 df-rsqrt 11638 df-abs 11639 df-dvds 12429 df-gcd 12605 df-prm 12760

This theorem is referenced by: sqne2sq 12829

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