2sqpwodd - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqpwodd 12344

Description: The greatest power of two dividing twice the square of an integer is an odd power of two. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
oddpwdc.j
oddpwdc.f

**Assertion**
Ref	Expression
2sqpwodd

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

**Proof of Theorem 2sqpwodd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwdc.j	. . . . . . . . 9
2		oddpwdc.f	. . . . . . . . 9
3	1, 2	oddpwdc 12342	. . . . . . . 8
4		f1ocnv 5517	. . . . . . . 8
5		f1of 5504	. . . . . . . 8
6	3, 4, 5	mp2b 8	. . . . . . 7
7	6	ffvelcdmi 5696	. . . . . 6
8		xp2nd 6224	. . . . . 6
9	7, 8	syl 14	. . . . 5
10	9	nn0zd 9446	. . . 4
11		2nn 9152	. . . . . 6
12	11	a1i 9	. . . . 5
13	12	nnzd 9447	. . . 4
14	10, 13	zmulcld 9454	. . 3
15		dvdsmul2 11979	. . . 4 $/\$
16	10, 13, 15	syl2anc 411	. . 3
17		oddp1even 12041	. . . . 5
18	17	biimprd 158	. . . 4
19	18	con2d 625	. . 3
20	14, 16, 19	sylc 62	. 2
21		xp1st 6223	. . . . . . . . . . 11
22	7, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10
23		breq2 4037	. . . . . . . . . . . . 13
24	23	notbid 668	. . . . . . . . . . . 12
25	24, 1	elrab2 2923	. . . . . . . . . . 11 $/\$
26	25	simplbi 274	. . . . . . . . . 10
27	22, 26	syl 14	. . . . . . . . 9
28	27	nnsqcld 10786	. . . . . . . 8
29	25	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11
30	22, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10
31		2prm 12295	. . . . . . . . . . 11
32	27	nnzd 9447	. . . . . . . . . . 11
33		euclemma 12314	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
34		oridm 758	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
35	33, 34	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
36	31, 32, 32, 35	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . 10
37	30, 36	mtbird 674	. . . . . . . . 9
38	27	nncnd 9004	. . . . . . . . . . 11
39	38	sqvald 10762	. . . . . . . . . 10
40	39	breq2d 4045	. . . . . . . . 9
41	37, 40	mtbird 674	. . . . . . . 8
42		breq2 4037	. . . . . . . . . 10
43	42	notbid 668	. . . . . . . . 9
44	43, 1	elrab2 2923	. . . . . . . 8 $/\$
45	28, 41, 44	sylanbrc 417	. . . . . . 7
46	12	nnnn0d 9302	. . . . . . . . 9
47	9, 46	nn0mulcld 9307	. . . . . . . 8
48		peano2nn0 9289	. . . . . . . 8
49	47, 48	syl 14	. . . . . . 7
50		opelxp 4693	. . . . . . 7 $/\$
51	45, 49, 50	sylanbrc 417	. . . . . 6
52	12	nncnd 9004	. . . . . . . . . . 11
53	52, 47	expp1d 10766	. . . . . . . . . 10
54	52, 47	expcld 10765	. . . . . . . . . . 11
55	54, 52	mulcomd 8048	. . . . . . . . . 10
56	52, 46, 9	expmuld 10768	. . . . . . . . . . 11
57	56	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10
58	53, 55, 57	3eqtrd 2233	. . . . . . . . 9
59	58	oveq1d 5937	. . . . . . . 8
60	12, 49	nnexpcld 10787	. . . . . . . . . 10
61	60, 28	nnmulcld 9039	. . . . . . . . 9
62		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10
63		oveq2 5930	. . . . . . . . . . 11
64	63	oveq1d 5937	. . . . . . . . . 10
65	62, 64, 2	ovmpog 6057	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
66	45, 49, 61, 65	syl3anc 1249	. . . . . . . 8
67		f1ocnvfv2 5825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
68	3, 67	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15
69		1st2nd2 6233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
70	7, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71	70	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . . . 15
72	68, 71	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . 14
73		df-ov 5925	. . . . . . . . . . . . . 14
74	72, 73	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . . . . 13
75	12, 9	nnexpcld 10787	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75, 27	nnmulcld 9039	. . . . . . . . . . . . . 14
77		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . 15
78		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	78	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	77, 79, 2	ovmpog 6057	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	22, 9, 76, 80	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13
82	74, 81	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12
83	82	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11
84	75	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . 12
85	84, 38	sqmuld 10777	. . . . . . . . . . 11
86	83, 85	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10
87	86	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9
88	56, 54	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . . 10
89	28	nncnd 9004	. . . . . . . . . 10
90	52, 88, 89	mulassd 8050	. . . . . . . . 9
91	87, 90	eqtr4d 2232	. . . . . . . 8
92	59, 66, 91	3eqtr4rd 2240	. . . . . . 7
93		df-ov 5925	. . . . . . 7
94	92, 93	eqtr2di 2246	. . . . . 6
95		f1ocnvfv 5826	. . . . . . 7 $/\$
96	3, 95	mpan 424	. . . . . 6
97	51, 94, 96	sylc 62	. . . . 5
98	97	fveq2d 5562	. . . 4
99		op2ndg 6209	. . . . 5 $/\$
100	45, 49, 99	syl2anc 411	. . . 4
101	98, 100	eqtrd 2229	. . 3
102	101	breq2d 4045	. 2
103	20, 102	mtbird 674	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 105 $\/$ wo 709 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

crab 2479

cop 3625 class class class wbr 4033

cxp 4661

ccnv 4662

wf 5254

wf1o 5257

cfv 5258 (class class class)co 5922

cmpo 5924

c1st 6196

c2nd 6197

cc 7877

c1 7880

caddc 7882

cmul 7884

cn 8990

c2 9041

cn0 9249

cz 9326

cexp 10630

cdvds 11952

cprime 12275

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-xor 1387 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-frec 6449 df-1o 6474 df-2o 6475 df-er 6592 df-en 6800 df-sup 7050 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-dvds 11953 df-gcd 12121 df-prm 12276

This theorem is referenced by: sqne2sq 12345

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