2sqpwodd - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqpwodd 12698

Description: The greatest power of two dividing twice the square of an integer is an odd power of two. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
oddpwdc.j
oddpwdc.f

**Assertion**
Ref	Expression
2sqpwodd

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

**Proof of Theorem 2sqpwodd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwdc.j	. . . . . . . . 9
2		oddpwdc.f	. . . . . . . . 9
3	1, 2	oddpwdc 12696	. . . . . . . 8
4		f1ocnv 5585	. . . . . . . 8
5		f1of 5572	. . . . . . . 8
6	3, 4, 5	mp2b 8	. . . . . . 7
7	6	ffvelcdmi 5769	. . . . . 6
8		xp2nd 6312	. . . . . 6
9	7, 8	syl 14	. . . . 5
10	9	nn0zd 9567	. . . 4
11		2nn 9272	. . . . . 6
12	11	a1i 9	. . . . 5
13	12	nnzd 9568	. . . 4
14	10, 13	zmulcld 9575	. . 3
15		dvdsmul2 12325	. . . 4 $/\$
16	10, 13, 15	syl2anc 411	. . 3
17		oddp1even 12387	. . . . 5
18	17	biimprd 158	. . . 4
19	18	con2d 627	. . 3
20	14, 16, 19	sylc 62	. 2
21		xp1st 6311	. . . . . . . . . . 11
22	7, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10
23		breq2 4087	. . . . . . . . . . . . 13
24	23	notbid 671	. . . . . . . . . . . 12
25	24, 1	elrab2 2962	. . . . . . . . . . 11 $/\$
26	25	simplbi 274	. . . . . . . . . 10
27	22, 26	syl 14	. . . . . . . . 9
28	27	nnsqcld 10916	. . . . . . . 8
29	25	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11
30	22, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10
31		2prm 12649	. . . . . . . . . . 11
32	27	nnzd 9568	. . . . . . . . . . 11
33		euclemma 12668	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
34		oridm 762	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
35	33, 34	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
36	31, 32, 32, 35	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . 10
37	30, 36	mtbird 677	. . . . . . . . 9
38	27	nncnd 9124	. . . . . . . . . . 11
39	38	sqvald 10892	. . . . . . . . . 10
40	39	breq2d 4095	. . . . . . . . 9
41	37, 40	mtbird 677	. . . . . . . 8
42		breq2 4087	. . . . . . . . . 10
43	42	notbid 671	. . . . . . . . 9
44	43, 1	elrab2 2962	. . . . . . . 8 $/\$
45	28, 41, 44	sylanbrc 417	. . . . . . 7
46	12	nnnn0d 9422	. . . . . . . . 9
47	9, 46	nn0mulcld 9427	. . . . . . . 8
48		peano2nn0 9409	. . . . . . . 8
49	47, 48	syl 14	. . . . . . 7
50		opelxp 4749	. . . . . . 7 $/\$
51	45, 49, 50	sylanbrc 417	. . . . . 6
52	12	nncnd 9124	. . . . . . . . . . 11
53	52, 47	expp1d 10896	. . . . . . . . . 10
54	52, 47	expcld 10895	. . . . . . . . . . 11
55	54, 52	mulcomd 8168	. . . . . . . . . 10
56	52, 46, 9	expmuld 10898	. . . . . . . . . . 11
57	56	oveq2d 6017	. . . . . . . . . 10
58	53, 55, 57	3eqtrd 2266	. . . . . . . . 9
59	58	oveq1d 6016	. . . . . . . 8
60	12, 49	nnexpcld 10917	. . . . . . . . . 10
61	60, 28	nnmulcld 9159	. . . . . . . . 9
62		oveq2 6009	. . . . . . . . . 10
63		oveq2 6009	. . . . . . . . . . 11
64	63	oveq1d 6016	. . . . . . . . . 10
65	62, 64, 2	ovmpog 6139	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
66	45, 49, 61, 65	syl3anc 1271	. . . . . . . 8
67		f1ocnvfv2 5902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
68	3, 67	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15
69		1st2nd2 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
70	7, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71	70	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . . . . 15
72	68, 71	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . 14
73		df-ov 6004	. . . . . . . . . . . . . 14
74	72, 73	eqtr4di 2280	. . . . . . . . . . . . 13
75	12, 9	nnexpcld 10917	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75, 27	nnmulcld 9159	. . . . . . . . . . . . . 14
77		oveq2 6009	. . . . . . . . . . . . . . 15
78		oveq2 6009	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	78	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	77, 79, 2	ovmpog 6139	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	22, 9, 76, 80	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13
82	74, 81	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12
83	82	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . 11
84	75	nncnd 9124	. . . . . . . . . . . 12
85	84, 38	sqmuld 10907	. . . . . . . . . . 11
86	83, 85	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10
87	86	oveq2d 6017	. . . . . . . . 9
88	56, 54	eqeltrrd 2307	. . . . . . . . . 10
89	28	nncnd 9124	. . . . . . . . . 10
90	52, 88, 89	mulassd 8170	. . . . . . . . 9
91	87, 90	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8
92	59, 66, 91	3eqtr4rd 2273	. . . . . . 7
93		df-ov 6004	. . . . . . 7
94	92, 93	eqtr2di 2279	. . . . . 6
95		f1ocnvfv 5903	. . . . . . 7 $/\$
96	3, 95	mpan 424	. . . . . 6
97	51, 94, 96	sylc 62	. . . . 5
98	97	fveq2d 5631	. . . 4
99		op2ndg 6297	. . . . 5 $/\$
100	45, 49, 99	syl2anc 411	. . . 4
101	98, 100	eqtrd 2262	. . 3
102	101	breq2d 4095	. 2
103	20, 102	mtbird 677	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 105 $\/$ wo 713 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

crab 2512

cop 3669 class class class wbr 4083

cxp 4717

ccnv 4718

wf 5314

wf1o 5317

cfv 5318 (class class class)co 6001

cmpo 6003

c1st 6284

c2nd 6285

cc 7997

c1 8000

caddc 8002

cmul 8004

cn 9110

c2 9161

cn0 9369

cz 9446

cexp 10760

cdvds 12298

cprime 12629

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8090 ax-resscn 8091 ax-1cn 8092 ax-1re 8093 ax-icn 8094 ax-addcl 8095 ax-addrcl 8096 ax-mulcl 8097 ax-mulrcl 8098 ax-addcom 8099 ax-mulcom 8100 ax-addass 8101 ax-mulass 8102 ax-distr 8103 ax-i2m1 8104 ax-0lt1 8105 ax-1rid 8106 ax-0id 8107 ax-rnegex 8108 ax-precex 8109 ax-cnre 8110 ax-pre-ltirr 8111 ax-pre-ltwlin 8112 ax-pre-lttrn 8113 ax-pre-apti 8114 ax-pre-ltadd 8115 ax-pre-mulgt0 8116 ax-pre-mulext 8117 ax-arch 8118 ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-xor 1418 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5954 df-ov 6004 df-oprab 6005 df-mpo 6006 df-1st 6286 df-2nd 6287 df-recs 6451 df-frec 6537 df-1o 6562 df-2o 6563 df-er 6680 df-en 6888 df-sup 7151 df-pnf 8183 df-mnf 8184 df-xr 8185 df-ltxr 8186 df-le 8187 df-sub 8319 df-neg 8320 df-reap 8722 df-ap 8729 df-div 8820 df-inn 9111 df-2 9169 df-3 9170 df-4 9171 df-n0 9370 df-z 9447 df-uz 9723 df-q 9815 df-rp 9850 df-fz 10205 df-fzo 10339 df-fl 10490 df-mod 10545 df-seqfrec 10670 df-exp 10761 df-cj 11353 df-re 11354 df-im 11355 df-rsqrt 11509 df-abs 11510 df-dvds 12299 df-gcd 12475 df-prm 12630

This theorem is referenced by: sqne2sq 12699

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