2sqpwodd - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2sqpwodd 12159

Description: The greatest power of two dividing twice the square of an integer is an odd power of two. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
oddpwdc.j
oddpwdc.f

**Assertion**
Ref	Expression
2sqpwodd

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

**Proof of Theorem 2sqpwodd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwdc.j	. . . . . . . . 9
2		oddpwdc.f	. . . . . . . . 9
3	1, 2	oddpwdc 12157	. . . . . . . 8
4		f1ocnv 5470	. . . . . . . 8
5		f1of 5457	. . . . . . . 8
6	3, 4, 5	mp2b 8	. . . . . . 7
7	6	ffvelcdmi 5646	. . . . . 6
8		xp2nd 6161	. . . . . 6
9	7, 8	syl 14	. . . . 5
10	9	nn0zd 9362	. . . 4
11		2nn 9069	. . . . . 6
12	11	a1i 9	. . . . 5
13	12	nnzd 9363	. . . 4
14	10, 13	zmulcld 9370	. . 3
15		dvdsmul2 11805	. . . 4 $/\$
16	10, 13, 15	syl2anc 411	. . 3
17		oddp1even 11864	. . . . 5
18	17	biimprd 158	. . . 4
19	18	con2d 624	. . 3
20	14, 16, 19	sylc 62	. 2
21		xp1st 6160	. . . . . . . . . . 11
22	7, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10
23		breq2 4004	. . . . . . . . . . . . 13
24	23	notbid 667	. . . . . . . . . . . 12
25	24, 1	elrab2 2896	. . . . . . . . . . 11 $/\$
26	25	simplbi 274	. . . . . . . . . 10
27	22, 26	syl 14	. . . . . . . . 9
28	27	nnsqcld 10660	. . . . . . . 8
29	25	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11
30	22, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10
31		2prm 12110	. . . . . . . . . . 11
32	27	nnzd 9363	. . . . . . . . . . 11
33		euclemma 12129	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
34		oridm 757	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
35	33, 34	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
36	31, 32, 32, 35	mp3an2i 1342	. . . . . . . . . 10
37	30, 36	mtbird 673	. . . . . . . . 9
38	27	nncnd 8922	. . . . . . . . . . 11
39	38	sqvald 10636	. . . . . . . . . 10
40	39	breq2d 4012	. . . . . . . . 9
41	37, 40	mtbird 673	. . . . . . . 8
42		breq2 4004	. . . . . . . . . 10
43	42	notbid 667	. . . . . . . . 9
44	43, 1	elrab2 2896	. . . . . . . 8 $/\$
45	28, 41, 44	sylanbrc 417	. . . . . . 7
46	12	nnnn0d 9218	. . . . . . . . 9
47	9, 46	nn0mulcld 9223	. . . . . . . 8
48		peano2nn0 9205	. . . . . . . 8
49	47, 48	syl 14	. . . . . . 7
50		opelxp 4653	. . . . . . 7 $/\$
51	45, 49, 50	sylanbrc 417	. . . . . 6
52	12	nncnd 8922	. . . . . . . . . . 11
53	52, 47	expp1d 10640	. . . . . . . . . 10
54	52, 47	expcld 10639	. . . . . . . . . . 11
55	54, 52	mulcomd 7969	. . . . . . . . . 10
56	52, 46, 9	expmuld 10642	. . . . . . . . . . 11
57	56	oveq2d 5885	. . . . . . . . . 10
58	53, 55, 57	3eqtrd 2214	. . . . . . . . 9
59	58	oveq1d 5884	. . . . . . . 8
60	12, 49	nnexpcld 10661	. . . . . . . . . 10
61	60, 28	nnmulcld 8957	. . . . . . . . 9
62		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10
63		oveq2 5877	. . . . . . . . . . 11
64	63	oveq1d 5884	. . . . . . . . . 10
65	62, 64, 2	ovmpog 6003	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
66	45, 49, 61, 65	syl3anc 1238	. . . . . . . 8
67		f1ocnvfv2 5773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
68	3, 67	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15
69		1st2nd2 6170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
70	7, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71	70	fveq2d 5515	. . . . . . . . . . . . . . 15
72	68, 71	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . . 14
73		df-ov 5872	. . . . . . . . . . . . . 14
74	72, 73	eqtr4di 2228	. . . . . . . . . . . . 13
75	12, 9	nnexpcld 10661	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75, 27	nnmulcld 8957	. . . . . . . . . . . . . 14
77		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . 15
78		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	78	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	77, 79, 2	ovmpog 6003	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	22, 9, 76, 80	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13
82	74, 81	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12
83	82	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . 11
84	75	nncnd 8922	. . . . . . . . . . . 12
85	84, 38	sqmuld 10651	. . . . . . . . . . 11
86	83, 85	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10
87	86	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9
88	56, 54	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . 10
89	28	nncnd 8922	. . . . . . . . . 10
90	52, 88, 89	mulassd 7971	. . . . . . . . 9
91	87, 90	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8
92	59, 66, 91	3eqtr4rd 2221	. . . . . . 7
93		df-ov 5872	. . . . . . 7
94	92, 93	eqtr2di 2227	. . . . . 6
95		f1ocnvfv 5774	. . . . . . 7 $/\$
96	3, 95	mpan 424	. . . . . 6
97	51, 94, 96	sylc 62	. . . . 5
98	97	fveq2d 5515	. . . 4
99		op2ndg 6146	. . . . 5 $/\$
100	45, 49, 99	syl2anc 411	. . . 4
101	98, 100	eqtrd 2210	. . 3
102	101	breq2d 4012	. 2
103	20, 102	mtbird 673	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 105 $\/$ wo 708 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

crab 2459

cop 3594 class class class wbr 4000

cxp 4621

ccnv 4622

wf 5208

wf1o 5211

cfv 5212 (class class class)co 5869

cmpo 5871

c1st 6133

c2nd 6134

cc 7800

c1 7803

caddc 7805

cmul 7807

cn 8908

c2 8959

cn0 9165

cz 9242

cexp 10505

cdvds 11778

cprime 12090

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-xor 1376 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-1o 6411 df-2o 6412 df-er 6529 df-en 6735 df-sup 6977 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-fl 10256 df-mod 10309 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-dvds 11779 df-gcd 11927 df-prm 12091

This theorem is referenced by: sqne2sq 12160

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