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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > sqpweven | Unicode version |
Description: The greatest power of two dividing the square of an integer is an even power of two. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.) |
Ref | Expression |
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oddpwdc.j |
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oddpwdc.f |
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sqpweven |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oddpwdc.j |
. . . . . . . 8
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2 | oddpwdc.f |
. . . . . . . 8
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3 | 1, 2 | oddpwdc 11888 |
. . . . . . 7
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4 | f1ocnv 5388 |
. . . . . . 7
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5 | f1of 5375 |
. . . . . . 7
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6 | 3, 4, 5 | mp2b 8 |
. . . . . 6
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7 | 6 | ffvelrni 5562 |
. . . . 5
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8 | xp2nd 6072 |
. . . . 5
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9 | 7, 8 | syl 14 |
. . . 4
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10 | 9 | nn0zd 9195 |
. . 3
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11 | 2nn 8905 |
. . . . 5
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12 | 11 | a1i 9 |
. . . 4
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13 | 12 | nnzd 9196 |
. . 3
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14 | dvdsmul2 11552 |
. . 3
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15 | 10, 13, 14 | syl2anc 409 |
. 2
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16 | xp1st 6071 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 7, 16 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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18 | breq2 3941 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 18 | notbid 657 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 19, 1 | elrab2 2847 |
. . . . . . . . . 10
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21 | 20 | simplbi 272 |
. . . . . . . . 9
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22 | 17, 21 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | nnsqcld 10476 |
. . . . . . 7
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24 | 20 | simprbi 273 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 17, 24 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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26 | 2prm 11844 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 22 | nnzd 9196 |
. . . . . . . . . 10
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28 | euclemma 11860 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | oridm 747 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 28, 29 | syl6bb 195 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 26, 27, 27, 30 | mp3an2i 1321 |
. . . . . . . . 9
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32 | 25, 31 | mtbird 663 |
. . . . . . . 8
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33 | 22 | nncnd 8758 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33 | sqvald 10452 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | breq2d 3949 |
. . . . . . . 8
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36 | 32, 35 | mtbird 663 |
. . . . . . 7
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37 | breq2 3941 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | notbid 657 |
. . . . . . . 8
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39 | 38, 1 | elrab2 2847 |
. . . . . . 7
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40 | 23, 36, 39 | sylanbrc 414 |
. . . . . 6
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41 | 12 | nnnn0d 9054 |
. . . . . . 7
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42 | 9, 41 | nn0mulcld 9059 |
. . . . . 6
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43 | opelxp 4577 |
. . . . . 6
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44 | 40, 42, 43 | sylanbrc 414 |
. . . . 5
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45 | 12 | nncnd 8758 |
. . . . . . . . 9
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46 | 45, 41, 9 | expmuld 10458 |
. . . . . . . 8
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47 | 46 | oveq1d 5797 |
. . . . . . 7
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48 | 12, 42 | nnexpcld 10477 |
. . . . . . . . 9
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49 | 48, 23 | nnmulcld 8793 |
. . . . . . . 8
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50 | oveq2 5790 |
. . . . . . . . 9
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51 | oveq2 5790 |
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52 | 51 | oveq1d 5797 |
. . . . . . . . 9
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53 | 50, 52, 2 | ovmpog 5913 |
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54 | 40, 42, 49, 53 | syl3anc 1217 |
. . . . . . 7
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55 | f1ocnvfv2 5687 |
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56 | 3, 55 | mpan 421 |
. . . . . . . . . . . 12
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57 | 1st2nd2 6081 |
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58 | 7, 57 | syl 14 |
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60 | 56, 59 | eqtr3d 2175 |
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61 | df-ov 5785 |
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62 | 60, 61 | eqtr4di 2191 |
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63 | 12, 9 | nnexpcld 10477 |
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64 | 63, 22 | nnmulcld 8793 |
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65 | oveq2 5790 |
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66 | oveq2 5790 |
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67 | 66 | oveq1d 5797 |
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68 | 65, 67, 2 | ovmpog 5913 |
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69 | 17, 9, 64, 68 | syl3anc 1217 |
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70 | 62, 69 | eqtrd 2173 |
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71 | 70 | oveq1d 5797 |
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72 | 63 | nncnd 8758 |
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73 | 72, 33 | sqmuld 10467 |
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74 | 71, 73 | eqtrd 2173 |
. . . . . . 7
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75 | 47, 54, 74 | 3eqtr4rd 2184 |
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76 | df-ov 5785 |
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77 | 75, 76 | eqtr2di 2190 |
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78 | f1ocnvfv 5688 |
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79 | 3, 78 | mpan 421 |
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80 | 44, 77, 79 | sylc 62 |
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81 | 80 | fveq2d 5433 |
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82 | op2ndg 6057 |
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83 | 40, 42, 82 | syl2anc 409 |
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84 | 81, 83 | eqtrd 2173 |
. 2
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85 | 15, 84 | breqtrrd 3964 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 817 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-1o 6321 df-2o 6322 df-er 6437 df-en 6643 df-sup 6879 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-fz 9822 df-fzo 9951 df-fl 10074 df-mod 10127 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-dvds 11530 df-gcd 11672 df-prm 11825 |
This theorem is referenced by: sqne2sq 11891 |
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