Theorem fcdmnn0supp 9594

Description: Two ways to write the support of a function into NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fcdmnn0supp	|- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) )

Proof of Theorem fcdmnn0supp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8310	. . . 4 |- 0 e. _V
2		fsuppeq 6477	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ 0 e. _V ) -> ( F : I --> NN0 -> ( F supp 0 ) = ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) ) )
3	1, 2	mpan2 429	. . 3 |- ( I e. V -> ( F : I --> NN0 -> ( F supp 0 ) = ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) ) )
4	3	imp 124	. 2 |- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) )
5		dfn2 9555	. . 3 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
6	5	imaeq2i 5119	. 2 |- ( `' F " NN ) = ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) )
7	4, 6	eqtr4di 2289	1 |- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   {csn 3705   `'ccnv 4768   "cima 4772   -->wf 5368  (class class class)co 6075   supp csupp 6465   0cc0 8169   NNcn 9283   NN0cn0 9542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-supp 6466  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-inn 9284  df-n0 9543

This theorem is referenced by: (None)