Theorem fcdmnn0supp 9615

Description: Two ways to write the support of a function into NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fcdmnn0supp	|- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) )

Proof of Theorem fcdmnn0supp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8320	. . . 4 |- 0 e. _V
2		fsuppeq 6487	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ 0 e. _V ) -> ( F : I --> NN0 -> ( F supp 0 ) = ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) ) )
3	1, 2	mpan2 429	. . 3 |- ( I e. V -> ( F : I --> NN0 -> ( F supp 0 ) = ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) ) )
4	3	imp 124	. 2 |- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) )
5		dfn2 9576	. . 3 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
6	5	imaeq2i 5124	. 2 |- ( `' F " NN ) = ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) )
7	4, 6	eqtr4di 2289	1 |- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   {csn 3709   `'ccnv 4773   "cima 4777   -->wf 5373  (class class class)co 6085   supp csupp 6475   0cc0 8179   NNcn 9304   NN0cn0 9563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-supp 6476  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9305  df-n0 9564

This theorem is used by: (None)