Theorem fcdmnn0supp 9626

Description: Two ways to write the support of a function into NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fcdmnn0supp	|- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) )

Proof of Theorem fcdmnn0supp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8326	. . . 4 |- 0 e. _V
2		fsuppeq 6491	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ 0 e. _V ) -> ( F : I --> NN0 -> ( F supp 0 ) = ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) ) )
3	1, 2	mpan2 429	. . 3 |- ( I e. V -> ( F : I --> NN0 -> ( F supp 0 ) = ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) ) )
4	3	imp 124	. 2 |- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) ) )
5		dfn2 9587	. . 3 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
6	5	imaeq2i 5127	. 2 |- ( `' F " NN ) = ( `' F " ( NN0 \ { 0 } ) )
7	4, 6	eqtr4di 2289	1 |- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   {csn 3709   `'ccnv 4775   "cima 4779   -->wf 5376  (class class class)co 6088   supp csupp 6479   0cc0 8185   NNcn 9313   NN0cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-supp 6480  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-inn 9314  df-n0 9575

This theorem is used by: (None)