ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fidcenumlemim GIF version

Theorem fidcenumlemim 6741
Description: Lemma for fidcenum 6745. Forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
fidcenumlemim (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛onto𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fidcenumlemim
StepHypRef Expression
1 fidceq 6665 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴𝑦𝐴) → DECID 𝑥 = 𝑦)
213expb 1147 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → DECID 𝑥 = 𝑦)
32ralrimivva 2467 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
4 isfi 6558 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
5 ensym 6578 . . . . 5 (𝐴𝑛𝑛𝐴)
6 bren 6544 . . . . . 6 (𝑛𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴)
7 f1ofo 5295 . . . . . . 7 (𝑓:𝑛1-1-onto𝐴𝑓:𝑛onto𝐴)
87eximi 1543 . . . . . 6 (∃𝑓 𝑓:𝑛1-1-onto𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝑛onto𝐴)
96, 8sylbi 120 . . . . 5 (𝑛𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝑛onto𝐴)
105, 9syl 14 . . . 4 (𝐴𝑛 → ∃𝑓 𝑓:𝑛onto𝐴)
1110reximi 2482 . . 3 (∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛 → ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛onto𝐴)
124, 11sylbi 120 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛onto𝐴)
133, 12jca 301 1 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛onto𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  DECID wdc 783  wex 1433  wcel 1445  wral 2370  wrex 2371   class class class wbr 3867  ωcom 4433  ontowfo 5047  1-1-ontowf1o 5048  cen 6535  Fincfn 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-er 6332  df-en 6538  df-fin 6540
This theorem is referenced by:  fidcenum  6745
  Copyright terms: Public domain W3C validator