Theorem fidcenumlemim 7274

Description: Lemma for fidcenum 7278. Forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenumlemim	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fidcenumlemim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidceq 7175	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → DECID 𝑥 = 𝑦)
2	1	3expb 1235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → DECID 𝑥 = 𝑦)
3	2	ralrimivva 2632	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
4		isfi 7051	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
5		ensym 7072	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → 𝑛 ≈ 𝐴)
6		bren 7034	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴)
7		f1ofo 5649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
8	7	eximi 1653	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
9	6, 8	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ≈ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
10	5, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
11	10	reximi 2647	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛 → ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
12	4, 11	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
13	3, 12	jca 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   class class class wbr 4131  ωcom 4739  –onto→wfo 5378  –1-1-onto→wf1o 5379   ≈ cen 7024  Fincfn 7026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029

This theorem is used by:  fidcenum  7278