Theorem fidcenumlemim 7027

Description: Lemma for fidcenum 7031. Forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenumlemim	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fidcenumlemim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidceq 6939	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → DECID 𝑥 = 𝑦)
2	1	3expb 1206	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → DECID 𝑥 = 𝑦)
3	2	ralrimivva 2579	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
4		isfi 6829	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
5		ensym 6849	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → 𝑛 ≈ 𝐴)
6		bren 6815	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴)
7		f1ofo 5514	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
8	7	eximi 1614	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
9	6, 8	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ≈ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
10	5, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
11	10	reximi 2594	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛 → ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
12	4, 11	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
13	3, 12	jca 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   class class class wbr 4034  ωcom 4627  –onto→wfo 5257  –1-1-onto→wf1o 5258   ≈ cen 6806  Fincfn 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811

This theorem is referenced by:  fidcenum  7031