Theorem fidcenumlemim 7115

Description: Lemma for fidcenum 7119. Forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenumlemim	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fidcenumlemim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidceq 7027	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → DECID 𝑥 = 𝑦)
2	1	3expb 1228	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → DECID 𝑥 = 𝑦)
3	2	ralrimivva 2612	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
4		isfi 6910	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
5		ensym 6931	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → 𝑛 ≈ 𝐴)
6		bren 6893	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴)
7		f1ofo 5578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
8	7	eximi 1646	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
9	6, 8	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ≈ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
10	5, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
11	10	reximi 2627	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛 → ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
12	4, 11	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
13	3, 12	jca 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 839  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   class class class wbr 4082  ωcom 4681  –onto→wfo 5315  –1-1-onto→wf1o 5316   ≈ cen 6883  Fincfn 6885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-er 6678  df-en 6886  df-fin 6888

This theorem is referenced by:  fidcenum  7119