Theorem fidcenumlemim 6929

Description: Lemma for fidcenum 6933. Forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenumlemim	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fidcenumlemim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidceq 6847	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → DECID 𝑥 = 𝑦)
2	1	3expb 1199	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → DECID 𝑥 = 𝑦)
3	2	ralrimivva 2552	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
4		isfi 6739	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
5		ensym 6759	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → 𝑛 ≈ 𝐴)
6		bren 6725	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴)
7		f1ofo 5449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
8	7	eximi 1593	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
9	6, 8	sylbi 120	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ≈ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
10	5, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
11	10	reximi 2567	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛 → ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
12	4, 11	sylbi 120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
13	3, 12	jca 304	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 829  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   class class class wbr 3989  ωcom 4574  –onto→wfo 5196  –1-1-onto→wf1o 5197   ≈ cen 6716  Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721

This theorem is referenced by:  fidcenum  6933