Theorem fidcenumlemim 6741

Description: Lemma for fidcenum 6745. Forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenumlemim	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fidcenumlemim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidceq 6665	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → DECID 𝑥 = 𝑦)
2	1	3expb 1147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → DECID 𝑥 = 𝑦)
3	2	ralrimivva 2467	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
4		isfi 6558	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
5		ensym 6578	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → 𝑛 ≈ 𝐴)
6		bren 6544	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴)
7		f1ofo 5295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
8	7	eximi 1543	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝑛–1-1-onto→𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
9	6, 8	sylbi 120	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ≈ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
10	5, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
11	10	reximi 2482	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛 → ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
12	4, 11	sylbi 120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴)
13	3, 12	jca 301	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ∃𝑛 ∈ ω ∃𝑓 𝑓:𝑛–onto→𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 783  ∃wex 1433   ∈ wcel 1445  ∀wral 2370  ∃wrex 2371   class class class wbr 3867  ωcom 4433  –onto→wfo 5047  –1-1-onto→wf1o 5048   ≈ cen 6535  Fincfn 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-er 6332  df-en 6538  df-fin 6540

This theorem is referenced by:  fidcenum  6745