Theorem fnssres 5445

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fnssres	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵)

Proof of Theorem fnssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnssresb 5444	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2	1	biimpar 297	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ⊆ wss 3200   ↾ cres 4727   Fn wfn 5321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-res 4737  df-fun 5328  df-fn 5329

This theorem is referenced by:  fnssresd  5446  fnresin1  5447  fnresin2  5448  fssres  5512  fvreseq  5750  fnreseql  5757  ffvresb  5810  fnressn  5840  ofres  6250  tfrlem1  6474  frecrdg  6574  resixp  6902  resfnfinfinss  7138  suplocexprlemell  7933  seq3feq2  10739  seqf1oglem2  10783  reeff1  12266  rngmgpf  13956  mgpf  14030  upxp  15002  uptx  15004  cnmpt1st  15018  cnmpt2nd  15019  ioocosf1o  15584  mpodvdsmulf1o  15720