Theorem fnssres 5432

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fnssres	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵)

Proof of Theorem fnssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnssresb 5431	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2	1	biimpar 297	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ⊆ wss 3197   ↾ cres 4718   Fn wfn 5309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-res 4728  df-fun 5316  df-fn 5317

This theorem is referenced by:  fnssresd  5433  fnresin1  5434  fnresin2  5435  fssres  5497  fvreseq  5731  fnreseql  5738  ffvresb  5791  fnressn  5818  ofres  6223  tfrlem1  6444  frecrdg  6544  resixp  6870  resfnfinfinss  7094  suplocexprlemell  7888  seq3feq2  10685  seqf1oglem2  10729  reeff1  12197  rngmgpf  13886  mgpf  13960  upxp  14931  uptx  14933  cnmpt1st  14947  cnmpt2nd  14948  ioocosf1o  15513  mpodvdsmulf1o  15649