Theorem tfrlem1 6366

Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlem1.1	|- ( ph -> A e. On )
tfrlem1.2	|- ( ph -> ( Fun F /\ A C_ dom F ) )
tfrlem1.3	|- ( ph -> ( Fun G /\ A C_ dom G ) )
tfrlem1.4	|- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) )
tfrlem1.5	|- ( ph -> A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrlem1	|- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, G

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem tfrlem1

Dummy variables u w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3203	. 2 |- A C_ A
2		tfrlem1.1	. . 3 |- ( ph -> A e. On )
3		sseq1 3206	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( y C_ A <-> A C_ A ) )
4		raleq 2693	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
5	3, 4	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( y = A -> ( ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . . 4 |- ( y = A -> ( ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
7		sseq1 3206	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( y C_ A <-> z C_ A ) )
8		raleq 2693	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
9	7, 8	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
11		r19.21v 2574	. . . . . 6 |- ( A. z e. y ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
12		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> ph )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ph )
14		tfrlem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Fun F /\ A C_ dom F ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( Fun F /\ A C_ dom F ) )
16	15	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> Fun F )
17		funfn 5288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
18	16, 17	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> F Fn dom F )
19		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> y e. On )
20		eloni 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. On -> Ord y )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> Ord y )
22		ordelss 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord y /\ w e. y ) -> w C_ y )
23	21, 22	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ y )
24		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> y C_ A )
25	23, 24	sstrd 3193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ A )
26	15	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A C_ dom F )
27	25, 26	sstrd 3193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ dom F )
28		fnssres 5371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn dom F /\ w C_ dom F ) -> ( F |` w ) Fn w )
29	18, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F |` w ) Fn w )
30		tfrlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Fun G /\ A C_ dom G ) )
31	13, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( Fun G /\ A C_ dom G ) )
32	31	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> Fun G )
33		funfn 5288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun G <-> G Fn dom G )
34	32, 33	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> G Fn dom G )
35	31	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A C_ dom G )
36	25, 35	sstrd 3193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ dom G )
37		fnssres 5371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G Fn dom G /\ w C_ dom G ) -> ( G |` w ) Fn w )
38	34, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( G |` w ) Fn w )
39		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = u -> ( F ` x ) = ( F ` u ) )
40		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = u -> ( G ` x ) = ( G ` u ) )
41	39, 40	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = u -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` u ) = ( G ` u ) ) )
42		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> w e. y )
43		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
45	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> w C_ A )
46		sseq1 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( z C_ A <-> w C_ A ) )
47		raleq 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
48	46, 47	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( w C_ A -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
49	48	rspcv 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. y -> ( A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) -> ( w C_ A -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
50	42, 44, 45, 49	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) )
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> u e. w )
52	41, 50, 51	rspcdva 2873	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( F ` u ) = ( G ` u ) )
53		fvres 5582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. w -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( F ` u ) )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( F ` u ) )
55		fvres 5582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. w -> ( ( G |` w ) ` u ) = ( G ` u ) )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( G |` w ) ` u ) = ( G ` u ) )
57	52, 54, 56	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( ( G |` w ) ` u ) )
58	29, 38, 57	eqfnfvd 5662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F |` w ) = ( G |` w ) )
59	58	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( B ` ( F |` w ) ) = ( B ` ( G |` w ) ) )
60		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
61		reseq2 4941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( F |` x ) = ( F |` w ) )
62	61	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( B ` ( F |` x ) ) = ( B ` ( F |` w ) ) )
63	60, 62	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) <-> ( F ` w ) = ( B ` ( F |` w ) ) ) )
64		tfrlem1.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) )
65	13, 64	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) )
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> y C_ A )
67	66	sselda 3183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w e. A )
68	63, 65, 67	rspcdva 2873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F ` w ) = ( B ` ( F |` w ) ) )
69		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( G ` x ) = ( G ` w ) )
70		reseq2 4941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( G |` x ) = ( G |` w ) )
71	70	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( B ` ( G |` x ) ) = ( B ` ( G |` w ) ) )
72	69, 71	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) <-> ( G ` w ) = ( B ` ( G |` w ) ) ) )
73		tfrlem1.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) )
74	13, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) )
75	72, 74, 67	rspcdva 2873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( G ` w ) = ( B ` ( G |` w ) ) )
76	59, 68, 75	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F ` w ) = ( G ` w ) )
77	76	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> A. w e. y ( F ` w ) = ( G ` w ) )
78	60, 69	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
79	78	cbvralv 2729	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. w e. y ( F ` w ) = ( G ` w ) )
80	77, 79	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) )
81	80	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. On ) -> ( A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
82	81	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( y e. On -> ( ph -> ( A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
83	82	a2d 26	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( ( ph -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
84	11, 83	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( A. z e. y ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
85	10, 84	tfis2 4621	. . . 4 |- ( y e. On -> ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
86	6, 85	vtoclga 2830	. . 3 |- ( A e. On -> ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
87	2, 86	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
88	1, 87	mpi 15	1 |- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   Ord word 4397   Oncon0 4398   dom cdm 4663   |` cres 4665   Fun wfun 5252   Fn wfn 5253   ` cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  tfrlem5  6372