Theorem reeff1 11155

Description: The exponential function maps real arguments one-to-one to positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1	|- ( exp |` RR ) : RR -1-1-> RR+

Proof of Theorem reeff1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eff 11117	. . . . 5 |- exp : CC --> CC
2		ffn 5195	. . . . 5 |- ( exp : CC --> CC -> exp Fn CC )
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- exp Fn CC
4		ax-resscn 7534	. . . 4 |- RR C_ CC
5		fnssres 5161	. . . 4 |- ( ( exp Fn CC /\ RR C_ CC ) -> ( exp |` RR ) Fn RR )
6	3, 4, 5	mp2an 418	. . 3 |- ( exp |` RR ) Fn RR
7		fvres 5364	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( exp ` x ) )
8		rpefcl 11139	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( exp ` x ) e. RR+ )
9	7, 8	eqeltrd 2171	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` x ) e. RR+ )
10	9	rgen 2439	. . 3 |- A. x e. RR ( ( exp |` RR ) ` x ) e. RR+
11		ffnfv 5495	. . 3 |- ( ( exp |` RR ) : RR --> RR+ <-> ( ( exp |` RR ) Fn RR /\ A. x e. RR ( ( exp |` RR ) ` x ) e. RR+ ) )
12	6, 10, 11	mpbir2an 891	. 2 |- ( exp |` RR ) : RR --> RR+
13		fvres 5364	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` y ) = ( exp ` y ) )
14	7, 13	eqeqan12d 2110	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( ( exp |` RR ) ` y ) <-> ( exp ` x ) = ( exp ` y ) ) )
15		reef11 11154	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp ` x ) = ( exp ` y ) <-> x = y ) )
16	15	biimpd 143	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp ` x ) = ( exp ` y ) -> x = y ) )
17	14, 16	sylbid 149	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( ( exp |` RR ) ` y ) -> x = y ) )
18	17	rgen2a 2440	. 2 |- A. x e. RR A. y e. RR ( ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( ( exp |` RR ) ` y ) -> x = y )
19		dff13 5585	. 2 |- ( ( exp |` RR ) : RR -1-1-> RR+ <-> ( ( exp |` RR ) : RR --> RR+ /\ A. x e. RR A. y e. RR ( ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( ( exp |` RR ) ` y ) -> x = y ) ) )
20	12, 18, 19	mpbir2an 891	1 |- ( exp |` RR ) : RR -1-1-> RR+

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1296   e. wcel 1445   A.wral 2370   C_ wss 3013   |` cres 4469   Fn wfn 5044   -->wf 5045   -1-1->wf1 5046   ` cfv 5049   CCcc 7445   RRcr 7446   RR+crp 9233   expce 11096

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-disj 3845  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-frec 6194  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-sup 6759  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-ico 9460  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-fac 10265  df-bc 10287  df-ihash 10315  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563  df-clim 10838  df-sumdc 10912  df-ef 11102

This theorem is referenced by: (None)