Theorem reeff1 11443

Description: The exponential function maps real arguments one-to-one to positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1	|- ( exp |` RR ) : RR -1-1-> RR+

Proof of Theorem reeff1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eff 11406	. . . . 5 |- exp : CC --> CC
2		ffn 5280	. . . . 5 |- ( exp : CC --> CC -> exp Fn CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- exp Fn CC
4		ax-resscn 7736	. . . 4 |- RR C_ CC
5		fnssres 5244	. . . 4 |- ( ( exp Fn CC /\ RR C_ CC ) -> ( exp |` RR ) Fn RR )
6	3, 4, 5	mp2an 423	. . 3 |- ( exp |` RR ) Fn RR
7		fvres 5453	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( exp ` x ) )
8		rpefcl 11428	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( exp ` x ) e. RR+ )
9	7, 8	eqeltrd 2217	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` x ) e. RR+ )
10	9	rgen 2488	. . 3 |- A. x e. RR ( ( exp |` RR ) ` x ) e. RR+
11		ffnfv 5586	. . 3 |- ( ( exp |` RR ) : RR --> RR+ <-> ( ( exp |` RR ) Fn RR /\ A. x e. RR ( ( exp |` RR ) ` x ) e. RR+ ) )
12	6, 10, 11	mpbir2an 927	. 2 |- ( exp |` RR ) : RR --> RR+
13		fvres 5453	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` y ) = ( exp ` y ) )
14	7, 13	eqeqan12d 2156	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( ( exp |` RR ) ` y ) <-> ( exp ` x ) = ( exp ` y ) ) )
15		reef11 11442	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp ` x ) = ( exp ` y ) <-> x = y ) )
16	15	biimpd 143	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp ` x ) = ( exp ` y ) -> x = y ) )
17	14, 16	sylbid 149	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( ( exp |` RR ) ` y ) -> x = y ) )
18	17	rgen2a 2489	. 2 |- A. x e. RR A. y e. RR ( ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( ( exp |` RR ) ` y ) -> x = y )
19		dff13 5677	. 2 |- ( ( exp |` RR ) : RR -1-1-> RR+ <-> ( ( exp |` RR ) : RR --> RR+ /\ A. x e. RR A. y e. RR ( ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( ( exp |` RR ) ` y ) -> x = y ) ) )
20	12, 18, 19	mpbir2an 927	1 |- ( exp |` RR ) : RR -1-1-> RR+

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   C_ wss 3076   |` cres 4549   Fn wfn 5126   -->wf 5127   -1-1->wf1 5128   ` cfv 5131   CCcc 7642   RRcr 7643   RR+crp 9470   expce 11385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-disj 3915  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-ico 9707  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-fac 10504  df-bc 10526  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155  df-ef 11391

This theorem is referenced by:  reeff1o  12902  relogef  12993