ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reeff1 Unicode version

Theorem reeff1 11418
Description: The exponential function maps real arguments one-to-one to positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
reeff1  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-> RR+

Proof of Theorem reeff1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eff 11381 . . . . 5  |-  exp : CC
--> CC
2 ffn 5272 . . . . 5  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  exp  Fn  CC
4 ax-resscn 7724 . . . 4  |-  RR  C_  CC
5 fnssres 5236 . . . 4  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  RR  C_  CC )  -> 
( exp  |`  RR )  Fn  RR )
63, 4, 5mp2an 422 . . 3  |-  ( exp  |`  RR )  Fn  RR
7 fvres 5445 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 x )  =  ( exp `  x
) )
8 rpefcl 11403 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ( exp `  x )  e.  RR+ )
97, 8eqeltrd 2216 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 x )  e.  RR+ )
109rgen 2485 . . 3  |-  A. x  e.  RR  ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  e.  RR+
11 ffnfv 5578 . . 3  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+  <->  ( ( exp  |`  RR )  Fn  RR  /\ 
A. x  e.  RR  ( ( exp  |`  RR ) `
 x )  e.  RR+ ) )
126, 10, 11mpbir2an 926 . 2  |-  ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+
13 fvres 5445 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 y )  =  ( exp `  y
) )
147, 13eqeqan12d 2155 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  =  ( ( exp  |`  RR ) `  y )  <->  ( exp `  x )  =  ( exp `  y ) ) )
15 reef11 11417 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x
)  =  ( exp `  y )  <->  x  =  y ) )
1615biimpd 143 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x
)  =  ( exp `  y )  ->  x  =  y ) )
1714, 16sylbid 149 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x
)  =  ( ( exp  |`  RR ) `  y )  ->  x  =  y ) )
1817rgen2a 2486 . 2  |-  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( ( ( exp  |`  RR ) `  x )  =  ( ( exp  |`  RR ) `
 y )  ->  x  =  y )
19 dff13 5669 . 2  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-> RR+  <->  ( ( exp  |`  RR ) : RR --> RR+ 
/\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
( ( exp  |`  RR ) `
 x )  =  ( ( exp  |`  RR ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
2012, 18, 19mpbir2an 926 1  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-> RR+
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416    C_ wss 3071    |` cres 4541    Fn wfn 5118   -->wf 5119   -1-1->wf1 5120   ` cfv 5123   CCcc 7630   RRcr 7631   RR+crp 9453   expce 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-ico 9689  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-fac 10484  df-bc 10506  df-ihash 10534  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060  df-sumdc 11135  df-ef 11366
This theorem is referenced by:  reeff1o  12877  relogef  12965
  Copyright terms: Public domain W3C validator