Theorem reeff1 11710

Description: The exponential function maps real arguments one-to-one to positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1	|- ( exp |` RR ) : RR -1-1-> RR+

Proof of Theorem reeff1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eff 11673	. . . . 5 |- exp : CC --> CC
2		ffn 5367	. . . . 5 |- ( exp : CC --> CC -> exp Fn CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- exp Fn CC
4		ax-resscn 7905	. . . 4 |- RR C_ CC
5		fnssres 5331	. . . 4 |- ( ( exp Fn CC /\ RR C_ CC ) -> ( exp |` RR ) Fn RR )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 |- ( exp |` RR ) Fn RR
7		fvres 5541	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( exp ` x ) )
8		rpefcl 11695	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( exp ` x ) e. RR+ )
9	7, 8	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` x ) e. RR+ )
10	9	rgen 2530	. . 3 |- A. x e. RR ( ( exp |` RR ) ` x ) e. RR+
11		ffnfv 5676	. . 3 |- ( ( exp |` RR ) : RR --> RR+ <-> ( ( exp |` RR ) Fn RR /\ A. x e. RR ( ( exp |` RR ) ` x ) e. RR+ ) )
12	6, 10, 11	mpbir2an 942	. 2 |- ( exp |` RR ) : RR --> RR+
13		fvres 5541	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( ( exp |` RR ) ` y ) = ( exp ` y ) )
14	7, 13	eqeqan12d 2193	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( ( exp |` RR ) ` y ) <-> ( exp ` x ) = ( exp ` y ) ) )
15		reef11 11709	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp ` x ) = ( exp ` y ) <-> x = y ) )
16	15	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( exp ` x ) = ( exp ` y ) -> x = y ) )
17	14, 16	sylbid 150	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( ( exp |` RR ) ` y ) -> x = y ) )
18	17	rgen2a 2531	. 2 |- A. x e. RR A. y e. RR ( ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( ( exp |` RR ) ` y ) -> x = y )
19		dff13 5771	. 2 |- ( ( exp |` RR ) : RR -1-1-> RR+ <-> ( ( exp |` RR ) : RR --> RR+ /\ A. x e. RR A. y e. RR ( ( ( exp |` RR ) ` x ) = ( ( exp |` RR ) ` y ) -> x = y ) ) )
20	12, 18, 19	mpbir2an 942	1 |- ( exp |` RR ) : RR -1-1-> RR+

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3131   |` cres 4630   Fn wfn 5213   -->wf 5214   -1-1->wf1 5215   ` cfv 5218   CCcc 7811   RRcr 7812   RR+crp 9655   expce 11652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-ico 9896  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-bc 10730  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658

This theorem is referenced by:  reeff1o  14279  relogef  14370