Theorem focdmex 6286

Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
focdmex	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem focdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5569	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → Fun 𝐹)
2		funrnex 6285	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ∈ 𝐶 → (Fun 𝐹 → ran 𝐹 ∈ V))
3	1, 2	syl5com 29	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝐹 ∈ 𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
4		fof 5568	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		fdm 5495	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
7	6	eleq1d 2300	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝐹 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
8		forn 5571	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
9	8	eleq1d 2300	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (ran 𝐹 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
10	3, 7, 9	3imtr3d 202	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ V))
11	10	com12 30	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  dom cdm 4731  ran crn 4732  Fun wfun 5327  ⟶wf 5329  –onto→wfo 5331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  f1dmex  6287  f1oeng  6973  ctfoex  7360  ennnfonelemj0  13085  ennnfonelemg  13087  omctfn  13127  imasival  13452  imasbas  13453  imasplusg  13454