Theorem focdmex 10533

Description: The codomain of an onto function is a set if its domain is a set. (Contributed by AV, 4-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
focdmex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem focdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 5345	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	anim2i 339	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵))
3	2	ancomd 265	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
4		fex 5647	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
5		rnexg 4804	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
6	3, 4, 5	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → ran 𝐹 ∈ V)
7		forn 5348	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
8	7	eleq1d 2208	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (ran 𝐹 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
9	8	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (ran 𝐹 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
10	6, 9	mpbid 146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686  ran crn 4540  ⟶wf 5119  –onto→wfo 5121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  ennnfonelemj0  11914  ennnfonelemg  11916