Theorem focdmex 10714

Description: The codomain of an onto function is a set if its domain is a set. (Contributed by AV, 4-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
focdmex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem focdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 5418	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	anim2i 340	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵))
3	2	ancomd 265	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
4		fex 5723	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
5		rnexg 4874	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
6	3, 4, 5	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → ran 𝐹 ∈ V)
7		forn 5421	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
8	7	eleq1d 2239	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (ran 𝐹 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
9	8	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (ran 𝐹 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
10	6, 9	mpbid 146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  ran crn 4610  ⟶wf 5192  –onto→wfo 5194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204

This theorem is referenced by:  ennnfonelemj0  12349  ennnfonelemg  12351