Theorem omctfn 13144

Description: Using countable choice to find a sequence of enumerations for a collection of countable sets. Lemma 8.1.27 of [AczelRathjen], p. 77. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	|- ( ph -> CCHOICE )
omiunct.g	|- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
omctfn	|- ( ph -> E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Distinct variable groups:   B, f, g   ph, f, x, g

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem omctfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. 2 |- ( ph -> CCHOICE )
2		fnmap 6867	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
3		omiunct.g	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
4		omex 4697	. . . . . . . 8 |- om e. _V
5		focdmex 6286	. . . . . . . 8 |- ( om e. _V -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
8	3, 7	exlimddv 1947	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
9	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> om e. _V )
10		fnovex 6061	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( B ⊔ 1o ) e. _V /\ om e. _V ) -> ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V )
11	2, 8, 9, 10	mp3an2i 1379	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V )
12		rabexg 4238	. . . 4 |- ( ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V -> { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
14	13	ralrimiva 2606	. 2 |- ( ph -> A. x e. om { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
15	4	enref 6981	. . 3 |- om ~~ om
16	15	a1i 9	. 2 |- ( ph -> om ~~ om )
17		foeq1 5564	. 2 |- ( g = ( f ` x ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
18		fof 5568	. . . . . . . . . 10 |- ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> g : om --> ( B ⊔ 1o ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g : om --> ( B ⊔ 1o ) )
20		elmapg 6873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B ⊔ 1o ) e. _V /\ om e. _V ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) <-> g : om --> ( B ⊔ 1o ) ) )
21	7, 4, 20	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) <-> g : om --> ( B ⊔ 1o ) ) )
22	19, 21	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) )
23		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
24	22, 23	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
25	24	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) ) )
26	25	eximdv 1928	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) ) )
27		df-rex 2517	. . . . 5 |- ( E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> E. g ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
28	26, 27	imbitrrdi 162	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
29	3, 28	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
30	29	ralrimiva 2606	. 2 |- ( ph -> A. x e. om E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
31	1, 14, 16, 17, 30	cc4n 7550	1 |- ( ph -> E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   {crab 2515   _Vcvv 2803   class class class wbr 4093   omcom 4694   X. cxp 4729   Fn wfn 5328   -->wf 5329   -onto->wfo 5331   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1oc1o 6618   ^m cmap 6860   ~~ cen 6950   ⊔ cdju 7296  CCHOICEwacc 7541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-cc 7542

This theorem is referenced by:  omiunct  13145