Theorem omctfn 11992

Description: Using countable choice to find a sequence of enumerations for a collection of countable sets. Lemma 8.1.27 of [AczelRathjen], p. 77. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	|- ( ph -> CCHOICE )
omiunct.g	|- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
omctfn	|- ( ph -> E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Distinct variable groups:   B, f, g   ph, f, x, g

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem omctfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. 2 |- ( ph -> CCHOICE )
2		fnmap 6557	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
3		omiunct.g	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
4		omex 4515	. . . . . . . 8 |- om e. _V
5		fornex 6021	. . . . . . . 8 |- ( om e. _V -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
7	6	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
8	3, 7	exlimddv 1871	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
9	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> om e. _V )
10		fnovex 5812	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( B ⊔ 1o ) e. _V /\ om e. _V ) -> ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V )
11	2, 8, 9, 10	mp3an2i 1321	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V )
12		rabexg 4079	. . . 4 |- ( ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V -> { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
14	13	ralrimiva 2508	. 2 |- ( ph -> A. x e. om { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
15	4	enref 6667	. . 3 |- om ~~ om
16	15	a1i 9	. 2 |- ( ph -> om ~~ om )
17		foeq1 5349	. 2 |- ( g = ( f ` x ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
18		fof 5353	. . . . . . . . . 10 |- ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> g : om --> ( B ⊔ 1o ) )
19	18	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g : om --> ( B ⊔ 1o ) )
20		elmapg 6563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B ⊔ 1o ) e. _V /\ om e. _V ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) <-> g : om --> ( B ⊔ 1o ) ) )
21	7, 4, 20	sylancl 410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) <-> g : om --> ( B ⊔ 1o ) ) )
22	19, 21	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) )
23		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
24	22, 23	jca 304	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
25	24	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) ) )
26	25	eximdv 1853	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) ) )
27		df-rex 2423	. . . . 5 |- ( E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> E. g ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
28	26, 27	syl6ibr 161	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
29	3, 28	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
30	29	ralrimiva 2508	. 2 |- ( ph -> A. x e. om E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
31	1, 14, 16, 17, 30	cc4n 7103	1 |- ( ph -> E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1469   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   {crab 2421   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   omcom 4512   X. cxp 4545   Fn wfn 5126   -->wf 5127   -onto->wfo 5129   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   1oc1o 6314   ^m cmap 6550   ~~ cen 6640   ⊔ cdju 6930  CCHOICEwacc 7094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-er 6437  df-map 6552  df-en 6643  df-cc 7095

This theorem is referenced by:  omiunct  11993