ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omctfn Unicode version

Theorem omctfn 11967
Description: Using countable choice to find a sequence of enumerations for a collection of countable sets. Lemma 8.1.27 of [AczelRathjen], p. 77. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
omiunct.cc  |-  ( ph  -> CCHOICE )
omiunct.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( B 1o ) )
Assertion
Ref Expression
omctfn  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  om  /\  A. x  e.  om  (
f `  x ) : om -onto-> ( B 1o ) ) )
Distinct variable groups:    B, f, g    ph, f, x, g
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem omctfn
StepHypRef Expression
1 omiunct.cc . 2  |-  ( ph  -> CCHOICE )
2 fnmap 6549 . . . . 5  |-  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )
3 omiunct.g . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( B 1o ) )
4 omex 4507 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
5 fornex 6013 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  _V  ->  (
g : om -onto-> ( B 1o )  ->  ( B 1o )  e.  _V ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( g : om -onto-> ( B 1o )  ->  ( B 1o )  e.  _V )
76adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  ( B 1o )  e.  _V )
83, 7exlimddv 1870 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( B 1o )  e.  _V )
94a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  om  e.  _V )
10 fnovex 5804 . . . . 5  |-  ( (  ^m  Fn  ( _V 
X.  _V )  /\  ( B 1o )  e.  _V  /\ 
om  e.  _V )  ->  ( ( B 1o )  ^m  om )  e. 
_V )
112, 8, 9, 10mp3an2i 1320 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( ( B 1o )  ^m  om )  e.  _V )
12 rabexg 4071 . . . 4  |-  ( ( ( B 1o )  ^m  om )  e.  _V  ->  { g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  |  g : om -onto-> ( B 1o ) }  e.  _V )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  { g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  |  g : om -onto-> ( B 1o ) }  e.  _V )
1413ralrimiva 2505 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  { g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  |  g : om -onto-> ( B 1o ) }  e.  _V )
154enref 6659 . . 3  |-  om  ~~  om
1615a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  om  ~~  om )
17 foeq1 5341 . 2  |-  ( g  =  ( f `  x )  ->  (
g : om -onto-> ( B 1o )  <->  ( f `  x ) : om -onto->
( B 1o )
) )
18 fof 5345 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : om -onto-> ( B 1o )  ->  g : om --> ( B 1o ) )
1918adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  g : om
--> ( B 1o )
)
20 elmapg 6555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B 1o )  e.  _V  /\  om  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  <->  g : om --> ( B 1o ) ) )
217, 4, 20sylancl 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  ( g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  <->  g : om
--> ( B 1o )
) )
2219, 21mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om ) )
23 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  g : om -onto-> ( B 1o ) )
2422, 23jca 304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  ( g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) ) )
2524ex 114 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( g : om -onto-> ( B 1o )  ->  ( g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) ) ) )
2625eximdv 1852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( E. g  g : om -onto->
( B 1o )  ->  E. g ( g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) ) ) )
27 df-rex 2422 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om ) g : om -onto->
( B 1o )  <->  E. g ( g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) ) )
2826, 27syl6ibr 161 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( E. g  g : om -onto->
( B 1o )  ->  E. g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om ) g : om -onto-> ( B 1o ) ) )
293, 28mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  E. g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om ) g : om -onto-> ( B 1o ) )
3029ralrimiva 2505 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  E. g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om ) g : om -onto->
( B 1o )
)
311, 14, 16, 17, 30cc4n 7091 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  om  /\  A. x  e.  om  (
f `  x ) : om -onto-> ( B 1o ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {crab 2420   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   omcom 4504    X. cxp 4537    Fn wfn 5118   -->wf 5119   -onto->wfo 5121   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1oc1o 6306    ^m cmap 6542    ~~ cen 6632   ⊔ cdju 6922  CCHOICEwacc 7082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-er 6429  df-map 6544  df-en 6635  df-cc 7083
This theorem is referenced by:  omiunct  11968
  Copyright terms: Public domain W3C validator