Theorem omctfn 13278

Description: Using countable choice to find a sequence of enumerations for a collection of countable sets. Lemma 8.1.27 of [AczelRathjen], p. 77. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	|- ( ph -> CCHOICE )
omiunct.g	|- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
omctfn	|- ( ph -> E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Distinct variable groups:   B, f, g   ph, f, x, g

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem omctfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. 2 |- ( ph -> CCHOICE )
2		fnmap 6902	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
3		omiunct.g	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
4		omex 4720	. . . . . . . 8 |- om e. _V
5		focdmex 6317	. . . . . . . 8 |- ( om e. _V -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
8	3, 7	exlimddv 1950	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
9	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> om e. _V )
10		fnovex 6091	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( B ⊔ 1o ) e. _V /\ om e. _V ) -> ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V )
11	2, 8, 9, 10	mp3an2i 1379	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V )
12		rabexg 4260	. . . 4 |- ( ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V -> { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
14	13	ralrimiva 2617	. 2 |- ( ph -> A. x e. om { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
15	4	enref 7017	. . 3 |- om ~~ om
16	15	a1i 9	. 2 |- ( ph -> om ~~ om )
17		foeq1 5591	. 2 |- ( g = ( f ` x ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
18		fof 5595	. . . . . . . . . 10 |- ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> g : om --> ( B ⊔ 1o ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g : om --> ( B ⊔ 1o ) )
20		elmapg 6908	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B ⊔ 1o ) e. _V /\ om e. _V ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) <-> g : om --> ( B ⊔ 1o ) ) )
21	7, 4, 20	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) <-> g : om --> ( B ⊔ 1o ) ) )
22	19, 21	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) )
23		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
24	22, 23	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
25	24	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) ) )
26	25	eximdv 1929	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) ) )
27		df-rex 2528	. . . . 5 |- ( E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> E. g ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
28	26, 27	imbitrrdi 162	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
29	3, 28	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
30	29	ralrimiva 2617	. 2 |- ( ph -> A. x e. om E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
31	1, 14, 16, 17, 30	cc4n 7601	1 |- ( ph -> E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   _Vcvv 2815   class class class wbr 4114   omcom 4717   X. cxp 4752   Fn wfn 5352   -->wf 5353   -onto->wfo 5355   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1oc1o 6653   ^m cmap 6895   ~~ cen 6986   ⊔ cdju 7341  CCHOICEwacc 7592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-cc 7593

This theorem is referenced by:  omiunct  13279