Theorem omctfn 13315

Description: Using countable choice to find a sequence of enumerations for a collection of countable sets. Lemma 8.1.27 of [AczelRathjen], p. 77. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	|- ( ph -> CCHOICE )
omiunct.g	|- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
omctfn	|- ( ph -> E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Distinct variable groups:   B, f, g   ph, f, x, g

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem omctfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. 2 |- ( ph -> CCHOICE )
2		fnmap 6922	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
3		omiunct.g	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
4		omex 4738	. . . . . . . 8 |- om e. _V
5		focdmex 6337	. . . . . . . 8 |- ( om e. _V -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
8	3, 7	exlimddv 1954	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
9	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> om e. _V )
10		fnovex 6111	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( B ⊔ 1o ) e. _V /\ om e. _V ) -> ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V )
11	2, 8, 9, 10	mp3an2i 1383	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V )
12		rabexg 4277	. . . 4 |- ( ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V -> { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
14	13	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. x e. om { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
15	4	enref 7044	. . 3 |- om ~~ om
16	15	a1i 9	. 2 |- ( ph -> om ~~ om )
17		foeq1 5609	. 2 |- ( g = ( f ` x ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
18		fof 5613	. . . . . . . . . 10 |- ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> g : om --> ( B ⊔ 1o ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g : om --> ( B ⊔ 1o ) )
20		elmapg 6928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B ⊔ 1o ) e. _V /\ om e. _V ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) <-> g : om --> ( B ⊔ 1o ) ) )
21	7, 4, 20	sylancl 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) <-> g : om --> ( B ⊔ 1o ) ) )
22	19, 21	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) )
23		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
24	22, 23	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
25	24	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) ) )
26	25	eximdv 1933	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) ) )
27		df-rex 2534	. . . . 5 |- ( E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> E. g ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
28	26, 27	imbitrrdi 162	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
29	3, 28	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
30	29	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. x e. om E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
31	1, 14, 16, 17, 30	cc4n 7630	1 |- ( ph -> E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   _Vcvv 2821   class class class wbr 4128   omcom 4735   X. cxp 4770   Fn wfn 5370   -->wf 5371   -onto->wfo 5373   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   1oc1o 6673   ^m cmap 6915   ~~ cen 7013   ⊔ cdju 7370  CCHOICEwacc 7621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-er 6800  df-map 6917  df-en 7016  df-cc 7622

This theorem is referenced by:  omiunct  13316