Theorem omctfn 12409

Description: Using countable choice to find a sequence of enumerations for a collection of countable sets. Lemma 8.1.27 of [AczelRathjen], p. 77. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	|- ( ph -> CCHOICE )
omiunct.g	|- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
omctfn	|- ( ph -> E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Distinct variable groups:   B, f, g   ph, f, x, g

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem omctfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. 2 |- ( ph -> CCHOICE )
2		fnmap 6645	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
3		omiunct.g	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
4		omex 4586	. . . . . . . 8 |- om e. _V
5		focdmex 6106	. . . . . . . 8 |- ( om e. _V -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
8	3, 7	exlimddv 1896	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( B ⊔ 1o ) e. _V )
9	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> om e. _V )
10		fnovex 5898	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( B ⊔ 1o ) e. _V /\ om e. _V ) -> ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V )
11	2, 8, 9, 10	mp3an2i 1342	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V )
12		rabexg 4141	. . . 4 |- ( ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) e. _V -> { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
14	13	ralrimiva 2548	. 2 |- ( ph -> A. x e. om { g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) | g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) } e. _V )
15	4	enref 6755	. . 3 |- om ~~ om
16	15	a1i 9	. 2 |- ( ph -> om ~~ om )
17		foeq1 5426	. 2 |- ( g = ( f ` x ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
18		fof 5430	. . . . . . . . . 10 |- ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> g : om --> ( B ⊔ 1o ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g : om --> ( B ⊔ 1o ) )
20		elmapg 6651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B ⊔ 1o ) e. _V /\ om e. _V ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) <-> g : om --> ( B ⊔ 1o ) ) )
21	7, 4, 20	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) <-> g : om --> ( B ⊔ 1o ) ) )
22	19, 21	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) )
23		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
24	22, 23	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
25	24	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) ) )
26	25	eximdv 1878	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) ) )
27		df-rex 2459	. . . . 5 |- ( E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> E. g ( g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) /\ g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
28	26, 27	syl6ibr 162	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> ( E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
29	3, 28	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
30	29	ralrimiva 2548	. 2 |- ( ph -> A. x e. om E. g e. ( ( B ⊔ 1o ) ^m om ) g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
31	1, 14, 16, 17, 30	cc4n 7245	1 |- ( ph -> E. f ( f Fn om /\ A. x e. om ( f ` x ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1490   e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   {crab 2457   _Vcvv 2735   class class class wbr 3998   omcom 4583   X. cxp 4618   Fn wfn 5203   -->wf 5204   -onto->wfo 5206   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   1oc1o 6400   ^m cmap 6638   ~~ cen 6728   ⊔ cdju 7026  CCHOICEwacc 7236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-er 6525  df-map 6640  df-en 6731  df-cc 7237

This theorem is referenced by:  omiunct  12410