ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omctfn Unicode version

Theorem omctfn 12600
Description: Using countable choice to find a sequence of enumerations for a collection of countable sets. Lemma 8.1.27 of [AczelRathjen], p. 77. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
omiunct.cc  |-  ( ph  -> CCHOICE )
omiunct.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( B 1o ) )
Assertion
Ref Expression
omctfn  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  om  /\  A. x  e.  om  (
f `  x ) : om -onto-> ( B 1o ) ) )
Distinct variable groups:    B, f, g    ph, f, x, g
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem omctfn
StepHypRef Expression
1 omiunct.cc . 2  |-  ( ph  -> CCHOICE )
2 fnmap 6709 . . . . 5  |-  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )
3 omiunct.g . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( B 1o ) )
4 omex 4625 . . . . . . . 8  |-  om  e.  _V
5 focdmex 6167 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  _V  ->  (
g : om -onto-> ( B 1o )  ->  ( B 1o )  e.  _V ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( g : om -onto-> ( B 1o )  ->  ( B 1o )  e.  _V )
76adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  ( B 1o )  e.  _V )
83, 7exlimddv 1910 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( B 1o )  e.  _V )
94a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  om  e.  _V )
10 fnovex 5951 . . . . 5  |-  ( (  ^m  Fn  ( _V 
X.  _V )  /\  ( B 1o )  e.  _V  /\ 
om  e.  _V )  ->  ( ( B 1o )  ^m  om )  e. 
_V )
112, 8, 9, 10mp3an2i 1353 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( ( B 1o )  ^m  om )  e.  _V )
12 rabexg 4172 . . . 4  |-  ( ( ( B 1o )  ^m  om )  e.  _V  ->  { g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  |  g : om -onto-> ( B 1o ) }  e.  _V )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  { g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  |  g : om -onto-> ( B 1o ) }  e.  _V )
1413ralrimiva 2567 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  { g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  |  g : om -onto-> ( B 1o ) }  e.  _V )
154enref 6819 . . 3  |-  om  ~~  om
1615a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  om  ~~  om )
17 foeq1 5472 . 2  |-  ( g  =  ( f `  x )  ->  (
g : om -onto-> ( B 1o )  <->  ( f `  x ) : om -onto->
( B 1o )
) )
18 fof 5476 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : om -onto-> ( B 1o )  ->  g : om --> ( B 1o ) )
1918adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  g : om
--> ( B 1o )
)
20 elmapg 6715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B 1o )  e.  _V  /\  om  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  <->  g : om --> ( B 1o ) ) )
217, 4, 20sylancl 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  ( g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  <->  g : om
--> ( B 1o )
) )
2219, 21mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om ) )
23 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  g : om -onto-> ( B 1o ) )
2422, 23jca 306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) )  ->  ( g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) ) )
2524ex 115 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( g : om -onto-> ( B 1o )  ->  ( g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) ) ) )
2625eximdv 1891 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( E. g  g : om -onto->
( B 1o )  ->  E. g ( g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) ) ) )
27 df-rex 2478 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om ) g : om -onto->
( B 1o )  <->  E. g ( g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om )  /\  g : om -onto-> ( B 1o ) ) )
2826, 27imbitrrdi 162 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  ( E. g  g : om -onto->
( B 1o )  ->  E. g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om ) g : om -onto-> ( B 1o ) ) )
293, 28mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  E. g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om ) g : om -onto-> ( B 1o ) )
3029ralrimiva 2567 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  E. g  e.  ( ( B 1o )  ^m  om ) g : om -onto->
( B 1o )
)
311, 14, 16, 17, 30cc4n 7331 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  om  /\  A. x  e.  om  (
f `  x ) : om -onto-> ( B 1o ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   E.wex 1503    e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   _Vcvv 2760   class class class wbr 4029   omcom 4622    X. cxp 4657    Fn wfn 5249   -->wf 5250   -onto->wfo 5252   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   1oc1o 6462    ^m cmap 6702    ~~ cen 6792   ⊔ cdju 7096  CCHOICEwacc 7322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-er 6587  df-map 6704  df-en 6795  df-cc 7323
This theorem is referenced by:  omiunct  12601
  Copyright terms: Public domain W3C validator