ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funtpg GIF version

Theorem funtpg 5177
Description: A set of three pairs is a function if their first members are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
funtpg (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})

Proof of Theorem funtpg
StepHypRef Expression
1 3simpa 978 . . . 4 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → (𝑋𝑈𝑌𝑉))
2 3simpa 978 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) → (𝐴𝐹𝐵𝐺))
3 simp1 981 . . . 4 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑋𝑌)
4 funprg 5176 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺) ∧ 𝑋𝑌) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩})
51, 2, 3, 4syl3an 1258 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩})
6 simp13 1013 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝑊)
7 simp23 1016 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐶𝐻)
8 funsng 5172 . . . 4 ((𝑍𝑊𝐶𝐻) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
96, 7, 8syl2anc 408 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
1023ad2ant2 1003 . . . . . 6 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐴𝐹𝐵𝐺))
11 dmpropg 5014 . . . . . 6 ((𝐴𝐹𝐵𝐺) → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑋, 𝑌})
1210, 11syl 14 . . . . 5 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑋, 𝑌})
13 dmsnopg 5013 . . . . . 6 (𝐶𝐻 → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
147, 13syl 14 . . . . 5 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
1512, 14ineq12d 3278 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}))
16 elpri 3550 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → (𝑍 = 𝑋𝑍 = 𝑌))
17 nner 2312 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = 𝑍 → ¬ 𝑋𝑍)
1817eqcoms 2142 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑋 → ¬ 𝑋𝑍)
19 3mix2 1151 . . . . . . . . . . 11 𝑋𝑍 → (¬ 𝑋𝑌 ∨ ¬ 𝑋𝑍 ∨ ¬ 𝑌𝑍))
2018, 19syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑍 = 𝑋 → (¬ 𝑋𝑌 ∨ ¬ 𝑋𝑍 ∨ ¬ 𝑌𝑍))
21 nner 2312 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = 𝑍 → ¬ 𝑌𝑍)
2221eqcoms 2142 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = 𝑌 → ¬ 𝑌𝑍)
23 3mix3 1152 . . . . . . . . . . 11 𝑌𝑍 → (¬ 𝑋𝑌 ∨ ¬ 𝑋𝑍 ∨ ¬ 𝑌𝑍))
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑍 = 𝑌 → (¬ 𝑋𝑌 ∨ ¬ 𝑋𝑍 ∨ ¬ 𝑌𝑍))
2520, 24jaoi 705 . . . . . . . . 9 ((𝑍 = 𝑋𝑍 = 𝑌) → (¬ 𝑋𝑌 ∨ ¬ 𝑋𝑍 ∨ ¬ 𝑌𝑍))
26 3ianorr 1287 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑋𝑌 ∨ ¬ 𝑋𝑍 ∨ ¬ 𝑌𝑍) → ¬ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍))
2725, 26syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑍 = 𝑋𝑍 = 𝑌) → ¬ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍))
2816, 27syl 14 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → ¬ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍))
2928con2i 616 . . . . . 6 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
30 disjsn 3588 . . . . . 6 (({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
3129, 30sylibr 133 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
32313ad2ant3 1004 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
3315, 32eqtrd 2172 . . 3 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅)
34 funun 5170 . . 3 (((Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∧ Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩}) ∧ (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
355, 9, 33, 34syl21anc 1215 . 2 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
36 df-tp 3535 . . 3 {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
3736funeqi 5147 . 2 (Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} ↔ Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
3835, 37sylibr 133 1 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐺𝐶𝐻) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 697  w3o 961  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308  cun 3069  cin 3070  c0 3363  {csn 3527  {cpr 3528  {ctp 3529  cop 3530  dom cdm 4542  Fun wfun 5120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-br 3933  df-opab 3993  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-fun 5128
This theorem is referenced by:  fntpg  5182
  Copyright terms: Public domain W3C validator