Theorem funtpg 5239

Description: A set of three pairs is a function if their first members are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funtpg	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})

Proof of Theorem funtpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 984	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
2		3simpa 984	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺))
3		simp1 987	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑌)
4		funprg 5238	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩})
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1270	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩})
6		simp13 1019	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑊)
7		simp23 1022	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝐶 ∈ 𝐻)
8		funsng 5234	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
9	6, 7, 8	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩})
10	2	3ad2ant2 1009	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺))
11		dmpropg 5076	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺) → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑋, 𝑌})
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} = {𝑋, 𝑌})
13		dmsnopg 5075	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐻 → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
14	7, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → dom {⟨𝑍, 𝐶⟩} = {𝑍})
15	12, 14	ineq12d 3324	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}))
16		elpri 3599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → (𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑍 = 𝑌))
17		nner 2340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ¬ 𝑋 ≠ 𝑍)
18	17	eqcoms 2168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = 𝑋 → ¬ 𝑋 ≠ 𝑍)
19		3mix2 1157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑋 ≠ 𝑍 → (¬ 𝑋 ≠ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍))
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = 𝑋 → (¬ 𝑋 ≠ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍))
21		nner 2340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 = 𝑍 → ¬ 𝑌 ≠ 𝑍)
22	21	eqcoms 2168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 = 𝑌 → ¬ 𝑌 ≠ 𝑍)
23		3mix3 1158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑌 ≠ 𝑍 → (¬ 𝑋 ≠ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍))
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = 𝑌 → (¬ 𝑋 ≠ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍))
25	20, 24	jaoi 706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑍 = 𝑌) → (¬ 𝑋 ≠ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍))
26		3ianorr 1299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑋 ≠ 𝑌 ∨ ¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ∨ ¬ 𝑌 ≠ 𝑍) → ¬ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍))
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑍 = 𝑌) → ¬ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍))
28	16, 27	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌} → ¬ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍))
29	28	con2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
30		disjsn 3638	. . . . . 6 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
31	29, 30	sylibr 133	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
32	31	3ad2ant3 1010	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ({𝑋, 𝑌} ∩ {𝑍}) = ∅)
33	15, 32	eqtrd 2198	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅)
34		funun 5232	. . 3 ⊢ (((Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∧ Fun {⟨𝑍, 𝐶⟩}) ∧ (dom {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∩ dom {⟨𝑍, 𝐶⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
35	5, 9, 33, 34	syl21anc 1227	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
36		df-tp 3584	. . 3 ⊢ {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} = ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩})
37	36	funeqi 5209	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩} ↔ Fun ({⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝑍, 𝐶⟩}))
38	35, 37	sylibr 133	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺 ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → Fun {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩, ⟨𝑍, 𝐶⟩})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   ∨ w3o 967   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336   ∪ cun 3114   ∩ cin 3115  ∅c0 3409  {csn 3576  {cpr 3577  {ctp 3578  ⟨cop 3579  dom cdm 4604  Fun wfun 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-tp 3584  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-fun 5190

This theorem is referenced by:  fntpg  5244