Theorem fznlem 10424

Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fznlem	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑀...𝑁) = ∅))

Proof of Theorem fznlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		zre 9627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		lenlt 8391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
5	4	biimpd 144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
6	5	con2d 633	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
7	6	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
9		simplll 539	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	zred 9747	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
11		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11	zred 9747	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
13		simpllr 540	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	zred 9747	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		letr 8398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))
17	8, 16	mtod 673	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
18	17	ralrimiva 2623	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ∀𝑘 ∈ ℤ ¬ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
19		rabeq0 3552	. . . 4 ⊢ ({𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅ ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ¬ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
20	18, 19	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅)
21		fzval 10392	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)})
22	21	eqeq1d 2247	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀...𝑁) = ∅ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅))
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝑀...𝑁) = ∅ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅))
24	20, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) = ∅)
25	24	ex 115	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑀...𝑁) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  ∅c0 3520   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℝcr 8168   < clt 8350   ≤ cle 8351  ℤcz 9623  ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltwlin 8282

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-neg 8490  df-z 9624  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  fzn  10425