Theorem fznlem 10145

Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fznlem	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑀...𝑁) = ∅))

Proof of Theorem fznlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		zre 9358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		lenlt 8130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
5	4	biimpd 144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
6	5	con2d 625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
7	6	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
9		simplll 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	zred 9477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
11		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11	zred 9477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
13		simpllr 534	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	zred 9477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		letr 8137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))
17	8, 16	mtod 664	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
18	17	ralrimiva 2578	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ∀𝑘 ∈ ℤ ¬ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
19		rabeq0 3489	. . . 4 ⊢ ({𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅ ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ¬ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
20	18, 19	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅)
21		fzval 10114	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)})
22	21	eqeq1d 2213	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀...𝑁) = ∅ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅))
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝑀...𝑁) = ∅ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅))
24	20, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) = ∅)
25	24	ex 115	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑀...𝑁) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483  {crab 2487  ∅c0 3459   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934  ℝcr 7906   < clt 8089   ≤ cle 8090  ℤcz 9354  ...cfz 10112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-pre-ltwlin 8020

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-neg 8228  df-z 9355  df-fz 10113

This theorem is referenced by:  fzn  10146