Theorem fznlem 10073

Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fznlem	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑀...𝑁) = ∅))

Proof of Theorem fznlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		zre 9288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		lenlt 8064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
5	4	biimpd 144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
6	5	con2d 625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
7	6	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
9		simplll 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	zred 9406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
11		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11	zred 9406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
13		simpllr 534	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	zred 9406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		letr 8071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁))
17	8, 16	mtod 664	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
18	17	ralrimiva 2563	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ∀𝑘 ∈ ℤ ¬ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
19		rabeq0 3467	. . . 4 ⊢ ({𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅ ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ¬ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
20	18, 19	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅)
21		fzval 10042	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)})
22	21	eqeq1d 2198	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀...𝑁) = ∅ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅))
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝑀...𝑁) = ∅ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ∅))
24	20, 23	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) = ∅)
25	24	ex 115	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑀...𝑁) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  {crab 2472  ∅c0 3437   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  ℝcr 7841   < clt 8023   ≤ cle 8024  ℤcz 9284  ...cfz 10040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-pre-ltwlin 7955

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-neg 8162  df-z 9285  df-fz 10041

This theorem is referenced by:  fzn  10074