ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fznlem GIF version

Theorem fznlem 9518
Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
fznlem ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑀...𝑁) = ∅))

Proof of Theorem fznlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 8817 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 zre 8817 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 lenlt 7624 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
41, 2, 3syl2an 284 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
54biimpd 143 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
65con2d 590 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → ¬ 𝑀𝑁))
76imp 123 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑀𝑁)
87adantr 271 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ 𝑀𝑁)
9 simplll 501 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
109zred 8931 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
11 simpr 109 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
1211zred 8931 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
13 simpllr 502 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1413zred 8931 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15 letr 7631 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → 𝑀𝑁))
1610, 12, 14, 15syl3anc 1175 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) → 𝑀𝑁))
178, 16mtod 625 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀𝑘𝑘𝑁))
1817ralrimiva 2447 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ∀𝑘 ∈ ℤ ¬ (𝑀𝑘𝑘𝑁))
19 rabeq0 3318 . . . 4 ({𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} = ∅ ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ¬ (𝑀𝑘𝑘𝑁))
2018, 19sylibr 133 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} = ∅)
21 fzval 9489 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)})
2221eqeq1d 2097 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀...𝑁) = ∅ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} = ∅))
2322adantr 271 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝑀...𝑁) = ∅ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} = ∅))
2420, 23mpbird 166 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) = ∅)
2524ex 114 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑀...𝑁) = ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1290  wcel 1439  wral 2360  {crab 2364  c0 3289   class class class wbr 3853  (class class class)co 5668  cr 7412   < clt 7585  cle 7586  cz 8813  ...cfz 9487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-pre-ltwlin 7521
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-neg 7719  df-z 8814  df-fz 9488
This theorem is referenced by:  fzn  9519
  Copyright terms: Public domain W3C validator