ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzdcel Unicode version
Theorem fzdcel 10320
Description: Decidability of membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzdcel |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K e. ( M ... N ) )
Proof of Theorem fzdcel
StepHypRef Expression
1 fztri3or 10319 . 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
2 zltnle 9569 . . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
323adant3 1044 . . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
4 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( M <_ K /\ K <_ N ) -> M <_ K )
54con3i 637 . . . . . 6 |- ( -. M <_ K -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) )
63, 5biimtrdi 163 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
7 elfz 10294 . . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
87biimpd 144 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
96, 8nsyld 653 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M -> -. K e. ( M ... N ) ) )
10 olc 719 . . . . 5 |- ( -. K e. ( M ... N ) -> ( K e. ( M ... N ) \/ -. K e. ( M ... N ) ) )
11 df-dc 843 . . . . 5 |- (DECID K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( M ... N ) \/ -. K e. ( M ... N ) ) )
1210, 11sylibr 134 . . . 4 |- ( -. K e. ( M ... N ) -> DECID K e. ( M ... N ) )
139, 12syl6 33 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
14 orc 720 . . . . 5 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K e. ( M ... N ) \/ -. K e. ( M ... N ) ) )
1514, 11sylibr 134 . . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> DECID K e. ( M ... N ) )
1615a1i 9 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
17 zltnle 9569 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N < K <-> -. K <_ N ) )
1817ancoms 268 . . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K <-> -. K <_ N ) )
19183adant2 1043 . . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K <-> -. K <_ N ) )
20 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( M <_ K /\ K <_ N ) -> K <_ N )
2120con3i 637 . . . . . 6 |- ( -. K <_ N -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) )
2219, 21biimtrdi 163 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2322, 8nsyld 653 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K -> -. K e. ( M ... N ) ) )
2423, 12syl6 33 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
2513, 16, 243jaod 1341 . 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
261, 25mpd 13 1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K e. ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   \/ w3o 1004   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   < clt 8256   <_ cle 8257   ZZcz 9523   ...cfz 10288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-fz 10289
This theorem is referenced by:  fzodcel  10433  iseqf1olemqcl  10807  iseqf1olemmo  10813  seqf1oglem1  10827  seqf1oglem2  10828  bcval  11057  bccmpl  11062  bcval5  11071  bcpasc  11074  bccl  11075  fisumss  12016  fsum3ser  12021  binomlem  12107  mertenslemi1  12159  fprodssdc  12214  fprodm1  12222  fprodeq0  12241  pcfac  12986  elply2  15529  elplyd  15535  ply1termlem  15536  plyaddlem1  15541  plymullem1  15542  plycoeid3  15551  dvply1  15559
  Copyright terms: Public domain W3C validator