ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzdcel Unicode version
Theorem fzdcel 9851
Description: Decidability of membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzdcel |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K e. ( M ... N ) )
Proof of Theorem fzdcel
StepHypRef Expression
1 fztri3or 9850 . 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
2 zltnle 9124 . . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
323adant3 1002 . . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
4 simpl 108 . . . . . . 7 |- ( ( M <_ K /\ K <_ N ) -> M <_ K )
54con3i 622 . . . . . 6 |- ( -. M <_ K -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) )
63, 5syl6bi 162 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
7 elfz 9827 . . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
87biimpd 143 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
96, 8nsyld 638 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M -> -. K e. ( M ... N ) ) )
10 olc 701 . . . . 5 |- ( -. K e. ( M ... N ) -> ( K e. ( M ... N ) \/ -. K e. ( M ... N ) ) )
11 df-dc 821 . . . . 5 |- (DECID K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( M ... N ) \/ -. K e. ( M ... N ) ) )
1210, 11sylibr 133 . . . 4 |- ( -. K e. ( M ... N ) -> DECID K e. ( M ... N ) )
139, 12syl6 33 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
14 orc 702 . . . . 5 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K e. ( M ... N ) \/ -. K e. ( M ... N ) ) )
1514, 11sylibr 133 . . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> DECID K e. ( M ... N ) )
1615a1i 9 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
17 zltnle 9124 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N < K <-> -. K <_ N ) )
1817ancoms 266 . . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K <-> -. K <_ N ) )
19183adant2 1001 . . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K <-> -. K <_ N ) )
20 simpr 109 . . . . . . 7 |- ( ( M <_ K /\ K <_ N ) -> K <_ N )
2120con3i 622 . . . . . 6 |- ( -. K <_ N -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) )
2219, 21syl6bi 162 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2322, 8nsyld 638 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K -> -. K e. ( M ... N ) ) )
2423, 12syl6 33 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
2513, 16, 243jaod 1283 . 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
261, 25mpd 13 1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K e. ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   \/ w3o 962   /\ w3a 963   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   < clt 7824   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ...cfz 9821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-fz 9822
This theorem is referenced by:  fzodcel  9960  iseqf1olemqcl  10290  iseqf1olemmo  10296  bcval  10527  bccmpl  10532  bcval5  10541  bcpasc  10544  bccl  10545  fisumss  11193  fsum3ser  11198  binomlem  11284  mertenslemi1  11336
  Copyright terms: Public domain W3C validator