Theorem fzdcel 10232

Description: Decidability of membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzdcel	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzdcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fztri3or 10231	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
2		zltnle 9488	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
3	2	3adant3 1041	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
4		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( M <_ K /\ K <_ N ) -> M <_ K )
5	4	con3i 635	. . . . . 6 |- ( -. M <_ K -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) )
6	3, 5	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
7		elfz 10206	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8	7	biimpd 144	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	6, 8	nsyld 651	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M -> -. K e. ( M ... N ) ) )
10		olc 716	. . . . 5 |- ( -. K e. ( M ... N ) -> ( K e. ( M ... N ) \/ -. K e. ( M ... N ) ) )
11		df-dc 840	. . . . 5 |- (DECID K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( M ... N ) \/ -. K e. ( M ... N ) ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 |- ( -. K e. ( M ... N ) -> DECID K e. ( M ... N ) )
13	9, 12	syl6 33	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
14		orc 717	. . . . 5 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K e. ( M ... N ) \/ -. K e. ( M ... N ) ) )
15	14, 11	sylibr 134	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> DECID K e. ( M ... N ) )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
17		zltnle 9488	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N < K <-> -. K <_ N ) )
18	17	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K <-> -. K <_ N ) )
19	18	3adant2 1040	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K <-> -. K <_ N ) )
20		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( M <_ K /\ K <_ N ) -> K <_ N )
21	20	con3i 635	. . . . . 6 |- ( -. K <_ N -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) )
22	19, 21	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
23	22, 8	nsyld 651	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K -> -. K e. ( M ... N ) ) )
24	23, 12	syl6 33	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
25	13, 16, 24	3jaod 1338	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
26	1, 25	mpd 13	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   \/ w3o 1001   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   < clt 8177   <_ cle 8178   ZZcz 9442   ...cfz 10200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-fz 10201

This theorem is referenced by:  fzodcel  10345  iseqf1olemqcl  10716  iseqf1olemmo  10722  seqf1oglem1  10736  seqf1oglem2  10737  bcval  10966  bccmpl  10971  bcval5  10980  bcpasc  10983  bccl  10984  fisumss  11898  fsum3ser  11903  binomlem  11989  mertenslemi1  12041  fprodssdc  12096  fprodm1  12104  fprodeq0  12123  pcfac  12868  elply2  15403  elplyd  15409  ply1termlem  15410  plyaddlem1  15415  plymullem1  15416  plycoeid3  15425  dvply1  15433