Theorem fzdcel 10274

Description: Decidability of membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzdcel	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzdcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fztri3or 10273	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
2		zltnle 9524	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
3	2	3adant3 1043	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
4		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( M <_ K /\ K <_ N ) -> M <_ K )
5	4	con3i 637	. . . . . 6 |- ( -. M <_ K -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) )
6	3, 5	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
7		elfz 10248	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
8	7	biimpd 144	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	6, 8	nsyld 653	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M -> -. K e. ( M ... N ) ) )
10		olc 718	. . . . 5 |- ( -. K e. ( M ... N ) -> ( K e. ( M ... N ) \/ -. K e. ( M ... N ) ) )
11		df-dc 842	. . . . 5 |- (DECID K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( M ... N ) \/ -. K e. ( M ... N ) ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 |- ( -. K e. ( M ... N ) -> DECID K e. ( M ... N ) )
13	9, 12	syl6 33	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
14		orc 719	. . . . 5 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K e. ( M ... N ) \/ -. K e. ( M ... N ) ) )
15	14, 11	sylibr 134	. . . 4 |- ( K e. ( M ... N ) -> DECID K e. ( M ... N ) )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
17		zltnle 9524	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N < K <-> -. K <_ N ) )
18	17	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K <-> -. K <_ N ) )
19	18	3adant2 1042	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K <-> -. K <_ N ) )
20		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( M <_ K /\ K <_ N ) -> K <_ N )
21	20	con3i 637	. . . . . 6 |- ( -. K <_ N -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) )
22	19, 21	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K -> -. ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
23	22, 8	nsyld 653	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K -> -. K e. ( M ... N ) ) )
24	23, 12	syl6 33	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < K -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
25	13, 16, 24	3jaod 1340	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) -> DECID K e. ( M ... N ) ) )
26	1, 25	mpd 13	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   \/ w3o 1003   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   < clt 8213   <_ cle 8214   ZZcz 9478   ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-fz 10243

This theorem is referenced by:  fzodcel  10387  iseqf1olemqcl  10760  iseqf1olemmo  10766  seqf1oglem1  10780  seqf1oglem2  10781  bcval  11010  bccmpl  11015  bcval5  11024  bcpasc  11027  bccl  11028  fisumss  11952  fsum3ser  11957  binomlem  12043  mertenslemi1  12095  fprodssdc  12150  fprodm1  12158  fprodeq0  12177  pcfac  12922  elply2  15458  elplyd  15464  ply1termlem  15465  plyaddlem1  15470  plymullem1  15471  plycoeid3  15480  dvply1  15488