Theorem ghmex 13961

Description: The set of group homomorphisms exists. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ghmex	|- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) e. _V )

Proof of Theorem ghmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmmhmb 13960	. 2 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) = ( S MndHom T ) )
2		grpmnd 13709	. . 3 |- ( S e. Grp -> S e. Mnd )
3		grpmnd 13709	. . 3 |- ( T e. Grp -> T e. Mnd )
4		mhmex 13664	. . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) e. _V )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. 2 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S MndHom T ) e. _V )
6	1, 5	eqeltrd 2309	1 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   _Vcvv 2812  (class class class)co 6049   Mndcmnd 13618   MndHom cmhm 13659   Grpcgrp 13702   GrpHom cghm 13946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1re 8217  ax-addrcl 8220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-inn 9234  df-2 9292  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-0g 13460  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-mhm 13661  df-grp 13705  df-ghm 13947

This theorem is referenced by:  isrhm  14292  rhmfn  14306  rhmval  14307