Theorem ghmex 13211

Description: The set of group homomorphisms exists. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ghmex	|- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) e. _V )

Proof of Theorem ghmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmmhmb 13210	. 2 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) = ( S MndHom T ) )
2		grpmnd 12967	. . 3 |- ( S e. Grp -> S e. Mnd )
3		grpmnd 12967	. . 3 |- ( T e. Grp -> T e. Mnd )
4		mhmex 12929	. . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) e. _V )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. 2 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S MndHom T ) e. _V )
6	1, 5	eqeltrd 2266	1 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   _Vcvv 2752  (class class class)co 5897   Mndcmnd 12892   MndHom cmhm 12924   Grpcgrp 12960   GrpHom cghm 13196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-inn 8951  df-2 9009  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-plusg 12605  df-0g 12766  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-mhm 12926  df-grp 12963  df-ghm 13197

This theorem is referenced by:  isrhm  13525  rhmfn  13539  rhmval  13540