Theorem rhmfn 14423

Description: The mapping of two rings to the ring homomorphisms between them is a function. (Contributed by AV, 1-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rhmfn	|- RingHom Fn ( Ring X. Ring )

Proof of Theorem rhmfn

Dummy variables s r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 14250	. . . . 5 |- ( r e. Ring -> r e. Grp )
2		ringgrp 14250	. . . . 5 |- ( s e. Ring -> s e. Grp )
3		ghmex 14014	. . . . 5 |- ( ( r e. Grp /\ s e. Grp ) -> ( r GrpHom s ) e. _V )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( r GrpHom s ) e. _V )
5		inex1g 4252	. . . 4 |- ( ( r GrpHom s ) e. _V -> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) e. _V )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) e. _V )
7	6	rgen2 2630	. 2 |- A. r e. Ring A. s e. Ring ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) e. _V
8		dfrhm2 14405	. . 3 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
9	8	fnmpo 6413	. 2 |- ( A. r e. Ring A. s e. Ring ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) e. _V -> RingHom Fn ( Ring X. Ring ) )
10	7, 9	ax-mp 5	1 |- RingHom Fn ( Ring X. Ring )

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   i^i cin 3213   X. cxp 4754   Fn wfn 5354   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   MndHom cmhm 13718   Grpcgrp 13761   GrpHom cghm 13999  mulGrpcmgp 14165   Ringcrg 14245   RingHom crh 14401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-map 6899  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-ltxr 8331  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-sets 13309  df-plusg 13393  df-mulr 13394  df-0g 13561  df-mgm 13625  df-sgrp 13671  df-mnd 13684  df-mhm 13720  df-grp 13764  df-ghm 14000  df-mgp 14166  df-ur 14209  df-ring 14247  df-rhm 14403

This theorem is referenced by: (None)