Theorem rhmfn 13519

Description: The mapping of two rings to the ring homomorphisms between them is a function. (Contributed by AV, 1-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rhmfn	|- RingHom Fn ( Ring X. Ring )

Proof of Theorem rhmfn

Dummy variables s r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 13352	. . . . 5 |- ( r e. Ring -> r e. Grp )
2		ringgrp 13352	. . . . 5 |- ( s e. Ring -> s e. Grp )
3		ghmex 13191	. . . . 5 |- ( ( r e. Grp /\ s e. Grp ) -> ( r GrpHom s ) e. _V )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( r GrpHom s ) e. _V )
5		inex1g 4154	. . . 4 |- ( ( r GrpHom s ) e. _V -> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) e. _V )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) e. _V )
7	6	rgen2 2576	. 2 |- A. r e. Ring A. s e. Ring ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) e. _V
8		dfrhm2 13501	. . 3 |- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) )
9	8	fnmpo 6226	. 2 |- ( A. r e. Ring A. s e. Ring ( ( r GrpHom s ) i^i ( (mulGrp ` r ) MndHom (mulGrp ` s ) ) ) e. _V -> RingHom Fn ( Ring X. Ring ) )
10	7, 9	ax-mp 5	1 |- RingHom Fn ( Ring X. Ring )

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2160   A.wral 2468   _Vcvv 2752   i^i cin 3143   X. cxp 4642   Fn wfn 5230   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   MndHom cmhm 12906   Grpcgrp 12942   GrpHom cghm 13176  mulGrpcmgp 13271   Ringcrg 13347   RingHom crh 13497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-map 6675  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-ltxr 8026  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-sets 12518  df-plusg 12599  df-mulr 12600  df-0g 12760  df-mgm 12829  df-sgrp 12862  df-mnd 12875  df-mhm 12908  df-grp 12945  df-ghm 13177  df-mgp 13272  df-ur 13311  df-ring 13349  df-rhm 13499

This theorem is referenced by: (None)