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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ghmmulg | Unicode version |
Description: A group homomorphism preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) |
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ghmmulg.b |
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ghmmulg.s |
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ghmmulg.t |
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ghmmulg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ghmmhm 13185 |
. . . . . 6
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2 | ghmmulg.b |
. . . . . . 7
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3 | ghmmulg.s |
. . . . . . 7
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4 | ghmmulg.t |
. . . . . . 7
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5 | 2, 3, 4 | mhmmulg 13096 |
. . . . . 6
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6 | 1, 5 | syl3an1 1282 |
. . . . 5
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7 | 6 | 3expa 1205 |
. . . 4
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8 | 7 | an32s 568 |
. . 3
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9 | 8 | 3adantl2 1156 |
. 2
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10 | simpl1 1002 |
. . . . . . . 8
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11 | 10, 1 | syl 14 |
. . . . . . 7
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12 | nnnn0 9208 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | ad2antll 491 |
. . . . . . 7
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14 | simpl3 1004 |
. . . . . . 7
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15 | 2, 3, 4 | mhmmulg 13096 |
. . . . . . 7
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16 | 11, 13, 14, 15 | syl3anc 1249 |
. . . . . 6
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17 | 16 | fveq2d 5535 |
. . . . 5
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18 | ghmgrp1 13177 |
. . . . . . . 8
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19 | 10, 18 | syl 14 |
. . . . . . 7
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20 | nnz 9297 |
. . . . . . . 8
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21 | 20 | ad2antll 491 |
. . . . . . 7
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22 | 2, 3 | mulgcl 13072 |
. . . . . . 7
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23 | 19, 21, 14, 22 | syl3anc 1249 |
. . . . . 6
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24 | eqid 2189 |
. . . . . . 7
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25 | eqid 2189 |
. . . . . . 7
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26 | 2, 24, 25 | ghminv 13182 |
. . . . . 6
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27 | 10, 23, 26 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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28 | ghmgrp2 13178 |
. . . . . . 7
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29 | 10, 28 | syl 14 |
. . . . . 6
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30 | eqid 2189 |
. . . . . . . . 9
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31 | 2, 30 | ghmf 13179 |
. . . . . . . 8
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32 | 10, 31 | syl 14 |
. . . . . . 7
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33 | 32, 14 | ffvelcdmd 5669 |
. . . . . 6
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34 | 30, 4, 25 | mulgneg 13073 |
. . . . . 6
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35 | 29, 21, 33, 34 | syl3anc 1249 |
. . . . 5
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36 | 17, 27, 35 | 3eqtr4d 2232 |
. . . 4
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37 | 2, 3, 24 | mulgneg 13073 |
. . . . . . 7
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38 | 19, 21, 14, 37 | syl3anc 1249 |
. . . . . 6
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39 | simprl 529 |
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40 | 39 | recnd 8011 |
. . . . . . . 8
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41 | 40 | negnegd 8284 |
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42 | 41 | oveq1d 5907 |
. . . . . 6
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43 | 38, 42 | eqtr3d 2224 |
. . . . 5
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44 | 43 | fveq2d 5535 |
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45 | 36, 44 | eqtr3d 2224 |
. . 3
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46 | 41 | oveq1d 5907 |
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47 | 45, 46 | eqtr3d 2224 |
. 2
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48 | simp2 1000 |
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49 | elznn0nn 9292 |
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50 | 48, 49 | sylib 122 |
. 2
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51 | 9, 47, 50 | mpjaodan 799 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-iinf 4602 ax-cnex 7927 ax-resscn 7928 ax-1cn 7929 ax-1re 7930 ax-icn 7931 ax-addcl 7932 ax-addrcl 7933 ax-mulcl 7934 ax-addcom 7936 ax-addass 7938 ax-distr 7940 ax-i2m1 7941 ax-0lt1 7942 ax-0id 7944 ax-rnegex 7945 ax-cnre 7947 ax-pre-ltirr 7948 ax-pre-ltwlin 7949 ax-pre-lttrn 7950 ax-pre-ltadd 7952 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4308 df-iord 4381 df-on 4383 df-ilim 4384 df-suc 4386 df-iom 4605 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5234 df-fn 5235 df-f 5236 df-f1 5237 df-fo 5238 df-f1o 5239 df-fv 5240 df-riota 5848 df-ov 5895 df-oprab 5896 df-mpo 5897 df-1st 6160 df-2nd 6161 df-recs 6325 df-frec 6411 df-map 6671 df-pnf 8019 df-mnf 8020 df-xr 8021 df-ltxr 8022 df-le 8023 df-sub 8155 df-neg 8156 df-inn 8945 df-2 9003 df-n0 9202 df-z 9279 df-uz 9554 df-seqfrec 10472 df-ndx 12510 df-slot 12511 df-base 12513 df-plusg 12595 df-0g 12756 df-mgm 12825 df-sgrp 12858 df-mnd 12871 df-mhm 12904 df-grp 12941 df-minusg 12942 df-mulg 13055 df-ghm 13173 |
This theorem is referenced by: mulgrhm2 13901 |
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