Theorem mhmex 13164

Description: The set of monoid homomorphisms exists. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mhmex	|- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) e. _V )

Proof of Theorem mhmex

Dummy variables f s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6723	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		basfn 12761	. . . . . 6 |- Base Fn _V
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. Mnd )
4	3	elexd 2776	. . . . . 6 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. _V )
5		funfvex 5578	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ T e. dom Base ) -> ( Base ` T ) e. _V )
6	5	funfni 5361	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ T e. _V ) -> ( Base ` T ) e. _V )
7	2, 4, 6	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` T ) e. _V )
8		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. Mnd )
9	8	elexd 2776	. . . . . 6 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. _V )
10		funfvex 5578	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
11	10	funfni 5361	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
12	2, 9, 11	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` S ) e. _V )
13		fnovex 5958	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( Base ` T ) e. _V /\ ( Base ` S ) e. _V ) -> ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V )
14	1, 7, 12, 13	mp3an2i 1353	. . . 4 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V )
15		rabexg 4177	. . . 4 |- ( ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V -> { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V )
16	14, 15	syl 14	. . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V )
17		fveq2 5561	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
18	17	oveq2d 5941	. . . . 5 |- ( s = S -> ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) = ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) )
19		fveq2 5561	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
20	19	oveqd 5942	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( x ( +g ` s ) y ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
21	20	fveqeq2d 5569	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
22	17, 21	raleqbidv 2709	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
23	17, 22	raleqbidv 2709	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
24		fveq2 5561	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( 0g ` s ) = ( 0g ` S ) )
25	24	fveqeq2d 5569	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) <-> ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) )
26	23, 25	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( s = S -> ( ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) ) )
27	18, 26	rabeqbidv 2758	. . . 4 |- ( s = S -> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } = { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
28		fveq2 5561	. . . . . 6 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
29	28	oveq1d 5940	. . . . 5 |- ( t = T -> ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) = ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) )
30		fveq2 5561	. . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
31	30	oveqd 5942	. . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) )
32	31	eqeq2d 2208	. . . . . . 7 |- ( t = T -> ( ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) ) )
33	32	2ralbidv 2521	. . . . . 6 |- ( t = T -> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) ) )
34		fveq2 5561	. . . . . . 7 |- ( t = T -> ( 0g ` t ) = ( 0g ` T ) )
35	34	eqeq2d 2208	. . . . . 6 |- ( t = T -> ( ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) <-> ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) )
36	33, 35	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( t = T -> ( ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) )
37	29, 36	rabeqbidv 2758	. . . 4 |- ( t = T -> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) } = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
38		df-mhm 13161	. . . 4 |- MndHom = ( s e. Mnd , t e. Mnd |-> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
39	27, 37, 38	ovmpog 6061	. . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd /\ { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
40	16, 39	mpd3an3 1349	. 2 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
41	40, 16	eqeltrd 2273	1 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   X. cxp 4662   Fn wfn 5254   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^m cmap 6716   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   0gc0g 12958   Mndcmnd 13118   MndHom cmhm 13159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-inn 9008  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-mhm 13161

This theorem is referenced by:  ghmex  13461