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Theorem mhmex 13294
Description: The set of monoid homomorphisms exists. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2025.)
Assertion
Ref Expression
mhmex  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  ( S MndHom  T )  e.  _V )

Proof of Theorem mhmex
Dummy variables  f  s  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnmap 6742 . . . . 5  |-  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )
2 basfn 12890 . . . . . 6  |-  Base  Fn  _V
3 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  T  e.  Mnd )
43elexd 2785 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  T  e.  _V )
5 funfvex 5593 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  Base  /\  T  e. 
dom  Base )  ->  ( Base `  T )  e. 
_V )
65funfni 5376 . . . . . 6  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( Base `  T )  e. 
_V )
72, 4, 6sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  ( Base `  T
)  e.  _V )
8 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  S  e.  Mnd )
98elexd 2785 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  S  e.  _V )
10 funfvex 5593 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  Base  /\  S  e. 
dom  Base )  ->  ( Base `  S )  e. 
_V )
1110funfni 5376 . . . . . 6  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( Base `  S )  e. 
_V )
122, 9, 11sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  ( Base `  S
)  e.  _V )
13 fnovex 5977 . . . . 5  |-  ( (  ^m  Fn  ( _V 
X.  _V )  /\  ( Base `  T )  e. 
_V  /\  ( Base `  S )  e.  _V )  ->  ( ( Base `  T )  ^m  ( Base `  S ) )  e.  _V )
141, 7, 12, 13mp3an2i 1355 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  ( ( Base `  T
)  ^m  ( Base `  S ) )  e. 
_V )
15 rabexg 4187 . . . 4  |-  ( ( ( Base `  T
)  ^m  ( Base `  S ) )  e. 
_V  ->  { f  e.  ( ( Base `  T
)  ^m  ( Base `  S ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( f `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  T
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T ) ) }  e.  _V )
1614, 15syl 14 . . 3  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  { f  e.  ( ( Base `  T
)  ^m  ( Base `  S ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( f `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  T
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T ) ) }  e.  _V )
17 fveq2 5576 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
1817oveq2d 5960 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( Base `  t )  ^m  ( Base `  s
) )  =  ( ( Base `  t
)  ^m  ( Base `  S ) ) )
19 fveq2 5576 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( +g  `  s )  =  ( +g  `  S
) )
2019oveqd 5961 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
x ( +g  `  s
) y )  =  ( x ( +g  `  S ) y ) )
2120fveqeq2d 5584 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( f `  (
x ( +g  `  s
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  t ) ( f `  y
) )  <->  ( f `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) ) ) )
2217, 21raleqbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( x ( +g  `  s
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  t ) ( f `  y
) )  <->  A. y  e.  ( Base `  S
) ( f `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) ) ) )
2317, 22raleqbidv 2718 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  ( Base `  s ) A. y  e.  ( Base `  s ) ( f `
 ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t ) ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  S ) A. y  e.  ( Base `  S ) ( f `
 ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t ) ( f `
 y ) ) ) )
24 fveq2 5576 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( 0g `  s )  =  ( 0g `  S
) )
2524fveqeq2d 5584 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( f `  ( 0g `  s ) )  =  ( 0g `  t )  <->  ( f `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  t ) ) )
2623, 25anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. x  e.  ( Base `  s
) A. y  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  s ) )  =  ( 0g `  t ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  S ) A. y  e.  ( Base `  S
) ( f `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  t ) ) ) )
2718, 26rabeqbidv 2767 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  { f  e.  ( ( Base `  t )  ^m  ( Base `  s ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  s
) A. y  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  s ) )  =  ( 0g `  t ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  t
)  ^m  ( Base `  S ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( f `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  t ) ) } )
28 fveq2 5576 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ( Base `  t )  =  ( Base `  T
) )
2928oveq1d 5959 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  (
( Base `  t )  ^m  ( Base `  S
) )  =  ( ( Base `  T
)  ^m  ( Base `  S ) ) )
30 fveq2 5576 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  ( +g  `  t )  =  ( +g  `  T
) )
3130oveqd 5961 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  T ) ( f `
 y ) ) )
3231eqeq2d 2217 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  (
( f `  (
x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  t ) ( f `  y
) )  <->  ( f `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  T
) ( f `  y ) ) ) )
33322ralbidv 2530 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ( A. x  e.  ( Base `  S ) A. y  e.  ( Base `  S ) ( f `
 ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t ) ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  S ) A. y  e.  ( Base `  S ) ( f `
 ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  T ) ( f `
 y ) ) ) )
34 fveq2 5576 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  ( 0g `  t )  =  ( 0g `  T
) )
3534eqeq2d 2217 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  (
( f `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  t )  <->  ( f `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) ) )
3633, 35anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  (
( A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( f `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  t ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  S ) A. y  e.  ( Base `  S
) ( f `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  T
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T ) ) ) )
3729, 36rabeqbidv 2767 . . . 4  |-  ( t  =  T  ->  { f  e.  ( ( Base `  t )  ^m  ( Base `  S ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( f `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  t ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  T
)  ^m  ( Base `  S ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( f `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  T
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T ) ) } )
38 df-mhm 13291 . . . 4  |- MndHom  =  ( s  e.  Mnd , 
t  e.  Mnd  |->  { f  e.  ( (
Base `  t )  ^m  ( Base `  s
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  s ) A. y  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( x ( +g  `  s
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  t ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 0g `  s ) )  =  ( 0g `  t
) ) } )
3927, 37, 38ovmpog 6080 . . 3  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd  /\  {
f  e.  ( (
Base `  T )  ^m  ( Base `  S
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  S ) A. y  e.  ( Base `  S ) ( f `  ( x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  T ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) }  e.  _V )  ->  ( S MndHom  T )  =  {
f  e.  ( (
Base `  T )  ^m  ( Base `  S
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  S ) A. y  e.  ( Base `  S ) ( f `  ( x ( +g  `  S
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  T ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) } )
4016, 39mpd3an3 1351 . 2  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  ( S MndHom  T )  =  { f  e.  ( ( Base `  T
)  ^m  ( Base `  S ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  S
) A. y  e.  ( Base `  S
) ( f `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  T
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T ) ) } )
4140, 16eqeltrd 2282 1  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  ( S MndHom  T )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1373    e. wcel 2176   A.wral 2484   {crab 2488   _Vcvv 2772    X. cxp 4673    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5944    ^m cmap 6735   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   0gc0g 13088   Mndcmnd 13248   MndHom cmhm 13289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-map 6737  df-inn 9037  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-mhm 13291
This theorem is referenced by:  ghmex  13591
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