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Theorem mhmex 13409
Description: The set of monoid homomorphisms exists. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2025.)
Assertion
Ref Expression
mhmex |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) e. _V )
Proof of Theorem mhmex
Dummy variables f s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnmap 6765 . . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2 basfn 13005 . . . . . 6 |- Base Fn _V
3 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. Mnd )
43elexd 2790 . . . . . 6 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. _V )
5 funfvex 5616 . . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ T e. dom Base ) -> ( Base ` T ) e. _V )
65funfni 5395 . . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ T e. _V ) -> ( Base ` T ) e. _V )
72, 4, 6sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` T ) e. _V )
8 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. Mnd )
98elexd 2790 . . . . . 6 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. _V )
10 funfvex 5616 . . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
1110funfni 5395 . . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
122, 9, 11sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` S ) e. _V )
13 fnovex 6000 . . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( Base ` T ) e. _V /\ ( Base ` S ) e. _V ) -> ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V )
141, 7, 12, 13mp3an2i 1355 . . . 4 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V )
15 rabexg 4203 . . . 4 |- ( ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V -> { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V )
1614, 15syl 14 . . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V )
17 fveq2 5599 . . . . . 6 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
1817oveq2d 5983 . . . . 5 |- ( s = S -> ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) = ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) )
19 fveq2 5599 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
2019oveqd 5984 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( x ( +g ` s ) y ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
2120fveqeq2d 5607 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
2217, 21raleqbidv 2721 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
2317, 22raleqbidv 2721 . . . . . 6 |- ( s = S -> ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
24 fveq2 5599 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( 0g ` s ) = ( 0g ` S ) )
2524fveqeq2d 5607 . . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) <-> ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) )
2623, 25anbi12d 473 . . . . 5 |- ( s = S -> ( ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) ) )
2718, 26rabeqbidv 2771 . . . 4 |- ( s = S -> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } = { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
28 fveq2 5599 . . . . . 6 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
2928oveq1d 5982 . . . . 5 |- ( t = T -> ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) = ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) )
30 fveq2 5599 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
3130oveqd 5984 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) )
3231eqeq2d 2219 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) ) )
33322ralbidv 2532 . . . . . 6 |- ( t = T -> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) ) )
34 fveq2 5599 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( 0g ` t ) = ( 0g ` T ) )
3534eqeq2d 2219 . . . . . 6 |- ( t = T -> ( ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) <-> ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) )
3633, 35anbi12d 473 . . . . 5 |- ( t = T -> ( ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) )
3729, 36rabeqbidv 2771 . . . 4 |- ( t = T -> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) } = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
38 df-mhm 13406 . . . 4 |- MndHom = ( s e. Mnd , t e. Mnd |-> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
3927, 37, 38ovmpog 6103 . . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd /\ { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
4016, 39mpd3an3 1351 . 2 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
4140, 16eqeltrd 2284 1 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) e. _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   {crab 2490   _Vcvv 2776   X. cxp 4691   Fn wfn 5285   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   ^m cmap 6758   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   0gc0g 13203   Mndcmnd 13363   MndHom cmhm 13404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-inn 9072  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-mhm 13406
This theorem is referenced by:  ghmex  13706
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