Theorem mhmex 13490

Description: The set of monoid homomorphisms exists. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mhmex	|- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) e. _V )

Proof of Theorem mhmex

Dummy variables f s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6800	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		basfn 13086	. . . . . 6 |- Base Fn _V
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. Mnd )
4	3	elexd 2813	. . . . . 6 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. _V )
5		funfvex 5643	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ T e. dom Base ) -> ( Base ` T ) e. _V )
6	5	funfni 5422	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ T e. _V ) -> ( Base ` T ) e. _V )
7	2, 4, 6	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` T ) e. _V )
8		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. Mnd )
9	8	elexd 2813	. . . . . 6 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. _V )
10		funfvex 5643	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
11	10	funfni 5422	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
12	2, 9, 11	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` S ) e. _V )
13		fnovex 6033	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( Base ` T ) e. _V /\ ( Base ` S ) e. _V ) -> ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V )
14	1, 7, 12, 13	mp3an2i 1376	. . . 4 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V )
15		rabexg 4226	. . . 4 |- ( ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V -> { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V )
16	14, 15	syl 14	. . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V )
17		fveq2 5626	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
18	17	oveq2d 6016	. . . . 5 |- ( s = S -> ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) = ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) )
19		fveq2 5626	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
20	19	oveqd 6017	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( x ( +g ` s ) y ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
21	20	fveqeq2d 5634	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
22	17, 21	raleqbidv 2744	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
23	17, 22	raleqbidv 2744	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
24		fveq2 5626	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( 0g ` s ) = ( 0g ` S ) )
25	24	fveqeq2d 5634	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) <-> ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) )
26	23, 25	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( s = S -> ( ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) ) )
27	18, 26	rabeqbidv 2794	. . . 4 |- ( s = S -> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } = { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
28		fveq2 5626	. . . . . 6 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
29	28	oveq1d 6015	. . . . 5 |- ( t = T -> ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) = ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) )
30		fveq2 5626	. . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
31	30	oveqd 6017	. . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) )
32	31	eqeq2d 2241	. . . . . . 7 |- ( t = T -> ( ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) ) )
33	32	2ralbidv 2554	. . . . . 6 |- ( t = T -> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) ) )
34		fveq2 5626	. . . . . . 7 |- ( t = T -> ( 0g ` t ) = ( 0g ` T ) )
35	34	eqeq2d 2241	. . . . . 6 |- ( t = T -> ( ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) <-> ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) )
36	33, 35	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( t = T -> ( ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) )
37	29, 36	rabeqbidv 2794	. . . 4 |- ( t = T -> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) } = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
38		df-mhm 13487	. . . 4 |- MndHom = ( s e. Mnd , t e. Mnd |-> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
39	27, 37, 38	ovmpog 6138	. . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd /\ { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
40	16, 39	mpd3an3 1372	. 2 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
41	40, 16	eqeltrd 2306	1 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   X. cxp 4716   Fn wfn 5312   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   ^m cmap 6793   Basecbs 13027   +g cplusg 13105   0gc0g 13284   Mndcmnd 13444   MndHom cmhm 13485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-map 6795  df-inn 9107  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-mhm 13487

This theorem is referenced by:  ghmex  13787