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Theorem mhmex 13717
Description: The set of monoid homomorphisms exists. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2025.)
Assertion
Ref Expression
mhmex |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) e. _V )
Proof of Theorem mhmex
Dummy variables f s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnmap 6902 . . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2 basfn 13355 . . . . . 6 |- Base Fn _V
3 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. Mnd )
43elexd 2829 . . . . . 6 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. _V )
5 funfvex 5692 . . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ T e. dom Base ) -> ( Base ` T ) e. _V )
65funfni 5463 . . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ T e. _V ) -> ( Base ` T ) e. _V )
72, 4, 6sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` T ) e. _V )
8 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. Mnd )
98elexd 2829 . . . . . 6 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. _V )
10 funfvex 5692 . . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
1110funfni 5463 . . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
122, 9, 11sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` S ) e. _V )
13 fnovex 6091 . . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( Base ` T ) e. _V /\ ( Base ` S ) e. _V ) -> ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V )
141, 7, 12, 13mp3an2i 1379 . . . 4 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V )
15 rabexg 4260 . . . 4 |- ( ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V -> { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V )
1614, 15syl 14 . . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V )
17 fveq2 5675 . . . . . 6 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
1817oveq2d 6074 . . . . 5 |- ( s = S -> ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) = ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) )
19 fveq2 5675 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
2019oveqd 6075 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( x ( +g ` s ) y ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
2120fveqeq2d 5683 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
2217, 21raleqbidv 2759 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
2317, 22raleqbidv 2759 . . . . . 6 |- ( s = S -> ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
24 fveq2 5675 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( 0g ` s ) = ( 0g ` S ) )
2524fveqeq2d 5683 . . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) <-> ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) )
2623, 25anbi12d 473 . . . . 5 |- ( s = S -> ( ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) ) )
2718, 26rabeqbidv 2810 . . . 4 |- ( s = S -> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } = { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
28 fveq2 5675 . . . . . 6 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
2928oveq1d 6073 . . . . 5 |- ( t = T -> ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) = ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) )
30 fveq2 5675 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
3130oveqd 6075 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) )
3231eqeq2d 2246 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) ) )
33322ralbidv 2568 . . . . . 6 |- ( t = T -> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) ) )
34 fveq2 5675 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( 0g ` t ) = ( 0g ` T ) )
3534eqeq2d 2246 . . . . . 6 |- ( t = T -> ( ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) <-> ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) )
3633, 35anbi12d 473 . . . . 5 |- ( t = T -> ( ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) )
3729, 36rabeqbidv 2810 . . . 4 |- ( t = T -> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) } = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
38 df-mhm 13714 . . . 4 |- MndHom = ( s e. Mnd , t e. Mnd |-> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
3927, 37, 38ovmpog 6196 . . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd /\ { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
4016, 39mpd3an3 1375 . 2 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
4140, 16eqeltrd 2311 1 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) e. _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   _Vcvv 2815   X. cxp 4752   Fn wfn 5352   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   0gc0g 13553   Mndcmnd 13677   MndHom cmhm 13712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-inn 9255  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-mhm 13714
This theorem is referenced by:  ghmex  14008
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