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Theorem mhmex 13769
Description: The set of monoid homomorphisms exists. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2025.)
Assertion
Ref Expression
mhmex |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) e. _V )
Proof of Theorem mhmex
Dummy variables f s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnmap 6929 . . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2 basfn 13411 . . . . . 6 |- Base Fn _V
3 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. Mnd )
43elexd 2835 . . . . . 6 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. _V )
5 funfvex 5712 . . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ T e. dom Base ) -> ( Base ` T ) e. _V )
65funfni 5483 . . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ T e. _V ) -> ( Base ` T ) e. _V )
72, 4, 6sylancr 418 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` T ) e. _V )
8 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. Mnd )
98elexd 2835 . . . . . 6 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. _V )
10 funfvex 5712 . . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
1110funfni 5483 . . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
122, 9, 11sylancr 418 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` S ) e. _V )
13 fnovex 6118 . . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( Base ` T ) e. _V /\ ( Base ` S ) e. _V ) -> ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V )
141, 7, 12, 13mp3an2i 1383 . . . 4 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V )
15 rabexg 4279 . . . 4 |- ( ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) e. _V -> { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V )
1614, 15syl 14 . . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V )
17 fveq2 5695 . . . . . 6 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
1817oveq2d 6101 . . . . 5 |- ( s = S -> ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) = ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) )
19 fveq2 5695 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
2019oveqd 6102 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( x ( +g ` s ) y ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
2120fveqeq2d 5703 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
2217, 21raleqbidv 2765 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
2317, 22raleqbidv 2765 . . . . . 6 |- ( s = S -> ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) ) )
24 fveq2 5695 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( 0g ` s ) = ( 0g ` S ) )
2524fveqeq2d 5703 . . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) <-> ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) )
2623, 25anbi12d 477 . . . . 5 |- ( s = S -> ( ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) ) )
2718, 26rabeqbidv 2816 . . . 4 |- ( s = S -> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } = { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
28 fveq2 5695 . . . . . 6 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
2928oveq1d 6100 . . . . 5 |- ( t = T -> ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) = ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) )
30 fveq2 5695 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
3130oveqd 6102 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) )
3231eqeq2d 2250 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) ) )
33322ralbidv 2574 . . . . . 6 |- ( t = T -> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) ) )
34 fveq2 5695 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( 0g ` t ) = ( 0g ` T ) )
3534eqeq2d 2250 . . . . . 6 |- ( t = T -> ( ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) <-> ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) )
3633, 35anbi12d 477 . . . . 5 |- ( t = T -> ( ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) )
3729, 36rabeqbidv 2816 . . . 4 |- ( t = T -> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` t ) ) } = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
38 df-mhm 13766 . . . 4 |- MndHom = ( s e. Mnd , t e. Mnd |-> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
3927, 37, 38ovmpog 6223 . . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd /\ { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } e. _V ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
4016, 39mpd3an3 1379 . 2 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( ( Base ` T ) ^m ( Base ` S ) ) | ( A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( f ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` T ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) } )
4140, 16eqeltrd 2315 1 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) e. _V )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   X. cxp 4772   Fn wfn 5372   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   0gc0g 13610   Mndcmnd 13729   MndHom cmhm 13764
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-inn 9305  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-mhm 13766
This theorem is used by:  ghmex  14058
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