Theorem grpinvsub 12808

Description: Inverse of a group subtraction. (Contributed by NM, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )
grpinvsub.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvsub	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .- Y ) ) = ( Y .- X ) )

Proof of Theorem grpinvsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvsub.n	. . . . . 6 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvcl 12778	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
4	3	3adant2 1014	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
5		eqid 2173	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
6	1, 5, 2	grpinvadd 12804	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( N ` Y ) e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
7	4, 6	syld3an3 1281	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
8	1, 2	grpinvinv 12793	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
9	8	3adant2 1014	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
10	9	oveq1d 5877	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
11	7, 10	eqtrd 2206	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
12		grpsubcl.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` G )
13	1, 5, 2, 12	grpsubval 12776	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) )
14	13	3adant1 1013	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) )
15	14	fveq2d 5508	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .- Y ) ) = ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) )
16	1, 5, 2, 12	grpsubval 12776	. . . 4 |- ( ( Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
17	16	ancoms 268	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
18	17	3adant1 1013	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
19	11, 15, 18	3eqtr4d 2216	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .- Y ) ) = ( Y .- X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 976   = wceq 1351   e. wcel 2144   ` cfv 5205  (class class class)co 5862   Basecbs 12425   +g cplusg 12489   Grpcgrp 12735   invgcminusg 12736   -gcsg 12737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 612  ax-in2 613  ax-io 707  ax-5 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-ie1 1489  ax-ie2 1490  ax-8 1500  ax-10 1501  ax-11 1502  ax-i12 1503  ax-bndl 1505  ax-4 1506  ax-17 1522  ax-i9 1526  ax-ial 1530  ax-i5r 1531  ax-13 2146  ax-14 2147  ax-ext 2155  ax-coll 4110  ax-sep 4113  ax-pow 4166  ax-pr 4200  ax-un 4424  ax-setind 4527  ax-cnex 7874  ax-resscn 7875  ax-1re 7877  ax-addrcl 7880

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 978  df-tru 1354  df-fal 1357  df-nf 1457  df-sb 1759  df-eu 2025  df-mo 2026  df-clab 2160  df-cleq 2166  df-clel 2169  df-nfc 2304  df-ne 2344  df-ral 2456  df-rex 2457  df-reu 2458  df-rmo 2459  df-rab 2460  df-v 2735  df-sbc 2959  df-csb 3053  df-dif 3126  df-un 3128  df-in 3130  df-ss 3137  df-pw 3571  df-sn 3592  df-pr 3593  df-op 3595  df-uni 3803  df-int 3838  df-iun 3881  df-br 3996  df-opab 4057  df-mpt 4058  df-id 4284  df-xp 4623  df-rel 4624  df-cnv 4625  df-co 4626  df-dm 4627  df-rn 4628  df-res 4629  df-ima 4630  df-iota 5167  df-fun 5207  df-fn 5208  df-f 5209  df-f1 5210  df-fo 5211  df-f1o 5212  df-fv 5213  df-riota 5818  df-ov 5865  df-oprab 5866  df-mpo 5867  df-1st 6128  df-2nd 6129  df-inn 8888  df-2 8946  df-ndx 12428  df-slot 12429  df-base 12431  df-plusg 12502  df-0g 12625  df-mgm 12637  df-sgrp 12670  df-mnd 12680  df-grp 12738  df-minusg 12739  df-sbg 12740

This theorem is referenced by:  grpsubsub  12815  ablsub2inv  12907