ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grpinvsub Unicode version

Theorem grpinvsub 12828
Description: Inverse of a group subtraction. (Contributed by NM, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
grpinvsub.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvsub  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .-  Y ) )  =  ( Y  .-  X ) )

Proof of Theorem grpinvsub
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinvsub.n . . . . . 6  |-  N  =  ( invg `  G )
31, 2grpinvcl 12798 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
433adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
5 eqid 2177 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
61, 5, 2grpinvadd 12824 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( N `  Y )  e.  B )  -> 
( N `  ( X ( +g  `  G
) ( N `  Y ) ) )  =  ( ( N `
 ( N `  Y ) ) ( +g  `  G ) ( N `  X
) ) )
74, 6syld3an3 1283 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X ( +g  `  G
) ( N `  Y ) ) )  =  ( ( N `
 ( N `  Y ) ) ( +g  `  G ) ( N `  X
) ) )
81, 2grpinvinv 12813 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( N `  Y )
)  =  Y )
983adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( N `  Y )
)  =  Y )
109oveq1d 5883 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( N `  ( N `  Y ) ) ( +g  `  G
) ( N `  X ) )  =  ( Y ( +g  `  G ) ( N `
 X ) ) )
117, 10eqtrd 2210 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X ( +g  `  G
) ( N `  Y ) ) )  =  ( Y ( +g  `  G ) ( N `  X
) ) )
12 grpsubcl.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
131, 5, 2, 12grpsubval 12796 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( N `  Y ) ) )
14133adant1 1015 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( N `  Y ) ) )
1514fveq2d 5514 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .-  Y ) )  =  ( N `  ( X ( +g  `  G
) ( N `  Y ) ) ) )
161, 5, 2, 12grpsubval 12796 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .-  X
)  =  ( Y ( +g  `  G
) ( N `  X ) ) )
1716ancoms 268 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .-  X
)  =  ( Y ( +g  `  G
) ( N `  X ) ) )
18173adant1 1015 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .-  X
)  =  ( Y ( +g  `  G
) ( N `  X ) ) )
1911, 15, 183eqtr4d 2220 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .-  Y ) )  =  ( Y  .-  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   Basecbs 12432   +g cplusg 12505   Grpcgrp 12754   invgcminusg 12755   -gcsg 12756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-minusg 12758  df-sbg 12759
This theorem is referenced by:  grpsubsub  12835  ablsub2inv  12928
  Copyright terms: Public domain W3C validator