Theorem grpinvsub 13946

Description: Inverse of a group subtraction. (Contributed by NM, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubcl.m	|- .- = ( -g ` G )
grpinvsub.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvsub	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .- Y ) ) = ( Y .- X ) )

Proof of Theorem grpinvsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		grpinvsub.n	. . . . . 6 |- N = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvcl 13912	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
4	3	3adant2 1047	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
5		eqid 2238	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
6	1, 5, 2	grpinvadd 13942	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( N ` Y ) e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
7	4, 6	syld3an3 1323	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
8	1, 2	grpinvinv 13931	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
9	8	3adant2 1047	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y )
10	9	oveq1d 6103	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
11	7, 10	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
12		grpsubcl.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` G )
13	1, 5, 2, 12	grpsubval 13910	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) )
14	13	3adant1 1046	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) )
15	14	fveq2d 5702	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .- Y ) ) = ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) )
16	1, 5, 2, 12	grpsubval 13910	. . . 4 |- ( ( Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
17	16	ancoms 268	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
18	17	3adant1 1046	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) )
19	11, 15, 18	3eqtr4d 2281	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .- Y ) ) = ( Y .- X ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   Grpcgrp 13864   invgcminusg 13865   -gcsg 13866

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-sbg 13869

This theorem is used by:  grpsubsub  13953  ablsub2inv  14205  aprsym  14705  lspsnsub  14867