ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grpinvval2 GIF version

Theorem grpinvval2 12885
Description: A df-neg 8127-like equation for inverse in terms of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m = (-g𝐺)
grpinvsub.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpinvval2.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvval2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = ( 0 𝑋))

Proof of Theorem grpinvval2
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grpinvval2.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
31, 2grpidcl 12836 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
4 eqid 2177 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 grpinvsub.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
6 grpsubcl.m . . . 4 = (-g𝐺)
71, 4, 5, 6grpsubval 12851 . . 3 (( 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = ( 0 (+g𝐺)(𝑁𝑋)))
83, 7sylan 283 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = ( 0 (+g𝐺)(𝑁𝑋)))
91, 5grpinvcl 12853 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
101, 4, 2grplid 12838 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝐺)(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
119, 10syldan 282 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (+g𝐺)(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
128, 11eqtr2d 2211 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = ( 0 𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454  +gcplusg 12528  0gc0g 12693  Grpcgrp 12809  invgcminusg 12810  -gcsg 12811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-sbg 12814
This theorem is referenced by:  grpsubadd0sub  12889
  Copyright terms: Public domain W3C validator