Theorem grpaddsubass 13162

Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpaddsubass	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( X .+ ( Y .- Z ) ) )

Proof of Theorem grpaddsubass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
2		simpr1 1005	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
3		simpr2 1006	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
4		grpsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5		eqid 2193	. . . . 5 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
6	4, 5	grpinvcl 13120	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
7	6	3ad2antr3 1166	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
8		grpsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
9	4, 8	grpass 13081	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
10	1, 2, 3, 7, 9	syl13anc 1251	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
11	4, 8	grpcl 13080	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
12	11	3adant3r3 1216	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ Y ) e. B )
13		simpr3 1007	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
14		grpsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
15	4, 8, 5, 14	grpsubval 13118	. . 3 |- ( ( ( X .+ Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
16	12, 13, 15	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
17	4, 8, 5, 14	grpsubval 13118	. . . 4 |- ( ( Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
18	3, 13, 17	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .- Z ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
19	18	oveq2d 5934	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( Y .- Z ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
20	10, 16, 19	3eqtr4d 2236	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( X .+ ( Y .- Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   Grpcgrp 13072   invgcminusg 13073   -gcsg 13074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077

This theorem is referenced by:  grppncan  13163  grpnpncan  13167  nsgconj  13276  conjghm  13346  conjnmz  13349  conjnmzb  13350  abladdsub  13385  ablsubsub  13388