Theorem grpaddsubass 13753

Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpaddsubass	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( X .+ ( Y .- Z ) ) )

Proof of Theorem grpaddsubass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
2		simpr1 1030	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
3		simpr2 1031	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
4		grpsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
6	4, 5	grpinvcl 13711	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
7	6	3ad2antr3 1191	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
8		grpsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
9	4, 8	grpass 13672	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
10	1, 2, 3, 7, 9	syl13anc 1276	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
11	4, 8	grpcl 13671	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
12	11	3adant3r3 1241	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ Y ) e. B )
13		simpr3 1032	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
14		grpsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
15	4, 8, 5, 14	grpsubval 13709	. . 3 |- ( ( ( X .+ Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
16	12, 13, 15	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
17	4, 8, 5, 14	grpsubval 13709	. . . 4 |- ( ( Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
18	3, 13, 17	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .- Z ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
19	18	oveq2d 6044	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( Y .- Z ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
20	10, 16, 19	3eqtr4d 2274	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( X .+ ( Y .- Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   Grpcgrp 13663   invgcminusg 13664   -gcsg 13665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-inn 9203  df-2 9261  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-sbg 13668

This theorem is referenced by:  grppncan  13754  grpnpncan  13758  nsgconj  13873  conjghm  13943  conjnmz  13946  conjnmzb  13947  abladdsub  13982  ablsubsub  13985