Theorem grpaddsubass 13674

Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpaddsubass	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( X .+ ( Y .- Z ) ) )

Proof of Theorem grpaddsubass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
2		simpr1 1029	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
3		simpr2 1030	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
4		grpsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
6	4, 5	grpinvcl 13632	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
7	6	3ad2antr3 1190	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
8		grpsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
9	4, 8	grpass 13593	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
10	1, 2, 3, 7, 9	syl13anc 1275	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
11	4, 8	grpcl 13592	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
12	11	3adant3r3 1240	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ Y ) e. B )
13		simpr3 1031	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
14		grpsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
15	4, 8, 5, 14	grpsubval 13630	. . 3 |- ( ( ( X .+ Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
16	12, 13, 15	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
17	4, 8, 5, 14	grpsubval 13630	. . . 4 |- ( ( Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .- Z ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
18	3, 13, 17	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .- Z ) = ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
19	18	oveq2d 6034	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( Y .- Z ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
20	10, 16, 19	3eqtr4d 2274	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Z ) = ( X .+ ( Y .- Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13083   +g cplusg 13161   Grpcgrp 13584   invgcminusg 13585   -gcsg 13586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13086  df-slot 13087  df-base 13089  df-plusg 13174  df-0g 13342  df-mgm 13440  df-sgrp 13486  df-mnd 13501  df-grp 13587  df-minusg 13588  df-sbg 13589

This theorem is referenced by:  grppncan  13675  grpnpncan  13679  nsgconj  13794  conjghm  13864  conjnmz  13867  conjnmzb  13868  abladdsub  13903  ablsubsub  13906