ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grpsubsub Unicode version

Theorem grpsubsub 12835
Description: Double group subtraction. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubsub  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .+  ( Z  .-  Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubsub
StepHypRef Expression
1 simpr1 1003 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
2 grpsubadd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grpsubadd.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
42, 3grpsubcl 12826 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .-  Z
)  e.  B )
543adant3r1 1212 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .-  Z )  e.  B )
6 grpsubadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
7 eqid 2177 . . . 4  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
82, 6, 7, 3grpsubval 12796 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( Y  .-  Z )  e.  B )  -> 
( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .+  ( ( invg `  G ) `  ( Y  .-  Z ) ) ) )
91, 5, 8syl2anc 411 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .+  (
( invg `  G ) `  ( Y  .-  Z ) ) ) )
102, 3, 7grpinvsub 12828 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  ( Y  .-  Z ) )  =  ( Z  .-  Y ) )
11103adant3r1 1212 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( invg `  G ) `  ( Y  .-  Z ) )  =  ( Z  .-  Y ) )
1211oveq2d 5884 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .+  ( ( invg `  G ) `
 ( Y  .-  Z ) ) )  =  ( X  .+  ( Z  .-  Y ) ) )
139, 12eqtrd 2210 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .+  ( Z  .-  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   Basecbs 12432   +g cplusg 12505   Grpcgrp 12754   invgcminusg 12755   -gcsg 12756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-minusg 12758  df-sbg 12759
This theorem is referenced by:  ablsubsub  12935
  Copyright terms: Public domain W3C validator