Theorem grpsubsub 12985

Description: Double group subtraction. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubsub	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))

Proof of Theorem grpsubsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1004	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		grpsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpsubadd.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4	2, 3	grpsubcl 12976	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
5	4	3adant3r1 1213	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
6		grpsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7		eqid 2187	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
8	2, 6, 7, 3	grpsubval 12942	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘(𝑌 − 𝑍))))
9	1, 5, 8	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘(𝑌 − 𝑍))))
10	2, 3, 7	grpinvsub 12978	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘(𝑌 − 𝑍)) = (𝑍 − 𝑌))
11	10	3adant3r1 1213	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘(𝑌 − 𝑍)) = (𝑍 − 𝑌))
12	11	oveq2d 5904	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘(𝑌 − 𝑍))) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))
13	9, 12	eqtrd 2220	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 − 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  +_gcplusg 12550  Grpcgrp 12898  inv_gcminusg 12899  -_gcsg 12900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-inn 8933  df-2 8991  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-minusg 12902  df-sbg 12903

This theorem is referenced by:  ablsubsub  13154