Theorem issgrpd 13055

Description: Deduce a semigroup from its properties. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
issgrpd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
issgrpd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
issgrpd.c	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
issgrpd.a	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
issgrpd.v	|- ( ph -> G e. V )

Assertion

Ref	Expression
issgrpd	|- ( ph -> G e. Smgrp )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, G, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y, z)   V( x, y, z)

Proof of Theorem issgrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issgrpd.c	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
2	1	3expib 1208	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B ) )
3		issgrpd.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
4	3	eleq2d 2266	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` G ) ) )
5	3	eleq2d 2266	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( Base ` G ) ) )
6	4, 5	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B ) <-> ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) )
7		issgrpd.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
8	7	oveqd 5939	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` G ) y ) )
9	8, 3	eleq12d 2267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x .+ y ) e. B <-> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) )
10	2, 6, 9	3imtr3d 202	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) )
11	10	imp 124	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) )
12		df-3an 982	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ z e. B ) )
13		issgrpd.a	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
14	12, 13	sylan2br 288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
15	14	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ z e. B ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) ) )
16	3	eleq2d 2266	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( z e. B <-> z e. ( Base ` G ) ) )
17	6, 16	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ z e. B ) <-> ( ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) )
18		eqidd 2197	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> z = z )
19	7, 8, 18	oveq123d 5943	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) )
20		eqidd 2197	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> x = x )
21	7	oveqd 5939	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y .+ z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
22	7, 20, 21	oveq123d 5943	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x .+ ( y .+ z ) ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) )
23	19, 22	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) <-> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
24	15, 17, 23	3imtr3d 202	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) /\ z e. ( Base ` G ) ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
25	24	impl 380	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) /\ z e. ( Base ` G ) ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) )
26	25	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) )
27	11, 26	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
28	27	ralrimivva 2579	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) )
29		issgrpd.v	. . 3 |- ( ph -> G e. V )
30		eqid 2196	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
31		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
32	30, 31	issgrpv 13047	. . 3 |- ( G e. V -> ( G e. Smgrp <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) ) )
33	29, 32	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( G e. Smgrp <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) /\ A. z e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( x ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) ) ) )
34	28, 33	mpbird 167	1 |- ( ph -> G e. Smgrp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755  Smgrpcsgrp 13044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mgm 12999  df-sgrp 13045

This theorem is referenced by:  isrngd  13509