Theorem sgrppropd 13626

Description: If two structures are sets, have the same base set, and the values of their group (addition) operations are equal for all pairs of elements of the base set, one is a semigroup iff the other one is. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sgrppropd.k	|- ( ph -> K e. V )
sgrppropd.l	|- ( ph -> L e. W )
sgrppropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
sgrppropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
sgrppropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
sgrppropd	|- ( ph -> ( K e. Smgrp <-> L e. Smgrp ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem sgrppropd

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> K e. Smgrp )
2		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
3		sgrppropd.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
4	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
5	2, 4	eleqtrd 2311	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. ( Base ` K ) )
6		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
7	6, 4	eleqtrd 2311	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. ( Base ` K ) )
8		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
9		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
10	8, 9	sgrpcl 13622	. . . . . 6 |- ( ( K e. Smgrp /\ x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) )
11	1, 5, 7, 10	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) )
12	11, 4	eleqtrrd 2312	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
13	12	ralrimivva 2624	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. Smgrp ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
14	13	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( K e. Smgrp -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) )
15		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> L e. Smgrp )
16		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
17		sgrppropd.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
18	17	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` L ) )
19	16, 18	eleqtrd 2311	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. ( Base ` L ) )
20		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
21	20, 18	eleqtrd 2311	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. ( Base ` L ) )
22		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
23		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
24	22, 23	sgrpcl 13622	. . . . . 6 |- ( ( L e. Smgrp /\ x e. ( Base ` L ) /\ y e. ( Base ` L ) ) -> ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) )
25	15, 19, 21, 24	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) )
26		sgrppropd.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
27	26	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
28	25, 27, 18	3eltr4d 2316	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
29	28	ralrimivva 2624	. . 3 |- ( ( ph /\ L e. Smgrp ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
30	29	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( L e. Smgrp -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) )
31		sgrppropd.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. V )
32	8, 9	issgrpv 13617	. . . . . 6 |- ( K e. V -> ( K e. Smgrp <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
33	31, 32	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. Smgrp <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
34	33	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( K e. Smgrp <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
35	26	oveqrspc2v 6077	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
36	35	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
37	36	eleq1d 2301	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` L ) v ) e. B ) )
38		simplll 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ph )
39		simplrl 537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> u e. B )
40		simplrr 538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> v e. B )
41		simpllr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
42		ovrspc2v 6076	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
43	39, 40, 41, 42	syl21anc 1273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
44		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> w e. B )
45	26	oveqrspc2v 6077	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) )
46	38, 43, 44, 45	syl12anc 1272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) )
47	38, 39, 40, 35	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
48	47	oveq1d 6065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) )
49	46, 48	eqtrd 2265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) )
50		ovrspc2v 6076	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v e. B /\ w e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
51	40, 44, 41, 50	syl21anc 1273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
52	26	oveqrspc2v 6077	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ ( v ( +g ` K ) w ) e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
53	38, 39, 51, 52	syl12anc 1272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
54	26	oveqrspc2v 6077	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
55	38, 40, 44, 54	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
56	55	oveq2d 6066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
57	53, 56	eqtrd 2265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
58	49, 57	eqeq12d 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
59	58	ralbidva 2538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
60	37, 59	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
61	60	2ralbidva 2564	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
62	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> B = ( Base ` K ) )
63	62	eleq2d 2302	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) ) )
64	62	raleqdv 2747	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) )
65	63, 64	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
66	62, 65	raleqbidv 2757	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
67	62, 66	raleqbidv 2757	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
68	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> B = ( Base ` L ) )
69	68	eleq2d 2302	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) ) )
70	68	raleqdv 2747	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) <-> A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
71	69, 70	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
72	68, 71	raleqbidv 2757	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
73	68, 72	raleqbidv 2757	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
74	61, 67, 73	3bitr3d 218	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
75		sgrppropd.l	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. W )
76	22, 23	issgrpv 13617	. . . . . . 7 |- ( L e. W -> ( L e. Smgrp <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
77	75, 76	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L e. Smgrp <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
78	77	bicomd 141	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> L e. Smgrp ) )
79	78	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> L e. Smgrp ) )
80	34, 74, 79	3bitrd 214	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( K e. Smgrp <-> L e. Smgrp ) )
81	80	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B -> ( K e. Smgrp <-> L e. Smgrp ) ) )
82	14, 30, 81	pm5.21ndd 713	1 |- ( ph -> ( K e. Smgrp <-> L e. Smgrp ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290  Smgrpcsgrp 13614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-mgm 13569  df-sgrp 13615

This theorem is referenced by:  rngpropd  14099