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Theorem sgrppropd 13495
Description: If two structures are sets, have the same base set, and the values of their group (addition) operations are equal for all pairs of elements of the base set, one is a semigroup iff the other one is. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sgrppropd.k |- ( ph -> K e. V )
sgrppropd.l |- ( ph -> L e. W )
sgrppropd.1 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
sgrppropd.2 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
sgrppropd.3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
sgrppropd |- ( ph -> ( K e. Smgrp <-> L e. Smgrp ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y
Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)
Proof of Theorem sgrppropd
Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 529 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> K e. Smgrp )
2 simprl 531 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
3 sgrppropd.1 . . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
43ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
52, 4eleqtrd 2310 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. ( Base ` K ) )
6 simprr 533 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
76, 4eleqtrd 2310 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. ( Base ` K ) )
8 eqid 2231 . . . . . . 7 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
9 eqid 2231 . . . . . . 7 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
108, 9sgrpcl 13491 . . . . . 6 |- ( ( K e. Smgrp /\ x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) )
111, 5, 7, 10syl3anc 1273 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) )
1211, 4eleqtrrd 2311 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ K e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
1312ralrimivva 2614 . . 3 |- ( ( ph /\ K e. Smgrp ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
1413ex 115 . 2 |- ( ph -> ( K e. Smgrp -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) )
15 simplr 529 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> L e. Smgrp )
16 simprl 531 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
17 sgrppropd.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
1817ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` L ) )
1916, 18eleqtrd 2310 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. ( Base ` L ) )
20 simprr 533 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
2120, 18eleqtrd 2310 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. ( Base ` L ) )
22 eqid 2231 . . . . . . 7 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
23 eqid 2231 . . . . . . 7 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
2422, 23sgrpcl 13491 . . . . . 6 |- ( ( L e. Smgrp /\ x e. ( Base ` L ) /\ y e. ( Base ` L ) ) -> ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) )
2515, 19, 21, 24syl3anc 1273 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) )
26 sgrppropd.3 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
2726adantlr 477 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
2825, 27, 183eltr4d 2315 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ L e. Smgrp ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
2928ralrimivva 2614 . . 3 |- ( ( ph /\ L e. Smgrp ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
3029ex 115 . 2 |- ( ph -> ( L e. Smgrp -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) )
31 sgrppropd.k . . . . . 6 |- ( ph -> K e. V )
328, 9issgrpv 13486 . . . . . 6 |- ( K e. V -> ( K e. Smgrp <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
3331, 32syl 14 . . . . 5 |- ( ph -> ( K e. Smgrp <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
3433adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( K e. Smgrp <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
3526oveqrspc2v 6044 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
3635adantlr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
3736eleq1d 2300 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` L ) v ) e. B ) )
38 simplll 535 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ph )
39 simplrl 537 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> u e. B )
40 simplrr 538 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> v e. B )
41 simpllr 536 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
42 ovrspc2v 6043 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
4339, 40, 41, 42syl21anc 1272 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
44 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> w e. B )
4526oveqrspc2v 6044 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) )
4638, 43, 44, 45syl12anc 1271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) )
4738, 39, 40, 35syl12anc 1271 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
4847oveq1d 6032 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) )
4946, 48eqtrd 2264 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) )
50 ovrspc2v 6043 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v e. B /\ w e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
5140, 44, 41, 50syl21anc 1272 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
5226oveqrspc2v 6044 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ ( v ( +g ` K ) w ) e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
5338, 39, 51, 52syl12anc 1271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
5426oveqrspc2v 6044 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
5538, 40, 44, 54syl12anc 1271 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
5655oveq2d 6033 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
5753, 56eqtrd 2264 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
5849, 57eqeq12d 2246 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
5958ralbidva 2528 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
6037, 59anbi12d 473 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
61602ralbidva 2554 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
623adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> B = ( Base ` K ) )
6362eleq2d 2301 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) ) )
6462raleqdv 2736 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) )
6563, 64anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
6662, 65raleqbidv 2746 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
6762, 66raleqbidv 2746 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
6817adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> B = ( Base ` L ) )
6968eleq2d 2301 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) ) )
7068raleqdv 2736 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) <-> A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
7169, 70anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
7268, 71raleqbidv 2746 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
7368, 72raleqbidv 2746 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
7461, 67, 733bitr3d 218 . . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
75 sgrppropd.l . . . . . . 7 |- ( ph -> L e. W )
7622, 23issgrpv 13486 . . . . . . 7 |- ( L e. W -> ( L e. Smgrp <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
7775, 76syl 14 . . . . . 6 |- ( ph -> ( L e. Smgrp <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
7877bicomd 141 . . . . 5 |- ( ph -> ( A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> L e. Smgrp ) )
7978adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> L e. Smgrp ) )
8034, 74, 793bitrd 214 . . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( K e. Smgrp <-> L e. Smgrp ) )
8180ex 115 . 2 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B -> ( K e. Smgrp <-> L e. Smgrp ) ) )
8214, 30, 81pm5.21ndd 712 1 |- ( ph -> ( K e. Smgrp <-> L e. Smgrp ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159  Smgrpcsgrp 13483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mgm 13438  df-sgrp 13484
This theorem is referenced by:  rngpropd  13967
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