Theorem isrngd 14047

Description: Properties that determine a non-unital ring. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrngd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
isrngd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
isrngd.t	|- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
isrngd.g	|- ( ph -> R e. Abel )
isrngd.c	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .x. y ) e. B )
isrngd.a	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
isrngd.d	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
isrngd.e	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isrngd	|- ( ph -> R e. Rng )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   ph, x, y, z   x, R, y, z

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y, z)   .x. ( x, y, z)

Proof of Theorem isrngd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrngd.g	. 2 |- ( ph -> R e. Abel )
2		isrngd.b	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
3		eqid 2231	. . . . . 6 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
4		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	3, 4	mgpbasg 14020	. . . . 5 |- ( R e. Abel -> ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7	2, 6	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
8		isrngd.t	. . . 4 |- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
9		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
10	3, 9	mgpplusgg 14018	. . . . 5 |- ( R e. Abel -> ( .r ` R ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
11	1, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( .r ` R ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
12	8, 11	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ph -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
13		isrngd.c	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .x. y ) e. B )
14		isrngd.a	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
15	3	mgpex 14019	. . . 4 |- ( R e. Abel -> (mulGrp ` R ) e. _V )
16	1, 15	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. _V )
17	7, 12, 13, 14, 16	issgrpd 13575	. 2 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. Smgrp )
18	2	eleq2d 2301	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` R ) ) )
19	2	eleq2d 2301	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( Base ` R ) ) )
20	2	eleq2d 2301	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. B <-> z e. ( Base ` R ) ) )
21	18, 19, 20	3anbi123d 1349	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) <-> ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) )
22	21	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) )
23		isrngd.d	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
24	8	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> .x. = ( .r ` R ) )
25		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> x = x )
26		isrngd.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
27	26	oveqdr 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y .+ z ) = ( y ( +g ` R ) z ) )
28	24, 25, 27	oveq123d 6049	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) )
29	26	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> .+ = ( +g ` R ) )
30	8	oveqdr 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. y ) = ( x ( .r ` R ) y ) )
31	8	oveqdr 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. z ) = ( x ( .r ` R ) z ) )
32	29, 30, 31	oveq123d 6049	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) )
33	23, 28, 32	3eqtr3d 2272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) )
34		isrngd.e	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
35	26	oveqdr 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` R ) y ) )
36		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> z = z )
37	24, 35, 36	oveq123d 6049	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) )
38	8	oveqdr 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y .x. z ) = ( y ( .r ` R ) z ) )
39	29, 31, 38	oveq123d 6049	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) )
40	34, 37, 39	3eqtr3d 2272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) )
41	33, 40	jca 306	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) )
42	22, 41	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) )
43	42	ralrimivvva 2616	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) )
44		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
45	4, 3, 44, 9	isrng 14028	. 2 |- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ (mulGrp ` R ) e. Smgrp /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
46	1, 17, 43, 45	syl3anbrc 1208	1 |- ( ph -> R e. Rng )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   .rcmulr 13241  Smgrpcsgrp 13564   Abelcabl 13952  mulGrpcmgp 14014  Rngcrng 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mgp 14015  df-rng 14027

This theorem is referenced by:  rngressid  14048  imasrng  14050  opprrng  14171  issubrng2  14305