Theorem isrngd 13965

Description: Properties that determine a non-unital ring. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrngd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
isrngd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
isrngd.t	|- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
isrngd.g	|- ( ph -> R e. Abel )
isrngd.c	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .x. y ) e. B )
isrngd.a	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
isrngd.d	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
isrngd.e	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isrngd	|- ( ph -> R e. Rng )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   ph, x, y, z   x, R, y, z

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y, z)   .x. ( x, y, z)

Proof of Theorem isrngd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrngd.g	. 2 |- ( ph -> R e. Abel )
2		isrngd.b	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
3		eqid 2231	. . . . . 6 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
4		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	3, 4	mgpbasg 13938	. . . . 5 |- ( R e. Abel -> ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
6	1, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7	2, 6	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
8		isrngd.t	. . . 4 |- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
9		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
10	3, 9	mgpplusgg 13936	. . . . 5 |- ( R e. Abel -> ( .r ` R ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
11	1, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( .r ` R ) = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
12	8, 11	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ph -> .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) ) )
13		isrngd.c	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .x. y ) e. B )
14		isrngd.a	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
15	3	mgpex 13937	. . . 4 |- ( R e. Abel -> (mulGrp ` R ) e. _V )
16	1, 15	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. _V )
17	7, 12, 13, 14, 16	issgrpd 13494	. 2 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. Smgrp )
18	2	eleq2d 2301	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Base ` R ) ) )
19	2	eleq2d 2301	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( Base ` R ) ) )
20	2	eleq2d 2301	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. B <-> z e. ( Base ` R ) ) )
21	18, 19, 20	3anbi123d 1348	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) <-> ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) )
22	21	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) )
23		isrngd.d	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
24	8	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> .x. = ( .r ` R ) )
25		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> x = x )
26		isrngd.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
27	26	oveqdr 6045	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y .+ z ) = ( y ( +g ` R ) z ) )
28	24, 25, 27	oveq123d 6038	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) )
29	26	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> .+ = ( +g ` R ) )
30	8	oveqdr 6045	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. y ) = ( x ( .r ` R ) y ) )
31	8	oveqdr 6045	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. z ) = ( x ( .r ` R ) z ) )
32	29, 30, 31	oveq123d 6038	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) )
33	23, 28, 32	3eqtr3d 2272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) )
34		isrngd.e	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
35	26	oveqdr 6045	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` R ) y ) )
36		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> z = z )
37	24, 35, 36	oveq123d 6038	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) )
38	8	oveqdr 6045	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y .x. z ) = ( y ( .r ` R ) z ) )
39	29, 31, 38	oveq123d 6038	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) )
40	34, 37, 39	3eqtr3d 2272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) )
41	33, 40	jca 306	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) )
42	22, 41	syldan 282	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) )
43	42	ralrimivvva 2615	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) )
44		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
45	4, 3, 44, 9	isrng 13946	. 2 |- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ (mulGrp ` R ) e. Smgrp /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
46	1, 17, 43, 45	syl3anbrc 1207	1 |- ( ph -> R e. Rng )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160  Smgrpcsgrp 13483   Abelcabl 13871  mulGrpcmgp 13932  Rngcrng 13944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mgp 13933  df-rng 13945

This theorem is referenced by:  rngressid  13966  imasrng  13968  opprrng  14089  issubrng2  14223