Theorem prdssgrpd 13291

Description: The product of a family of semigroups is a semigroup. (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdssgrpd.y	|- Y = ( S X_s R )
prdssgrpd.i	|- ( ph -> I e. W )
prdssgrpd.s	|- ( ph -> S e. V )
prdssgrpd.r	|- ( ph -> R : I -->Smgrp )

Assertion

Ref	Expression
prdssgrpd	|- ( ph -> Y e. Smgrp )

Proof of Theorem prdssgrpd

Dummy variables y a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2207	. 2 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` Y ) )
2		eqidd 2207	. 2 |- ( ph -> ( +g ` Y ) = ( +g ` Y ) )
3		prdssgrpd.y	. . . 4 |- Y = ( S X_s R )
4		eqid 2206	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
5		eqid 2206	. . . 4 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
6		prdssgrpd.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. V )
7	6	elexd 2786	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> S e. _V )
9		prdssgrpd.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. W )
10	9	elexd 2786	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> I e. _V )
12		prdssgrpd.r	. . . . 5 |- ( ph -> R : I -->Smgrp )
13	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> R : I -->Smgrp )
14		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> a e. ( Base ` Y ) )
15		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> b e. ( Base ` Y ) )
16	3, 4, 5, 8, 11, 13, 14, 15	prdsplusgsgrpcl 13290	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( +g ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
17	16	3impb 1202	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) -> ( a ( +g ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
18	12	ffvelcdmda 5722	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Smgrp )
19	18	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Smgrp )
20	7	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> S e. _V )
21	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> I e. _V )
22	12	ffnd 5432	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R Fn I )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> R Fn I )
24		simplr1 1042	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> a e. ( Base ` Y ) )
25		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> y e. I )
26	3, 4, 20, 21, 23, 24, 25	prdsbasprj 13158	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( a ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
27		simplr2 1043	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> b e. ( Base ` Y ) )
28	3, 4, 20, 21, 23, 27, 25	prdsbasprj 13158	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( b ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
29		simplr3 1044	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> c e. ( Base ` Y ) )
30	3, 4, 20, 21, 23, 29, 25	prdsbasprj 13158	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( c ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
31		eqid 2206	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R ` y ) ) = ( Base ` ( R ` y ) )
32		eqid 2206	. . . . . . 7 |- ( +g ` ( R ` y ) ) = ( +g ` ( R ` y ) )
33	31, 32	sgrpass 13284	. . . . . 6 |- ( ( ( R ` y ) e. Smgrp /\ ( ( a ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) /\ ( b ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) /\ ( c ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) -> ( ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
34	19, 26, 28, 30, 33	syl13anc 1252	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
35	3, 4, 20, 21, 23, 24, 27, 5, 25	prdsplusgfval 13160	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) )
36	35	oveq1d 5966	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) )
37	3, 4, 20, 21, 23, 27, 29, 5, 25	prdsplusgfval 13160	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) = ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) )
38	37	oveq2d 5967	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
39	34, 36, 38	3eqtr4d 2249	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) )
40	39	mpteq2dva 4138	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( y e. I |-> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
41	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> S e. _V )
42	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> I e. _V )
43	22	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> R Fn I )
44	16	3adantr3 1161	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( +g ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
45		simpr3 1008	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> c e. ( Base ` Y ) )
46	3, 4, 41, 42, 43, 44, 45, 5	prdsplusgval 13159	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( a ( +g ` Y ) b ) ( +g ` Y ) c ) = ( y e. I |-> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
47		simpr1 1006	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> a e. ( Base ` Y ) )
48	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> R : I -->Smgrp )
49		simpr2 1007	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> b e. ( Base ` Y ) )
50	3, 4, 5, 41, 42, 48, 49, 45	prdsplusgsgrpcl 13290	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( b ( +g ` Y ) c ) e. ( Base ` Y ) )
51	3, 4, 41, 42, 43, 47, 50, 5	prdsplusgval 13159	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( +g ` Y ) ( b ( +g ` Y ) c ) ) = ( y e. I |-> ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
52	40, 46, 51	3eqtr4d 2249	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( a ( +g ` Y ) b ) ( +g ` Y ) c ) = ( a ( +g ` Y ) ( b ( +g ` Y ) c ) ) )
53	12, 9	fexd 5821	. . . 4 |- ( ph -> R e. _V )
54		prdsex 13145	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ R e. _V ) -> ( S X_s R ) e. _V )
55	6, 53, 54	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( S X_s R ) e. _V )
56	3, 55	eqeltrid 2293	. 2 |- ( ph -> Y e. _V )
57	1, 2, 17, 52, 56	issgrpd 13288	1 |- ( ph -> Y e. Smgrp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   |-> cmpt 4109   Fn wfn 5271   -->wf 5272   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   Basecbs 12876   +g cplusg 12953   X__scprds 13141  Smgrpcsgrp 13277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-map 6744  df-ixp 6793  df-sup 7093  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-fz 10138  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-ip 12971  df-tset 12972  df-ple 12973  df-ds 12975  df-hom 12977  df-cco 12978  df-rest 13117  df-topn 13118  df-topgen 13136  df-pt 13137  df-prds 13143  df-mgm 13232  df-sgrp 13278

This theorem is referenced by: (None)