Theorem prdssgrpd 13503

Description: The product of a family of semigroups is a semigroup. (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdssgrpd.y	|- Y = ( S X_s R )
prdssgrpd.i	|- ( ph -> I e. W )
prdssgrpd.s	|- ( ph -> S e. V )
prdssgrpd.r	|- ( ph -> R : I -->Smgrp )

Assertion

Ref	Expression
prdssgrpd	|- ( ph -> Y e. Smgrp )

Proof of Theorem prdssgrpd

Dummy variables y a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2232	. 2 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` Y ) )
2		eqidd 2232	. 2 |- ( ph -> ( +g ` Y ) = ( +g ` Y ) )
3		prdssgrpd.y	. . . 4 |- Y = ( S X_s R )
4		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
5		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
6		prdssgrpd.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. V )
7	6	elexd 2816	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> S e. _V )
9		prdssgrpd.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. W )
10	9	elexd 2816	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> I e. _V )
12		prdssgrpd.r	. . . . 5 |- ( ph -> R : I -->Smgrp )
13	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> R : I -->Smgrp )
14		simprl 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> a e. ( Base ` Y ) )
15		simprr 533	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> b e. ( Base ` Y ) )
16	3, 4, 5, 8, 11, 13, 14, 15	prdsplusgsgrpcl 13502	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( +g ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
17	16	3impb 1225	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) -> ( a ( +g ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
18	12	ffvelcdmda 5782	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Smgrp )
19	18	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Smgrp )
20	7	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> S e. _V )
21	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> I e. _V )
22	12	ffnd 5483	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R Fn I )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> R Fn I )
24		simplr1 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> a e. ( Base ` Y ) )
25		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> y e. I )
26	3, 4, 20, 21, 23, 24, 25	prdsbasprj 13370	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( a ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
27		simplr2 1066	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> b e. ( Base ` Y ) )
28	3, 4, 20, 21, 23, 27, 25	prdsbasprj 13370	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( b ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
29		simplr3 1067	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> c e. ( Base ` Y ) )
30	3, 4, 20, 21, 23, 29, 25	prdsbasprj 13370	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( c ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
31		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R ` y ) ) = ( Base ` ( R ` y ) )
32		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( +g ` ( R ` y ) ) = ( +g ` ( R ` y ) )
33	31, 32	sgrpass 13496	. . . . . 6 |- ( ( ( R ` y ) e. Smgrp /\ ( ( a ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) /\ ( b ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) /\ ( c ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) -> ( ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
34	19, 26, 28, 30, 33	syl13anc 1275	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
35	3, 4, 20, 21, 23, 24, 27, 5, 25	prdsplusgfval 13372	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) )
36	35	oveq1d 6033	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) )
37	3, 4, 20, 21, 23, 27, 29, 5, 25	prdsplusgfval 13372	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) = ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) )
38	37	oveq2d 6034	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
39	34, 36, 38	3eqtr4d 2274	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) )
40	39	mpteq2dva 4179	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( y e. I |-> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
41	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> S e. _V )
42	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> I e. _V )
43	22	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> R Fn I )
44	16	3adantr3 1184	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( +g ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
45		simpr3 1031	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> c e. ( Base ` Y ) )
46	3, 4, 41, 42, 43, 44, 45, 5	prdsplusgval 13371	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( a ( +g ` Y ) b ) ( +g ` Y ) c ) = ( y e. I |-> ( ( ( a ( +g ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
47		simpr1 1029	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> a e. ( Base ` Y ) )
48	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> R : I -->Smgrp )
49		simpr2 1030	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> b e. ( Base ` Y ) )
50	3, 4, 5, 41, 42, 48, 49, 45	prdsplusgsgrpcl 13502	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( b ( +g ` Y ) c ) e. ( Base ` Y ) )
51	3, 4, 41, 42, 43, 47, 50, 5	prdsplusgval 13371	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( +g ` Y ) ( b ( +g ` Y ) c ) ) = ( y e. I |-> ( ( a ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
52	40, 46, 51	3eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` Y ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( a ( +g ` Y ) b ) ( +g ` Y ) c ) = ( a ( +g ` Y ) ( b ( +g ` Y ) c ) ) )
53	12, 9	fexd 5884	. . . 4 |- ( ph -> R e. _V )
54		prdsex 13357	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ R e. _V ) -> ( S X_s R ) e. _V )
55	6, 53, 54	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( S X_s R ) e. _V )
56	3, 55	eqeltrid 2318	. 2 |- ( ph -> Y e. _V )
57	1, 2, 17, 52, 56	issgrpd 13500	1 |- ( ph -> Y e. Smgrp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   |-> cmpt 4150   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13087   +g cplusg 13165   X__scprds 13353  Smgrpcsgrp 13489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-ixp 6868  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-fz 10244  df-struct 13089  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-sca 13181  df-vsca 13182  df-ip 13183  df-tset 13184  df-ple 13185  df-ds 13187  df-hom 13189  df-cco 13190  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13348  df-pt 13349  df-prds 13355  df-mgm 13444  df-sgrp 13490

This theorem is referenced by: (None)