Theorem lmodsubvs 13946

Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubvs.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubvs.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodsubvs.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodsubvs.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodsubvs.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsubvs.k	|- K = ( Base ` F )
lmodsubvs.n	|- N = ( invg ` F )
lmodsubvs.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodsubvs.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodsubvs.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodsubvs.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubvs	|- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodsubvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubvs.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodsubvs.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
3		lmodsubvs.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. K )
4		lmodsubvs.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
5		lmodsubvs.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
6		lmodsubvs.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
7		lmodsubvs.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
8		lmodsubvs.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
9	5, 6, 7, 8	lmodvscl 13908	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ Y e. V ) -> ( A .x. Y ) e. V )
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. Y ) e. V )
11		lmodsubvs.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
12		lmodsubvs.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
13		lmodsubvs.n	. . . 4 |- N = ( invg ` F )
14		eqid 2196	. . . 4 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
15	5, 11, 12, 6, 7, 13, 14	lmodvsubval2 13945	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ ( A .x. Y ) e. V ) -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
16	1, 2, 10, 15	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
17	6	lmodring 13898	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. Ring )
19		ringgrp 13604	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. Grp )
21	8, 14	ringidcl 13623	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
22	18, 21	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
23	8, 13	grpinvcl 13227	. . . . . 6 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K )
24	20, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K )
25		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
26	5, 6, 7, 8, 25	lmodvsass 13916	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ A e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
27	1, 24, 3, 4, 26	syl13anc 1251	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
28	8, 25, 14, 13, 18, 3	ringnegl 13654	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) = ( N ` A ) )
29	28	oveq1d 5940	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) )
30	27, 29	eqtr3d 2231	. . 3 |- ( ph -> ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) )
31	30	oveq2d 5941	. 2 |- ( ph -> ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
32	16, 31	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12691   +g cplusg 12768   .rcmulr 12769  Scalarcsca 12771   .scvsca 12772   Grpcgrp 13179   invgcminusg 13180   -gcsg 13181   1rcur 13562   Ringcrg 13599   LModclmod 13890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7975  ax-resscn 7976  ax-1cn 7977  ax-1re 7978  ax-icn 7979  ax-addcl 7980  ax-addrcl 7981  ax-mulcl 7982  ax-addcom 7984  ax-addass 7986  ax-i2m1 7989  ax-0lt1 7990  ax-0id 7992  ax-rnegex 7993  ax-pre-ltirr 7996  ax-pre-ltadd 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6202  df-2nd 6203  df-pnf 8068  df-mnf 8069  df-ltxr 8071  df-inn 8996  df-2 9054  df-3 9055  df-4 9056  df-5 9057  df-6 9058  df-ndx 12694  df-slot 12695  df-base 12697  df-sets 12698  df-plusg 12781  df-mulr 12782  df-sca 12784  df-vsca 12785  df-0g 12948  df-mgm 13046  df-sgrp 13092  df-mnd 13105  df-grp 13182  df-minusg 13183  df-sbg 13184  df-mgp 13524  df-ur 13563  df-ring 13601  df-lmod 13892

This theorem is referenced by: (None)