Theorem lmodsubvs 14076

Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubvs.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubvs.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodsubvs.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodsubvs.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodsubvs.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsubvs.k	|- K = ( Base ` F )
lmodsubvs.n	|- N = ( invg ` F )
lmodsubvs.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodsubvs.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodsubvs.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodsubvs.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubvs	|- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodsubvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubvs.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodsubvs.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
3		lmodsubvs.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. K )
4		lmodsubvs.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
5		lmodsubvs.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
6		lmodsubvs.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
7		lmodsubvs.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
8		lmodsubvs.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
9	5, 6, 7, 8	lmodvscl 14038	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ Y e. V ) -> ( A .x. Y ) e. V )
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. Y ) e. V )
11		lmodsubvs.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
12		lmodsubvs.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
13		lmodsubvs.n	. . . 4 |- N = ( invg ` F )
14		eqid 2204	. . . 4 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
15	5, 11, 12, 6, 7, 13, 14	lmodvsubval2 14075	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ ( A .x. Y ) e. V ) -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
16	1, 2, 10, 15	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
17	6	lmodring 14028	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. Ring )
19		ringgrp 13734	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. Grp )
21	8, 14	ringidcl 13753	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
22	18, 21	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
23	8, 13	grpinvcl 13351	. . . . . 6 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K )
24	20, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K )
25		eqid 2204	. . . . . 6 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
26	5, 6, 7, 8, 25	lmodvsass 14046	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ A e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
27	1, 24, 3, 4, 26	syl13anc 1251	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
28	8, 25, 14, 13, 18, 3	ringnegl 13784	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) = ( N ` A ) )
29	28	oveq1d 5958	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) )
30	27, 29	eqtr3d 2239	. . 3 |- ( ph -> ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) )
31	30	oveq2d 5959	. 2 |- ( ph -> ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
32	16, 31	eqtrd 2237	1 |- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12803   +g cplusg 12880   .rcmulr 12881  Scalarcsca 12883   .scvsca 12884   Grpcgrp 13303   invgcminusg 13304   -gcsg 13305   1rcur 13692   Ringcrg 13729   LModclmod 14020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-sets 12810  df-plusg 12893  df-mulr 12894  df-sca 12896  df-vsca 12897  df-0g 13061  df-mgm 13159  df-sgrp 13205  df-mnd 13220  df-grp 13306  df-minusg 13307  df-sbg 13308  df-mgp 13654  df-ur 13693  df-ring 13731  df-lmod 14022

This theorem is referenced by: (None)