Theorem lmodsubvs 14789

Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubvs.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubvs.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodsubvs.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodsubvs.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodsubvs.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsubvs.k	|- K = ( Base ` F )
lmodsubvs.n	|- N = ( invg ` F )
lmodsubvs.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodsubvs.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodsubvs.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodsubvs.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubvs	|- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodsubvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubvs.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodsubvs.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
3		lmodsubvs.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. K )
4		lmodsubvs.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
5		lmodsubvs.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
6		lmodsubvs.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
7		lmodsubvs.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
8		lmodsubvs.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
9	5, 6, 7, 8	lmodvscl 14750	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ Y e. V ) -> ( A .x. Y ) e. V )
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. Y ) e. V )
11		lmodsubvs.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
12		lmodsubvs.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
13		lmodsubvs.n	. . . 4 |- N = ( invg ` F )
14		eqid 2238	. . . 4 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
15	5, 11, 12, 6, 7, 13, 14	lmodvsubval2 14788	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ ( A .x. Y ) e. V ) -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
16	1, 2, 10, 15	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
17	6	lmodring 14740	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. Ring )
19		ringgrp 14412	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. Grp )
21	8, 14	ringidcl 14432	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
22	18, 21	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
23	8, 13	grpinvcl 13912	. . . . . 6 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K )
24	20, 22, 23	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K )
25		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
26	5, 6, 7, 8, 25	lmodvsass 14759	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ A e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
27	1, 24, 3, 4, 26	syl13anc 1280	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
28	8, 25, 14, 13, 18, 3	ringnegl 14463	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) = ( N ` A ) )
29	28	oveq1d 6103	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) )
30	27, 29	eqtr3d 2273	. . 3 |- ( ph -> ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) )
31	30	oveq2d 6104	. 2 |- ( ph -> ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
32	16, 31	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   .rcmulr 13491  Scalarcsca 13493   .scvsca 13494   Grpcgrp 13864   invgcminusg 13865   -gcsg 13866   1rcur 14369   Ringcrg 14407   LModclmod 14732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-sbg 13869  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-lmod 14734

This theorem is used by: (None)