Theorem lmodsubvs 14356

Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubvs.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubvs.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodsubvs.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodsubvs.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodsubvs.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsubvs.k	|- K = ( Base ` F )
lmodsubvs.n	|- N = ( invg ` F )
lmodsubvs.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodsubvs.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodsubvs.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodsubvs.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubvs	|- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodsubvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubvs.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodsubvs.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
3		lmodsubvs.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. K )
4		lmodsubvs.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
5		lmodsubvs.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
6		lmodsubvs.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
7		lmodsubvs.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
8		lmodsubvs.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
9	5, 6, 7, 8	lmodvscl 14318	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ Y e. V ) -> ( A .x. Y ) e. V )
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. Y ) e. V )
11		lmodsubvs.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
12		lmodsubvs.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
13		lmodsubvs.n	. . . 4 |- N = ( invg ` F )
14		eqid 2231	. . . 4 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
15	5, 11, 12, 6, 7, 13, 14	lmodvsubval2 14355	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ ( A .x. Y ) e. V ) -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
16	1, 2, 10, 15	syl3anc 1273	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
17	6	lmodring 14308	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. Ring )
19		ringgrp 14013	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. Grp )
21	8, 14	ringidcl 14032	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
22	18, 21	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
23	8, 13	grpinvcl 13630	. . . . . 6 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K )
24	20, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K )
25		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
26	5, 6, 7, 8, 25	lmodvsass 14326	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ A e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
27	1, 24, 3, 4, 26	syl13anc 1275	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
28	8, 25, 14, 13, 18, 3	ringnegl 14063	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) = ( N ` A ) )
29	28	oveq1d 6032	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) )
30	27, 29	eqtr3d 2266	. . 3 |- ( ph -> ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) )
31	30	oveq2d 6033	. 2 |- ( ph -> ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
32	16, 31	eqtrd 2264	1 |- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160  Scalarcsca 13162   .scvsca 13163   Grpcgrp 13582   invgcminusg 13583   -gcsg 13584   1rcur 13971   Ringcrg 14008   LModclmod 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-sbg 13587  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-lmod 14302

This theorem is referenced by: (None)