ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodsubvs Unicode version

Theorem lmodsubvs 13496
Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubvs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodsubvs.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lmodsubvs.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lmodsubvs.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodsubvs.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsubvs.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodsubvs.n  |-  N  =  ( invg `  F )
lmodsubvs.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodsubvs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodsubvs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lmodsubvs.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodsubvs  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  A )  .x.  Y
) ) )

Proof of Theorem lmodsubvs
StepHypRef Expression
1 lmodsubvs.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodsubvs.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lmodsubvs.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
4 lmodsubvs.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
5 lmodsubvs.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 lmodsubvs.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
7 lmodsubvs.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
8 lmodsubvs.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
95, 6, 7, 8lmodvscl 13458 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .x.  Y )  e.  V )
101, 3, 4, 9syl3anc 1248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  V )
11 lmodsubvs.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
12 lmodsubvs.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
13 lmodsubvs.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  F )
14 eqid 2187 . . . 4  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
155, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmodvsubval2 13495 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  ( A  .x.  Y )  e.  V )  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  (
( N `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
161, 2, 10, 15syl3anc 1248 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( A 
.x.  Y ) ) ) )
176lmodring 13448 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
181, 17syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
19 ringgrp 13238 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
2018, 19syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
218, 14ringidcl 13257 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
2218, 21syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
238, 13grpinvcl 12942 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( N `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
2420, 22, 23syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
25 eqid 2187 . . . . . 6  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
265, 6, 7, 8, 25lmodvsass 13466 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( N `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( ( N `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  ( 1r
`  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
271, 24, 3, 4, 26syl13anc 1250 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  ( 1r
`  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
288, 25, 14, 13, 18, 3ringnegl 13286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  =  ( N `  A ) )
2928oveq1d 5903 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  A ) 
.x.  Y ) )
3027, 29eqtr3d 2222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( A 
.x.  Y ) )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )
3130oveq2d 5904 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  (
( N `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  A )  .x.  Y
) ) )
3216, 31eqtrd 2220 1  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  A )  .x.  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1363    e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12475   +g cplusg 12550   .rcmulr 12551  Scalarcsca 12553   .scvsca 12554   Grpcgrp 12896   invgcminusg 12897   -gcsg 12898   1rcur 13196   Ringcrg 13233   LModclmod 13440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-sbg 12901  df-mgp 13163  df-ur 13197  df-ring 13235  df-lmod 13442
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator