Theorem lmodsubvs 13527

Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubvs.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubvs.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodsubvs.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodsubvs.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodsubvs.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsubvs.k	|- K = ( Base ` F )
lmodsubvs.n	|- N = ( invg ` F )
lmodsubvs.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodsubvs.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodsubvs.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodsubvs.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubvs	|- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodsubvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubvs.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodsubvs.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
3		lmodsubvs.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. K )
4		lmodsubvs.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
5		lmodsubvs.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
6		lmodsubvs.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
7		lmodsubvs.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
8		lmodsubvs.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
9	5, 6, 7, 8	lmodvscl 13489	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ Y e. V ) -> ( A .x. Y ) e. V )
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1248	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. Y ) e. V )
11		lmodsubvs.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
12		lmodsubvs.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
13		lmodsubvs.n	. . . 4 |- N = ( invg ` F )
14		eqid 2187	. . . 4 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
15	5, 11, 12, 6, 7, 13, 14	lmodvsubval2 13526	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ ( A .x. Y ) e. V ) -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
16	1, 2, 10, 15	syl3anc 1248	. 2 |- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
17	6	lmodring 13479	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. Ring )
19		ringgrp 13248	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. Grp )
21	8, 14	ringidcl 13267	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
22	18, 21	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
23	8, 13	grpinvcl 12944	. . . . . 6 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K )
24	20, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K )
25		eqid 2187	. . . . . 6 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
26	5, 6, 7, 8, 25	lmodvsass 13497	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ A e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
27	1, 24, 3, 4, 26	syl13anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
28	8, 25, 14, 13, 18, 3	ringnegl 13296	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) = ( N ` A ) )
29	28	oveq1d 5903	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) )
30	27, 29	eqtr3d 2222	. . 3 |- ( ph -> ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) )
31	30	oveq2d 5904	. 2 |- ( ph -> ( X .+ ( ( N ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
32	16, 31	eqtrd 2220	1 |- ( ph -> ( X .- ( A .x. Y ) ) = ( X .+ ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12475   +g cplusg 12550   .rcmulr 12551  Scalarcsca 12553   .scvsca 12554   Grpcgrp 12898   invgcminusg 12899   -gcsg 12900   1rcur 13206   Ringcrg 13243   LModclmod 13471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-minusg 12902  df-sbg 12903  df-mgp 13171  df-ur 13207  df-ring 13245  df-lmod 13473

This theorem is referenced by: (None)