Theorem lmodvsneg 14364

Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsneg.b	|- B = ( Base ` W )
lmodvsneg.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvsneg.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvsneg.n	|- N = ( invg ` W )
lmodvsneg.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvsneg.m	|- M = ( invg ` F )
lmodvsneg.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodvsneg.x	|- ( ph -> X e. B )
lmodvsneg.r	|- ( ph -> R e. K )

Assertion

Ref	Expression
lmodvsneg	|- ( ph -> ( N ` ( R .x. X ) ) = ( ( M ` R ) .x. X ) )

Proof of Theorem lmodvsneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsneg.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodvsneg.f	. . . . . . 7 |- F = (Scalar ` W )
3	2	lmodring 14328	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F e. Ring )
5		ringgrp 14033	. . . . 5 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F e. Grp )
7		lmodvsneg.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
8		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	7, 8	ringidcl 14052	. . . . 5 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
10	4, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
11		lmodvsneg.m	. . . . 5 |- M = ( invg ` F )
12	7, 11	grpinvcl 13649	. . . 4 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( M ` ( 1r ` F ) ) e. K )
13	6, 10, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( 1r ` F ) ) e. K )
14		lmodvsneg.r	. . 3 |- ( ph -> R e. K )
15		lmodvsneg.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
16		lmodvsneg.b	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
17		lmodvsneg.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
18		eqid 2231	. . . 4 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
19	16, 2, 17, 7, 18	lmodvsass 14346	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( M ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ R e. K /\ X e. B ) ) -> ( ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) )
20	1, 13, 14, 15, 19	syl13anc 1275	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) )
21	7, 18, 8, 11, 4, 14	ringnegl 14083	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) = ( M ` R ) )
22	21	oveq1d 6033	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( M ` R ) .x. X ) )
23	16, 2, 17, 7	lmodvscl 14338	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. B ) -> ( R .x. X ) e. B )
24	1, 14, 15, 23	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> ( R .x. X ) e. B )
25		lmodvsneg.n	. . . 4 |- N = ( invg ` W )
26	16, 25, 2, 17, 8, 11	lmodvneg1 14363	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( R .x. X ) e. B ) -> ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) = ( N ` ( R .x. X ) ) )
27	1, 24, 26	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) = ( N ` ( R .x. X ) ) )
28	20, 22, 27	3eqtr3rd 2273	1 |- ( ph -> ( N ` ( R .x. X ) ) = ( ( M ` R ) .x. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13100   .rcmulr 13179  Scalarcsca 13181   .scvsca 13182   Grpcgrp 13601   invgcminusg 13602   1rcur 13991   Ringcrg 14028   LModclmod 14320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-sca 13194  df-vsca 13195  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-minusg 13605  df-mgp 13953  df-ur 13992  df-ring 14030  df-lmod 14322

This theorem is referenced by:  lmodnegadd  14369