Theorem lmodvsneg 13887

Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsneg.b	|- B = ( Base ` W )
lmodvsneg.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvsneg.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvsneg.n	|- N = ( invg ` W )
lmodvsneg.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvsneg.m	|- M = ( invg ` F )
lmodvsneg.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodvsneg.x	|- ( ph -> X e. B )
lmodvsneg.r	|- ( ph -> R e. K )

Assertion

Ref	Expression
lmodvsneg	|- ( ph -> ( N ` ( R .x. X ) ) = ( ( M ` R ) .x. X ) )

Proof of Theorem lmodvsneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsneg.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodvsneg.f	. . . . . . 7 |- F = (Scalar ` W )
3	2	lmodring 13851	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F e. Ring )
5		ringgrp 13557	. . . . 5 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F e. Grp )
7		lmodvsneg.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
8		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	7, 8	ringidcl 13576	. . . . 5 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
10	4, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
11		lmodvsneg.m	. . . . 5 |- M = ( invg ` F )
12	7, 11	grpinvcl 13180	. . . 4 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( M ` ( 1r ` F ) ) e. K )
13	6, 10, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( 1r ` F ) ) e. K )
14		lmodvsneg.r	. . 3 |- ( ph -> R e. K )
15		lmodvsneg.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
16		lmodvsneg.b	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
17		lmodvsneg.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
18		eqid 2196	. . . 4 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
19	16, 2, 17, 7, 18	lmodvsass 13869	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( M ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ R e. K /\ X e. B ) ) -> ( ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) )
20	1, 13, 14, 15, 19	syl13anc 1251	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) )
21	7, 18, 8, 11, 4, 14	ringnegl 13607	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) = ( M ` R ) )
22	21	oveq1d 5937	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( M ` R ) .x. X ) )
23	16, 2, 17, 7	lmodvscl 13861	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. B ) -> ( R .x. X ) e. B )
24	1, 14, 15, 23	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( R .x. X ) e. B )
25		lmodvsneg.n	. . . 4 |- N = ( invg ` W )
26	16, 25, 2, 17, 8, 11	lmodvneg1 13886	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( R .x. X ) e. B ) -> ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) = ( N ` ( R .x. X ) ) )
27	1, 24, 26	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) = ( N ` ( R .x. X ) ) )
28	20, 22, 27	3eqtr3rd 2238	1 |- ( ph -> ( N ` ( R .x. X ) ) = ( ( M ` R ) .x. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   .rcmulr 12756  Scalarcsca 12758   .scvsca 12759   Grpcgrp 13132   invgcminusg 13133   1rcur 13515   Ringcrg 13552   LModclmod 13843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-lmod 13845

This theorem is referenced by:  lmodnegadd  13892