Theorem lmodvsneg 14410

Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsneg.b	|- B = ( Base ` W )
lmodvsneg.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvsneg.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvsneg.n	|- N = ( invg ` W )
lmodvsneg.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvsneg.m	|- M = ( invg ` F )
lmodvsneg.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodvsneg.x	|- ( ph -> X e. B )
lmodvsneg.r	|- ( ph -> R e. K )

Assertion

Ref	Expression
lmodvsneg	|- ( ph -> ( N ` ( R .x. X ) ) = ( ( M ` R ) .x. X ) )

Proof of Theorem lmodvsneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsneg.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodvsneg.f	. . . . . . 7 |- F = (Scalar ` W )
3	2	lmodring 14374	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F e. Ring )
5		ringgrp 14078	. . . . 5 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F e. Grp )
7		lmodvsneg.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
8		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	7, 8	ringidcl 14097	. . . . 5 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
10	4, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
11		lmodvsneg.m	. . . . 5 |- M = ( invg ` F )
12	7, 11	grpinvcl 13694	. . . 4 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( M ` ( 1r ` F ) ) e. K )
13	6, 10, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( 1r ` F ) ) e. K )
14		lmodvsneg.r	. . 3 |- ( ph -> R e. K )
15		lmodvsneg.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
16		lmodvsneg.b	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
17		lmodvsneg.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
18		eqid 2231	. . . 4 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
19	16, 2, 17, 7, 18	lmodvsass 14392	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( M ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ R e. K /\ X e. B ) ) -> ( ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) )
20	1, 13, 14, 15, 19	syl13anc 1276	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) )
21	7, 18, 8, 11, 4, 14	ringnegl 14128	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) = ( M ` R ) )
22	21	oveq1d 6043	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( M ` R ) .x. X ) )
23	16, 2, 17, 7	lmodvscl 14384	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. B ) -> ( R .x. X ) e. B )
24	1, 14, 15, 23	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( R .x. X ) e. B )
25		lmodvsneg.n	. . . 4 |- N = ( invg ` W )
26	16, 25, 2, 17, 8, 11	lmodvneg1 14409	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( R .x. X ) e. B ) -> ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) = ( N ` ( R .x. X ) ) )
27	1, 24, 26	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) = ( N ` ( R .x. X ) ) )
28	20, 22, 27	3eqtr3rd 2273	1 |- ( ph -> ( N ` ( R .x. X ) ) = ( ( M ` R ) .x. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   .rcmulr 13224  Scalarcsca 13226   .scvsca 13227   Grpcgrp 13646   invgcminusg 13647   1rcur 14036   Ringcrg 14073   LModclmod 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-ring 14075  df-lmod 14368

This theorem is referenced by:  lmodnegadd  14415