Theorem lmodvsneg 14289

Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsneg.b	|- B = ( Base ` W )
lmodvsneg.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvsneg.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvsneg.n	|- N = ( invg ` W )
lmodvsneg.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvsneg.m	|- M = ( invg ` F )
lmodvsneg.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodvsneg.x	|- ( ph -> X e. B )
lmodvsneg.r	|- ( ph -> R e. K )

Assertion

Ref	Expression
lmodvsneg	|- ( ph -> ( N ` ( R .x. X ) ) = ( ( M ` R ) .x. X ) )

Proof of Theorem lmodvsneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsneg.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodvsneg.f	. . . . . . 7 |- F = (Scalar ` W )
3	2	lmodring 14253	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> F e. Ring )
5		ringgrp 13959	. . . . 5 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F e. Grp )
7		lmodvsneg.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
8		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	7, 8	ringidcl 13978	. . . . 5 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
10	4, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
11		lmodvsneg.m	. . . . 5 |- M = ( invg ` F )
12	7, 11	grpinvcl 13576	. . . 4 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( M ` ( 1r ` F ) ) e. K )
13	6, 10, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( 1r ` F ) ) e. K )
14		lmodvsneg.r	. . 3 |- ( ph -> R e. K )
15		lmodvsneg.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
16		lmodvsneg.b	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
17		lmodvsneg.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
18		eqid 2229	. . . 4 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
19	16, 2, 17, 7, 18	lmodvsass 14271	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( M ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ R e. K /\ X e. B ) ) -> ( ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) )
20	1, 13, 14, 15, 19	syl13anc 1273	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) )
21	7, 18, 8, 11, 4, 14	ringnegl 14009	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) = ( M ` R ) )
22	21	oveq1d 6015	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( ( M ` R ) .x. X ) )
23	16, 2, 17, 7	lmodvscl 14263	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K /\ X e. B ) -> ( R .x. X ) e. B )
24	1, 14, 15, 23	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( R .x. X ) e. B )
25		lmodvsneg.n	. . . 4 |- N = ( invg ` W )
26	16, 25, 2, 17, 8, 11	lmodvneg1 14288	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( R .x. X ) e. B ) -> ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) = ( N ` ( R .x. X ) ) )
27	1, 24, 26	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( M ` ( 1r ` F ) ) .x. ( R .x. X ) ) = ( N ` ( R .x. X ) ) )
28	20, 22, 27	3eqtr3rd 2271	1 |- ( ph -> ( N ` ( R .x. X ) ) = ( ( M ` R ) .x. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   .rcmulr 13106  Scalarcsca 13108   .scvsca 13109   Grpcgrp 13528   invgcminusg 13529   1rcur 13917   Ringcrg 13954   LModclmod 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-ring 13956  df-lmod 14247

This theorem is referenced by:  lmodnegadd  14294