Theorem modaddmodup 10837

Description: The sum of an integer modulo a positive integer and another integer minus the positive integer equals the sum of the two integers modulo the positive integer if the other integer is in the upper part of the range between 0 and the positive integer. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modaddmodup	|- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) -> ( ( B + ( A mod M ) ) - M ) = ( ( B + A ) mod M ) ) )

Proof of Theorem modaddmodup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10564	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) -> B e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> B e. ZZ )
3		zmodcl 10794	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( A mod M ) e. NN0 )
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( A mod M ) e. NN0 )
5	4	nn0zd 9770	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( A mod M ) e. ZZ )
6	2, 5	zaddcld 9776	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( B + ( A mod M ) ) e. ZZ )
7		zq 10035	. . . . 5 |- ( ( B + ( A mod M ) ) e. ZZ -> ( B + ( A mod M ) ) e. QQ )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( B + ( A mod M ) ) e. QQ )
9		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> M e. NN )
10		nnq 10042	. . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> M e. QQ )
12	9	nngt0d 9350	. . . 4 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> 0 < M )
13		elfzole1 10573	. . . . . 6 |- ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) -> ( M - ( A mod M ) ) <_ B )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( M - ( A mod M ) ) <_ B )
15	9	nnred 9319	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> M e. RR )
16	3	nn0red 9625	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( A mod M ) e. RR )
17	16	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( A mod M ) e. RR )
18	1	zred 9772	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) -> B e. RR )
19	18	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> B e. RR )
20	15, 17, 19	lesubaddd 8871	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( ( M - ( A mod M ) ) <_ B <-> M <_ ( B + ( A mod M ) ) ) )
21	14, 20	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> M <_ ( B + ( A mod M ) ) )
22		elfzolt2 10574	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) -> B < M )
23	22	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> B < M )
24		zq 10035	. . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
25	24	ad2antrl 494	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> A e. QQ )
26		modqlt 10783	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> ( A mod M ) < M )
27	25, 11, 12, 26	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( A mod M ) < M )
28	19, 17, 15, 15, 23, 27	lt2addd 8897	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( B + ( A mod M ) ) < ( M + M ) )
29	9	nncnd 9320	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> M e. CC )
30	29	2timesd 9552	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( 2 x. M ) = ( M + M ) )
31	28, 30	breqtrrd 4158	. . . 4 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( B + ( A mod M ) ) < ( 2 x. M ) )
32		q2submod 10835	. . . 4 |- ( ( ( ( B + ( A mod M ) ) e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) /\ ( M <_ ( B + ( A mod M ) ) /\ ( B + ( A mod M ) ) < ( 2 x. M ) ) ) -> ( ( B + ( A mod M ) ) mod M ) = ( ( B + ( A mod M ) ) - M ) )
33	8, 11, 12, 21, 31, 32	syl32anc 1286	. . 3 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( ( B + ( A mod M ) ) mod M ) = ( ( B + ( A mod M ) ) - M ) )
34		zq 10035	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. QQ )
35	2, 34	syl 14	. . . 4 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> B e. QQ )
36		modqadd2mod 10824	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( M e. QQ /\ 0 < M ) ) -> ( ( B + ( A mod M ) ) mod M ) = ( ( B + A ) mod M ) )
37	25, 35, 11, 12, 36	syl22anc 1279	. . 3 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( ( B + ( A mod M ) ) mod M ) = ( ( B + A ) mod M ) )
38	33, 37	eqtr3d 2273	. 2 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( ( B + ( A mod M ) ) - M ) = ( ( B + A ) mod M ) )
39	38	expcom 116	1 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) -> ( ( B + ( A mod M ) ) - M ) = ( ( B + A ) mod M ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8498   NNcn 9306   2c2 9357   NN0cn0 9567   ZZcz 9648   QQcq 10028  ..^cfzo 10559   mod cmo 10772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-fz 10422  df-fzo 10560  df-fl 10715  df-mod 10773

This theorem is used by: (None)