Theorem modaddmodup 10530

Description: The sum of an integer modulo a positive integer and another integer minus the positive integer equals the sum of the two integers modulo the positive integer if the other integer is in the upper part of the range between 0 and the positive integer. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modaddmodup	|- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) -> ( ( B + ( A mod M ) ) - M ) = ( ( B + A ) mod M ) ) )

Proof of Theorem modaddmodup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10268	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) -> B e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> B e. ZZ )
3		zmodcl 10487	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( A mod M ) e. NN0 )
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( A mod M ) e. NN0 )
5	4	nn0zd 9492	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( A mod M ) e. ZZ )
6	2, 5	zaddcld 9498	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( B + ( A mod M ) ) e. ZZ )
7		zq 9746	. . . . 5 |- ( ( B + ( A mod M ) ) e. ZZ -> ( B + ( A mod M ) ) e. QQ )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( B + ( A mod M ) ) e. QQ )
9		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> M e. NN )
10		nnq 9753	. . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> M e. QQ )
12	9	nngt0d 9079	. . . 4 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> 0 < M )
13		elfzole1 10277	. . . . . 6 |- ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) -> ( M - ( A mod M ) ) <_ B )
14	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( M - ( A mod M ) ) <_ B )
15	9	nnred 9048	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> M e. RR )
16	3	nn0red 9348	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( A mod M ) e. RR )
17	16	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( A mod M ) e. RR )
18	1	zred 9494	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) -> B e. RR )
19	18	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> B e. RR )
20	15, 17, 19	lesubaddd 8614	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( ( M - ( A mod M ) ) <_ B <-> M <_ ( B + ( A mod M ) ) ) )
21	14, 20	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> M <_ ( B + ( A mod M ) ) )
22		elfzolt2 10278	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) -> B < M )
23	22	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> B < M )
24		zq 9746	. . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
25	24	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> A e. QQ )
26		modqlt 10476	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> ( A mod M ) < M )
27	25, 11, 12, 26	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( A mod M ) < M )
28	19, 17, 15, 15, 23, 27	lt2addd 8639	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( B + ( A mod M ) ) < ( M + M ) )
29	9	nncnd 9049	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> M e. CC )
30	29	2timesd 9279	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( 2 x. M ) = ( M + M ) )
31	28, 30	breqtrrd 4071	. . . 4 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( B + ( A mod M ) ) < ( 2 x. M ) )
32		q2submod 10528	. . . 4 |- ( ( ( ( B + ( A mod M ) ) e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) /\ ( M <_ ( B + ( A mod M ) ) /\ ( B + ( A mod M ) ) < ( 2 x. M ) ) ) -> ( ( B + ( A mod M ) ) mod M ) = ( ( B + ( A mod M ) ) - M ) )
33	8, 11, 12, 21, 31, 32	syl32anc 1257	. . 3 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( ( B + ( A mod M ) ) mod M ) = ( ( B + ( A mod M ) ) - M ) )
34		zq 9746	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. QQ )
35	2, 34	syl 14	. . . 4 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> B e. QQ )
36		modqadd2mod 10517	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( M e. QQ /\ 0 < M ) ) -> ( ( B + ( A mod M ) ) mod M ) = ( ( B + A ) mod M ) )
37	25, 35, 11, 12, 36	syl22anc 1250	. . 3 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( ( B + ( A mod M ) ) mod M ) = ( ( B + A ) mod M ) )
38	33, 37	eqtr3d 2239	. 2 |- ( ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) /\ ( A e. ZZ /\ M e. NN ) ) -> ( ( B + ( A mod M ) ) - M ) = ( ( B + A ) mod M ) )
39	38	expcom 116	1 |- ( ( A e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( B e. ( ( M - ( A mod M ) )..^ M ) -> ( ( B + ( A mod M ) ) - M ) = ( ( B + A ) mod M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   RRcr 7923   0cc0 7924   + caddc 7927   x. cmul 7929   < clt 8106   <_ cle 8107   - cmin 8242   NNcn 9035   2c2 9086   NN0cn0 9294   ZZcz 9371   QQcq 9739  ..^cfzo 10263   mod cmo 10465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-fl 10411  df-mod 10466

This theorem is referenced by: (None)