Theorem modsumfzodifsn 10352

Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modsumfzodifsn	|- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )

Proof of Theorem modsumfzodifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10103	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> K e. ZZ )
2	1	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. ZZ )
3		zq 9585	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. QQ )
5		elfzo0 10138	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) <-> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
6	5	biimpi 119	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
7	6	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
8	7	simp1d 1004	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. NN0 )
9	8	nn0zd 9332	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. ZZ )
10		zq 9585	. . . . . . 7 |- ( J e. ZZ -> J e. QQ )
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. QQ )
12		qaddcl 9594	. . . . . 6 |- ( ( K e. QQ /\ J e. QQ ) -> ( K + J ) e. QQ )
13	4, 11, 12	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. QQ )
14	13	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. QQ )
15	7	simp2d 1005	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. NN )
16		nnq 9592	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. QQ )
18	17	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> N e. QQ )
19		elfzo1 10146	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
20	19	biimpi 119	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
21	20	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
22	21	simp1d 1004	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. NN )
23	22	nnnn0d 9188	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. NN0 )
24	23, 8	nn0addcld 9192	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. NN0 )
25	24	nn0ge0d 9191	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 <_ ( K + J ) )
26	25	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> 0 <_ ( K + J ) )
27		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) < N )
28		modqid 10305	. . . 4 |- ( ( ( ( K + J ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( K + J ) /\ ( K + J ) < N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( K + J ) )
29	14, 18, 26, 27, 28	syl22anc 1234	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( K + J ) )
30	24	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. NN0 )
31	15	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> N e. NN )
32		elfzo0 10138	. . . . 5 |- ( ( K + J ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( K + J ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( K + J ) < N ) )
33	30, 31, 27, 32	syl3anbrc 1176	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. ( 0..^ N ) )
34	2	zcnd 9335	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. CC )
35		0cnd 7913	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 e. CC )
36	8	nn0cnd 9190	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. CC )
37	22	nnne0d 8923	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K =/= 0 )
38	34, 35, 36, 37	addneintr2d 8108	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) =/= ( 0 + J ) )
39	36	addid2d 8069	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( 0 + J ) = J )
40	38, 39	neeqtrd 2368	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) =/= J )
41	40	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) =/= J )
42		eldifsn 3710	. . . 4 |- ( ( K + J ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) <-> ( ( K + J ) e. ( 0..^ N ) /\ ( K + J ) =/= J ) )
43	33, 41, 42	sylanbrc 415	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
44	29, 43	eqeltrd 2247	. 2 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
45	15	nncnd 8892	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. CC )
46	45	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. CC )
47	46	mulm1d 8329	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( -u 1 x. N ) = -u N )
48	47	oveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) = ( ( K + J ) + -u N ) )
49	34, 36	addcld 7939	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. CC )
50	49, 45	negsubd 8236	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) + -u N ) = ( ( K + J ) - N ) )
51	50	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + -u N ) = ( ( K + J ) - N ) )
52	48, 51	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) = ( ( K + J ) - N ) )
53	52	oveq1d 5868	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) )
54	13	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. QQ )
55		neg1z 9244	. . . . . 6 |- -u 1 e. ZZ
56	55	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> -u 1 e. ZZ )
57	17	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. QQ )
58	15	nngt0d 8922	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 < N )
59	58	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> 0 < N )
60		modqcyc 10315	. . . . 5 |- ( ( ( ( K + J ) e. QQ /\ -u 1 e. ZZ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( K + J ) mod N ) )
61	54, 56, 57, 59, 60	syl22anc 1234	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( K + J ) mod N ) )
62		qsubcl 9597	. . . . . . 7 |- ( ( ( K + J ) e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
63	13, 17, 62	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
64	63	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
65		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> -. ( K + J ) < N )
66	15	nnred 8891	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. RR )
67	66	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. RR )
68	24	nn0red 9189	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. RR )
69	68	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. RR )
70	67, 69	lenltd 8037	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( N <_ ( K + J ) <-> -. ( K + J ) < N ) )
71	65, 70	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N <_ ( K + J ) )
72	69, 67	subge0d 8454	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) <-> N <_ ( K + J ) ) )
73	71, 72	mpbird 166	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> 0 <_ ( ( K + J ) - N ) )
74	2	zred 9334	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. RR )
75	8	nn0red 9189	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. RR )
76	21	simp3d 1006	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K < N )
77	7	simp3d 1006	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J < N )
78	74, 75, 66, 66, 76, 77	lt2addd 8486	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) < ( N + N ) )
79	68, 66, 66	ltsubaddd 8460	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( ( K + J ) - N ) < N <-> ( K + J ) < ( N + N ) ) )
80	78, 79	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) < N )
81	80	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) < N )
82		modqid 10305	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( K + J ) - N ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) ) -> ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
83	64, 57, 73, 81, 82	syl22anc 1234	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
84	53, 61, 83	3eqtr3d 2211	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
85	24	nn0zd 9332	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. ZZ )
86	15	nnzd 9333	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. ZZ )
87	85, 86	zsubcld 9339	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ZZ )
88	87	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ZZ )
89		elnn0z 9225	. . . . . 6 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. NN0 <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( K + J ) - N ) ) )
90	88, 73, 89	sylanbrc 415	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. NN0 )
91	15	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. NN )
92		elfzo0 10138	. . . . 5 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) )
93	90, 91, 81, 92	syl3anbrc 1176	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) )
94	34, 45	subcld 8230	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K - N ) e. CC )
95	74, 76	ltned 8033	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K =/= N )
96	34, 45, 95	subne0d 8239	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K - N ) =/= 0 )
97	94, 35, 36, 96	addneintr2d 8108	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K - N ) + J ) =/= ( 0 + J ) )
98	34, 36, 45	addsubd 8251	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) = ( ( K - N ) + J ) )
99	39	eqcomd 2176	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J = ( 0 + J ) )
100	97, 98, 99	3netr4d 2373	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) =/= J )
101	100	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) =/= J )
102		eldifsn 3710	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( K + J ) - N ) =/= J ) )
103	93, 101, 102	sylanbrc 415	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
104	84, 103	eqeltrd 2247	. 2 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
105		zdclt 9289	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( K + J ) < N )
106		exmiddc 831	. . . 4 |- (DECID ( K + J ) < N -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
107	105, 106	syl 14	. . 3 |- ( ( ( K + J ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
108	85, 86, 107	syl2anc 409	. 2 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
109	44, 104, 108	mpjaodan 793	1 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   \ cdif 3118   {csn 3583   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   -ucneg 8091   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   QQcq 9578  ..^cfzo 10098   mod cmo 10278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279

This theorem is referenced by: (None)