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Theorem modsumfzodifsn 10395
Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
modsumfzodifsn  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N )  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) )

Proof of Theorem modsumfzodifsn
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 10146 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  ->  K  e.  ZZ )
21adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  ZZ )
3 zq 9625 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  QQ )
42, 3syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  QQ )
5 elfzo0 10181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  <->  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )
65biimpi 120 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )
76adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )
87simp1d 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  NN0 )
98nn0zd 9372 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  ZZ )
10 zq 9625 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  QQ )
119, 10syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  QQ )
12 qaddcl 9634 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  QQ  /\  J  e.  QQ )  ->  ( K  +  J
)  e.  QQ )
134, 11, 12syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  QQ )
1413adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  QQ )
157simp2d 1010 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  NN )
16 nnq 9632 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
1715, 16syl 14 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  QQ )
1817adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  QQ )
19 elfzo1 10189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2019biimpi 120 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  ->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2120adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2221simp1d 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  NN )
2322nnnn0d 9228 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  NN0 )
2423, 8nn0addcld 9232 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  NN0 )
2524nn0ge0d 9231 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  0  <_  ( K  +  J ) )
2625adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  0  <_  ( K  +  J ) )
27 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  <  N )
28 modqid 10348 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  +  J )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( K  +  J
)  /\  ( K  +  J )  <  N
) )  ->  (
( K  +  J
)  mod  N )  =  ( K  +  J ) )
2914, 18, 26, 27, 28syl22anc 1239 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  =  ( K  +  J ) )
3024adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  NN0 )
3115adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  NN )
32 elfzo0 10181 . . . . 5  |-  ( ( K  +  J )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( K  +  J )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( K  +  J )  <  N
) )
3330, 31, 27, 32syl3anbrc 1181 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  ( 0..^ N ) )
342zcnd 9375 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  CC )
35 0cnd 7949 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  0  e.  CC )
368nn0cnd 9230 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  CC )
3722nnne0d 8963 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  =/=  0 )
3834, 35, 36, 37addneintr2d 8145 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  =/=  (
0  +  J ) )
3936addid2d 8106 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( 0  +  J )  =  J )
4038, 39neeqtrd 2375 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  =/=  J
)
4140adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  =/=  J )
42 eldifsn 3719 . . . 4  |-  ( ( K  +  J )  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  <->  ( ( K  +  J )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( K  +  J )  =/=  J
) )
4333, 41, 42sylanbrc 417 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
4429, 43eqeltrd 2254 . 2  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
4515nncnd 8932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  CC )
4645adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  CC )
4746mulm1d 8366 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( -u 1  x.  N )  =  -u N )
4847oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  +  (
-u 1  x.  N
) )  =  ( ( K  +  J
)  +  -u N
) )
4934, 36addcld 7976 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  CC )
5049, 45negsubd 8273 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  +  -u N )  =  ( ( K  +  J )  -  N
) )
5150adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  +  -u N )  =  ( ( K  +  J
)  -  N ) )
5248, 51eqtrd 2210 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  +  (
-u 1  x.  N
) )  =  ( ( K  +  J
)  -  N ) )
5352oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( ( K  +  J )  +  ( -u 1  x.  N ) )  mod 
N )  =  ( ( ( K  +  J )  -  N
)  mod  N )
)
5413adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  QQ )
55 neg1z 9284 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  ZZ
5655a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  -> 
-u 1  e.  ZZ )
5717adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  QQ )
5815nngt0d 8962 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  0  <  N )
5958adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  0  <  N )
60 modqcyc 10358 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  +  J )  e.  QQ  /\  -u 1  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  QQ  /\  0  < 
N ) )  -> 
( ( ( K  +  J )  +  ( -u 1  x.  N ) )  mod 
N )  =  ( ( K  +  J
)  mod  N )
)
6154, 56, 57, 59, 60syl22anc 1239 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( ( K  +  J )  +  ( -u 1  x.  N ) )  mod 
N )  =  ( ( K  +  J
)  mod  N )
)
62 qsubcl 9637 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  J
)  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  QQ )
6313, 17, 62syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  e.  QQ )
6463adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  QQ )
65 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  -.  ( K  +  J )  <  N
)
6615nnred 8931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
6766adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  RR )
6824nn0red 9229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  RR )
6968adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  RR )
7067, 69lenltd 8074 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( N  <_  ( K  +  J )  <->  -.  ( K  +  J
)  <  N )
)
7165, 70mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  <_  ( K  +  J ) )
7269, 67subge0d 8491 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( 0  <_  (
( K  +  J
)  -  N )  <-> 
N  <_  ( K  +  J ) ) )
7371, 72mpbird 167 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  0  <_  ( ( K  +  J )  -  N ) )
742zred 9374 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  RR )
758nn0red 9229 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  RR )
7621simp3d 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  <  N )
777simp3d 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  <  N )
7874, 75, 66, 66, 76, 77lt2addd 8523 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  <  ( N  +  N )
)
7968, 66, 66ltsubaddd 8497 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( (
( K  +  J
)  -  N )  <  N  <->  ( K  +  J )  <  ( N  +  N )
) )
8078, 79mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  <  N
)
8180adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  <  N )
82 modqid 10348 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  +  J )  -  N )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( ( K  +  J )  -  N
)  /\  ( ( K  +  J )  -  N )  <  N
) )  ->  (
( ( K  +  J )  -  N
)  mod  N )  =  ( ( K  +  J )  -  N ) )
8364, 57, 73, 81, 82syl22anc 1239 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( ( K  +  J )  -  N )  mod  N
)  =  ( ( K  +  J )  -  N ) )
8453, 61, 833eqtr3d 2218 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  =  ( ( K  +  J )  -  N ) )
8524nn0zd 9372 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  ZZ )
8615nnzd 9373 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
8785, 86zsubcld 9379 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  e.  ZZ )
8887adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  ZZ )
89 elnn0z 9265 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  +  J
)  -  N )  e.  NN0  <->  ( ( ( K  +  J )  -  N )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( K  +  J )  -  N
) ) )
9088, 73, 89sylanbrc 417 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  NN0 )
9115adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  NN )
92 elfzo0 10181 . . . . 5  |-  ( ( ( K  +  J
)  -  N )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( ( K  +  J )  -  N )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( ( K  +  J )  -  N )  <  N
) )
9390, 91, 81, 92syl3anbrc 1181 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
9434, 45subcld 8267 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  -  N )  e.  CC )
9574, 76ltned 8070 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  =/=  N )
9634, 45, 95subne0d 8276 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  -  N )  =/=  0
)
9794, 35, 36, 96addneintr2d 8145 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  -  N )  +  J )  =/=  (
0  +  J ) )
9834, 36, 45addsubd 8288 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  =  ( ( K  -  N
)  +  J ) )
9939eqcomd 2183 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  =  ( 0  +  J
) )
10097, 98, 993netr4d 2380 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  =/=  J
)
101100adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  =/=  J )
102 eldifsn 3719 . . . 4  |-  ( ( ( K  +  J
)  -  N )  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  <->  ( (
( K  +  J
)  -  N )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( K  +  J )  -  N )  =/= 
J ) )
10393, 101, 102sylanbrc 417 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
10484, 103eqeltrd 2254 . 2  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
105 zdclt 9329 . . . 4  |-  ( ( ( K  +  J
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( K  +  J )  <  N )
106 exmiddc 836 . . . 4  |-  (DECID  ( K  +  J )  < 
N  ->  ( ( K  +  J )  <  N  \/  -.  ( K  +  J )  <  N ) )
107105, 106syl 14 . . 3  |-  ( ( ( K  +  J
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  +  J )  <  N  \/  -.  ( K  +  J )  <  N
) )
10885, 86, 107syl2anc 411 . 2  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  <  N  \/  -.  ( K  +  J )  <  N ) )
10944, 104, 108mpjaodan 798 1  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N )  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347    \ cdif 3126   {csn 3592   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811    + caddc 7813    x. cmul 7815    < clt 7991    <_ cle 7992    - cmin 8127   -ucneg 8128   NNcn 8918   NN0cn0 9175   ZZcz 9252   QQcq 9618  ..^cfzo 10141    mod cmo 10321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-fl 10269  df-mod 10322
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