Theorem modsumfzodifsn 10062

Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modsumfzodifsn	|- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )

Proof of Theorem modsumfzodifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 9817	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> K e. ZZ )
2	1	adantl 273	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. ZZ )
3		zq 9320	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. QQ )
5		elfzo0 9852	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) <-> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
6	5	biimpi 119	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
7	6	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
8	7	simp1d 976	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. NN0 )
9	8	nn0zd 9075	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. ZZ )
10		zq 9320	. . . . . . 7 |- ( J e. ZZ -> J e. QQ )
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. QQ )
12		qaddcl 9329	. . . . . 6 |- ( ( K e. QQ /\ J e. QQ ) -> ( K + J ) e. QQ )
13	4, 11, 12	syl2anc 406	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. QQ )
14	13	adantr 272	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. QQ )
15	7	simp2d 977	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. NN )
16		nnq 9327	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. QQ )
18	17	adantr 272	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> N e. QQ )
19		elfzo1 9860	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
20	19	biimpi 119	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
21	20	adantl 273	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
22	21	simp1d 976	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. NN )
23	22	nnnn0d 8934	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. NN0 )
24	23, 8	nn0addcld 8938	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. NN0 )
25	24	nn0ge0d 8937	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 <_ ( K + J ) )
26	25	adantr 272	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> 0 <_ ( K + J ) )
27		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) < N )
28		modqid 10015	. . . 4 |- ( ( ( ( K + J ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( K + J ) /\ ( K + J ) < N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( K + J ) )
29	14, 18, 26, 27, 28	syl22anc 1200	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( K + J ) )
30	24	adantr 272	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. NN0 )
31	15	adantr 272	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> N e. NN )
32		elfzo0 9852	. . . . 5 |- ( ( K + J ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( K + J ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( K + J ) < N ) )
33	30, 31, 27, 32	syl3anbrc 1148	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. ( 0..^ N ) )
34	2	zcnd 9078	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. CC )
35		0cnd 7683	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 e. CC )
36	8	nn0cnd 8936	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. CC )
37	22	nnne0d 8675	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K =/= 0 )
38	34, 35, 36, 37	addneintr2d 7874	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) =/= ( 0 + J ) )
39	36	addid2d 7835	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( 0 + J ) = J )
40	38, 39	neeqtrd 2310	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) =/= J )
41	40	adantr 272	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) =/= J )
42		eldifsn 3616	. . . 4 |- ( ( K + J ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) <-> ( ( K + J ) e. ( 0..^ N ) /\ ( K + J ) =/= J ) )
43	33, 41, 42	sylanbrc 411	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
44	29, 43	eqeltrd 2191	. 2 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
45	15	nncnd 8644	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. CC )
46	45	adantr 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. CC )
47	46	mulm1d 8091	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( -u 1 x. N ) = -u N )
48	47	oveq2d 5744	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) = ( ( K + J ) + -u N ) )
49	34, 36	addcld 7709	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. CC )
50	49, 45	negsubd 8002	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) + -u N ) = ( ( K + J ) - N ) )
51	50	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + -u N ) = ( ( K + J ) - N ) )
52	48, 51	eqtrd 2147	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) = ( ( K + J ) - N ) )
53	52	oveq1d 5743	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) )
54	13	adantr 272	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. QQ )
55		neg1z 8990	. . . . . 6 |- -u 1 e. ZZ
56	55	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> -u 1 e. ZZ )
57	17	adantr 272	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. QQ )
58	15	nngt0d 8674	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 < N )
59	58	adantr 272	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> 0 < N )
60		modqcyc 10025	. . . . 5 |- ( ( ( ( K + J ) e. QQ /\ -u 1 e. ZZ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( K + J ) mod N ) )
61	54, 56, 57, 59, 60	syl22anc 1200	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( K + J ) mod N ) )
62		qsubcl 9332	. . . . . . 7 |- ( ( ( K + J ) e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
63	13, 17, 62	syl2anc 406	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
64	63	adantr 272	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
65		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> -. ( K + J ) < N )
66	15	nnred 8643	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. RR )
67	66	adantr 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. RR )
68	24	nn0red 8935	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. RR )
69	68	adantr 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. RR )
70	67, 69	lenltd 7803	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( N <_ ( K + J ) <-> -. ( K + J ) < N ) )
71	65, 70	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N <_ ( K + J ) )
72	69, 67	subge0d 8215	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) <-> N <_ ( K + J ) ) )
73	71, 72	mpbird 166	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> 0 <_ ( ( K + J ) - N ) )
74	2	zred 9077	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. RR )
75	8	nn0red 8935	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. RR )
76	21	simp3d 978	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K < N )
77	7	simp3d 978	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J < N )
78	74, 75, 66, 66, 76, 77	lt2addd 8247	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) < ( N + N ) )
79	68, 66, 66	ltsubaddd 8221	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( ( K + J ) - N ) < N <-> ( K + J ) < ( N + N ) ) )
80	78, 79	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) < N )
81	80	adantr 272	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) < N )
82		modqid 10015	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( K + J ) - N ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) ) -> ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
83	64, 57, 73, 81, 82	syl22anc 1200	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
84	53, 61, 83	3eqtr3d 2155	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
85	24	nn0zd 9075	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. ZZ )
86	15	nnzd 9076	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. ZZ )
87	85, 86	zsubcld 9082	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ZZ )
88	87	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ZZ )
89		elnn0z 8971	. . . . . 6 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. NN0 <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( K + J ) - N ) ) )
90	88, 73, 89	sylanbrc 411	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. NN0 )
91	15	adantr 272	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. NN )
92		elfzo0 9852	. . . . 5 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) )
93	90, 91, 81, 92	syl3anbrc 1148	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) )
94	34, 45	subcld 7996	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K - N ) e. CC )
95	74, 76	ltned 7800	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K =/= N )
96	34, 45, 95	subne0d 8005	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K - N ) =/= 0 )
97	94, 35, 36, 96	addneintr2d 7874	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K - N ) + J ) =/= ( 0 + J ) )
98	34, 36, 45	addsubd 8017	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) = ( ( K - N ) + J ) )
99	39	eqcomd 2120	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J = ( 0 + J ) )
100	97, 98, 99	3netr4d 2315	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) =/= J )
101	100	adantr 272	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) =/= J )
102		eldifsn 3616	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( K + J ) - N ) =/= J ) )
103	93, 101, 102	sylanbrc 411	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
104	84, 103	eqeltrd 2191	. 2 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
105		zdclt 9032	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( K + J ) < N )
106		exmiddc 804	. . . 4 |- (DECID ( K + J ) < N -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
107	105, 106	syl 14	. . 3 |- ( ( ( K + J ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
108	85, 86, 107	syl2anc 406	. 2 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
109	44, 104, 108	mpjaodan 770	1 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 680  DECID wdc 802   /\ w3a 945   = wceq 1314   e. wcel 1463   =/= wne 2282   \ cdif 3034   {csn 3493   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   CCcc 7545   RRcr 7546   0cc0 7547   1c1 7548   + caddc 7550   x. cmul 7552   < clt 7724   <_ cle 7725   - cmin 7856   -ucneg 7857   NNcn 8630   NN0cn0 8881   ZZcz 8958   QQcq 9313  ..^cfzo 9812   mod cmo 9988

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-fz 9684  df-fzo 9813  df-fl 9936  df-mod 9989

This theorem is referenced by: (None)