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Theorem modsumfzodifsn 10124
Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
modsumfzodifsn  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N )  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) )

Proof of Theorem modsumfzodifsn
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9879 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  ->  K  e.  ZZ )
21adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  ZZ )
3 zq 9374 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  QQ )
42, 3syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  QQ )
5 elfzo0 9914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  <->  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )
65biimpi 119 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )
76adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )
87simp1d 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  NN0 )
98nn0zd 9129 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  ZZ )
10 zq 9374 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  QQ )
119, 10syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  QQ )
12 qaddcl 9383 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  QQ  /\  J  e.  QQ )  ->  ( K  +  J
)  e.  QQ )
134, 11, 12syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  QQ )
1413adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  QQ )
157simp2d 979 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  NN )
16 nnq 9381 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
1715, 16syl 14 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  QQ )
1817adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  QQ )
19 elfzo1 9922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2019biimpi 119 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  ->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2120adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2221simp1d 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  NN )
2322nnnn0d 8988 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  NN0 )
2423, 8nn0addcld 8992 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  NN0 )
2524nn0ge0d 8991 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  0  <_  ( K  +  J ) )
2625adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  0  <_  ( K  +  J ) )
27 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  <  N )
28 modqid 10077 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  +  J )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( K  +  J
)  /\  ( K  +  J )  <  N
) )  ->  (
( K  +  J
)  mod  N )  =  ( K  +  J ) )
2914, 18, 26, 27, 28syl22anc 1202 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  =  ( K  +  J ) )
3024adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  NN0 )
3115adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  NN )
32 elfzo0 9914 . . . . 5  |-  ( ( K  +  J )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( K  +  J )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( K  +  J )  <  N
) )
3330, 31, 27, 32syl3anbrc 1150 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  ( 0..^ N ) )
342zcnd 9132 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  CC )
35 0cnd 7727 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  0  e.  CC )
368nn0cnd 8990 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  CC )
3722nnne0d 8729 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  =/=  0 )
3834, 35, 36, 37addneintr2d 7919 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  =/=  (
0  +  J ) )
3936addid2d 7880 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( 0  +  J )  =  J )
4038, 39neeqtrd 2313 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  =/=  J
)
4140adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  =/=  J )
42 eldifsn 3620 . . . 4  |-  ( ( K  +  J )  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  <->  ( ( K  +  J )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( K  +  J )  =/=  J
) )
4333, 41, 42sylanbrc 413 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
4429, 43eqeltrd 2194 . 2  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
4515nncnd 8698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  CC )
4645adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  CC )
4746mulm1d 8140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( -u 1  x.  N )  =  -u N )
4847oveq2d 5758 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  +  (
-u 1  x.  N
) )  =  ( ( K  +  J
)  +  -u N
) )
4934, 36addcld 7753 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  CC )
5049, 45negsubd 8047 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  +  -u N )  =  ( ( K  +  J )  -  N
) )
5150adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  +  -u N )  =  ( ( K  +  J
)  -  N ) )
5248, 51eqtrd 2150 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  +  (
-u 1  x.  N
) )  =  ( ( K  +  J
)  -  N ) )
5352oveq1d 5757 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( ( K  +  J )  +  ( -u 1  x.  N ) )  mod 
N )  =  ( ( ( K  +  J )  -  N
)  mod  N )
)
5413adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  QQ )
55 neg1z 9044 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  ZZ
5655a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  -> 
-u 1  e.  ZZ )
5717adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  QQ )
5815nngt0d 8728 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  0  <  N )
5958adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  0  <  N )
60 modqcyc 10087 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  +  J )  e.  QQ  /\  -u 1  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  QQ  /\  0  < 
N ) )  -> 
( ( ( K  +  J )  +  ( -u 1  x.  N ) )  mod 
N )  =  ( ( K  +  J
)  mod  N )
)
6154, 56, 57, 59, 60syl22anc 1202 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( ( K  +  J )  +  ( -u 1  x.  N ) )  mod 
N )  =  ( ( K  +  J
)  mod  N )
)
62 qsubcl 9386 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  J
)  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  QQ )
6313, 17, 62syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  e.  QQ )
6463adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  QQ )
65 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  -.  ( K  +  J )  <  N
)
6615nnred 8697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
6766adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  RR )
6824nn0red 8989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  RR )
6968adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  RR )
7067, 69lenltd 7848 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( N  <_  ( K  +  J )  <->  -.  ( K  +  J
)  <  N )
)
7165, 70mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  <_  ( K  +  J ) )
7269, 67subge0d 8264 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( 0  <_  (
( K  +  J
)  -  N )  <-> 
N  <_  ( K  +  J ) ) )
7371, 72mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  0  <_  ( ( K  +  J )  -  N ) )
742zred 9131 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  RR )
758nn0red 8989 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  RR )
7621simp3d 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  <  N )
777simp3d 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  <  N )
7874, 75, 66, 66, 76, 77lt2addd 8296 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  <  ( N  +  N )
)
7968, 66, 66ltsubaddd 8270 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( (
( K  +  J
)  -  N )  <  N  <->  ( K  +  J )  <  ( N  +  N )
) )
8078, 79mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  <  N
)
8180adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  <  N )
82 modqid 10077 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  +  J )  -  N )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( ( K  +  J )  -  N
)  /\  ( ( K  +  J )  -  N )  <  N
) )  ->  (
( ( K  +  J )  -  N
)  mod  N )  =  ( ( K  +  J )  -  N ) )
8364, 57, 73, 81, 82syl22anc 1202 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( ( K  +  J )  -  N )  mod  N
)  =  ( ( K  +  J )  -  N ) )
8453, 61, 833eqtr3d 2158 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  =  ( ( K  +  J )  -  N ) )
8524nn0zd 9129 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  ZZ )
8615nnzd 9130 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
8785, 86zsubcld 9136 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  e.  ZZ )
8887adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  ZZ )
89 elnn0z 9025 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  +  J
)  -  N )  e.  NN0  <->  ( ( ( K  +  J )  -  N )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( K  +  J )  -  N
) ) )
9088, 73, 89sylanbrc 413 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  NN0 )
9115adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  NN )
92 elfzo0 9914 . . . . 5  |-  ( ( ( K  +  J
)  -  N )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( ( K  +  J )  -  N )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( ( K  +  J )  -  N )  <  N
) )
9390, 91, 81, 92syl3anbrc 1150 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
9434, 45subcld 8041 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  -  N )  e.  CC )
9574, 76ltned 7845 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  =/=  N )
9634, 45, 95subne0d 8050 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  -  N )  =/=  0
)
9794, 35, 36, 96addneintr2d 7919 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  -  N )  +  J )  =/=  (
0  +  J ) )
9834, 36, 45addsubd 8062 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  =  ( ( K  -  N
)  +  J ) )
9939eqcomd 2123 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  =  ( 0  +  J
) )
10097, 98, 993netr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  =/=  J
)
101100adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  =/=  J )
102 eldifsn 3620 . . . 4  |-  ( ( ( K  +  J
)  -  N )  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  <->  ( (
( K  +  J
)  -  N )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( K  +  J )  -  N )  =/= 
J ) )
10393, 101, 102sylanbrc 413 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
10484, 103eqeltrd 2194 . 2  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
105 zdclt 9086 . . . 4  |-  ( ( ( K  +  J
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( K  +  J )  <  N )
106 exmiddc 806 . . . 4  |-  (DECID  ( K  +  J )  < 
N  ->  ( ( K  +  J )  <  N  \/  -.  ( K  +  J )  <  N ) )
107105, 106syl 14 . . 3  |-  ( ( ( K  +  J
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  +  J )  <  N  \/  -.  ( K  +  J )  <  N
) )
10885, 86, 107syl2anc 408 . 2  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  <  N  \/  -.  ( K  +  J )  <  N ) )
10944, 104, 108mpjaodan 772 1  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N )  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682  DECID wdc 804    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465    =/= wne 2285    \ cdif 3038   {csn 3497   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593    < clt 7768    <_ cle 7769    - cmin 7901   -ucneg 7902   NNcn 8684   NN0cn0 8935   ZZcz 9012   QQcq 9367  ..^cfzo 9874    mod cmo 10050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-q 9368  df-rp 9398  df-fz 9746  df-fzo 9875  df-fl 9998  df-mod 10051
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