Theorem modsumfzodifsn 10382

Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modsumfzodifsn	|- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )

Proof of Theorem modsumfzodifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10133	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> K e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. ZZ )
3		zq 9615	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. QQ )
5		elfzo0 10168	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) <-> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
6	5	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
8	7	simp1d 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. NN0 )
9	8	nn0zd 9362	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. ZZ )
10		zq 9615	. . . . . . 7 |- ( J e. ZZ -> J e. QQ )
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. QQ )
12		qaddcl 9624	. . . . . 6 |- ( ( K e. QQ /\ J e. QQ ) -> ( K + J ) e. QQ )
13	4, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. QQ )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. QQ )
15	7	simp2d 1010	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. NN )
16		nnq 9622	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. QQ )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> N e. QQ )
19		elfzo1 10176	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
20	19	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
22	21	simp1d 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. NN )
23	22	nnnn0d 9218	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. NN0 )
24	23, 8	nn0addcld 9222	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. NN0 )
25	24	nn0ge0d 9221	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 <_ ( K + J ) )
26	25	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> 0 <_ ( K + J ) )
27		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) < N )
28		modqid 10335	. . . 4 |- ( ( ( ( K + J ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( K + J ) /\ ( K + J ) < N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( K + J ) )
29	14, 18, 26, 27, 28	syl22anc 1239	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( K + J ) )
30	24	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. NN0 )
31	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> N e. NN )
32		elfzo0 10168	. . . . 5 |- ( ( K + J ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( K + J ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( K + J ) < N ) )
33	30, 31, 27, 32	syl3anbrc 1181	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. ( 0..^ N ) )
34	2	zcnd 9365	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. CC )
35		0cnd 7941	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 e. CC )
36	8	nn0cnd 9220	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. CC )
37	22	nnne0d 8953	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K =/= 0 )
38	34, 35, 36, 37	addneintr2d 8136	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) =/= ( 0 + J ) )
39	36	addid2d 8097	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( 0 + J ) = J )
40	38, 39	neeqtrd 2375	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) =/= J )
41	40	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) =/= J )
42		eldifsn 3718	. . . 4 |- ( ( K + J ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) <-> ( ( K + J ) e. ( 0..^ N ) /\ ( K + J ) =/= J ) )
43	33, 41, 42	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
44	29, 43	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
45	15	nncnd 8922	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. CC )
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. CC )
47	46	mulm1d 8357	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( -u 1 x. N ) = -u N )
48	47	oveq2d 5885	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) = ( ( K + J ) + -u N ) )
49	34, 36	addcld 7967	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. CC )
50	49, 45	negsubd 8264	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) + -u N ) = ( ( K + J ) - N ) )
51	50	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + -u N ) = ( ( K + J ) - N ) )
52	48, 51	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) = ( ( K + J ) - N ) )
53	52	oveq1d 5884	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) )
54	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. QQ )
55		neg1z 9274	. . . . . 6 |- -u 1 e. ZZ
56	55	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> -u 1 e. ZZ )
57	17	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. QQ )
58	15	nngt0d 8952	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 < N )
59	58	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> 0 < N )
60		modqcyc 10345	. . . . 5 |- ( ( ( ( K + J ) e. QQ /\ -u 1 e. ZZ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( K + J ) mod N ) )
61	54, 56, 57, 59, 60	syl22anc 1239	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( K + J ) mod N ) )
62		qsubcl 9627	. . . . . . 7 |- ( ( ( K + J ) e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
63	13, 17, 62	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
64	63	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
65		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> -. ( K + J ) < N )
66	15	nnred 8921	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. RR )
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. RR )
68	24	nn0red 9219	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. RR )
69	68	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. RR )
70	67, 69	lenltd 8065	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( N <_ ( K + J ) <-> -. ( K + J ) < N ) )
71	65, 70	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N <_ ( K + J ) )
72	69, 67	subge0d 8482	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) <-> N <_ ( K + J ) ) )
73	71, 72	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> 0 <_ ( ( K + J ) - N ) )
74	2	zred 9364	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. RR )
75	8	nn0red 9219	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. RR )
76	21	simp3d 1011	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K < N )
77	7	simp3d 1011	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J < N )
78	74, 75, 66, 66, 76, 77	lt2addd 8514	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) < ( N + N ) )
79	68, 66, 66	ltsubaddd 8488	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( ( K + J ) - N ) < N <-> ( K + J ) < ( N + N ) ) )
80	78, 79	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) < N )
81	80	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) < N )
82		modqid 10335	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( K + J ) - N ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) ) -> ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
83	64, 57, 73, 81, 82	syl22anc 1239	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
84	53, 61, 83	3eqtr3d 2218	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
85	24	nn0zd 9362	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. ZZ )
86	15	nnzd 9363	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. ZZ )
87	85, 86	zsubcld 9369	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ZZ )
88	87	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ZZ )
89		elnn0z 9255	. . . . . 6 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. NN0 <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( K + J ) - N ) ) )
90	88, 73, 89	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. NN0 )
91	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. NN )
92		elfzo0 10168	. . . . 5 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) )
93	90, 91, 81, 92	syl3anbrc 1181	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) )
94	34, 45	subcld 8258	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K - N ) e. CC )
95	74, 76	ltned 8061	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K =/= N )
96	34, 45, 95	subne0d 8267	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K - N ) =/= 0 )
97	94, 35, 36, 96	addneintr2d 8136	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K - N ) + J ) =/= ( 0 + J ) )
98	34, 36, 45	addsubd 8279	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) = ( ( K - N ) + J ) )
99	39	eqcomd 2183	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J = ( 0 + J ) )
100	97, 98, 99	3netr4d 2380	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) =/= J )
101	100	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) =/= J )
102		eldifsn 3718	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( K + J ) - N ) =/= J ) )
103	93, 101, 102	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
104	84, 103	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
105		zdclt 9319	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( K + J ) < N )
106		exmiddc 836	. . . 4 |- (DECID ( K + J ) < N -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
107	105, 106	syl 14	. . 3 |- ( ( ( K + J ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
108	85, 86, 107	syl2anc 411	. 2 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
109	44, 104, 108	mpjaodan 798	1 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   \ cdif 3126   {csn 3591   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   x. cmul 7807   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   -ucneg 8119   NNcn 8908   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   QQcq 9608  ..^cfzo 10128   mod cmo 10308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309

This theorem is referenced by: (None)