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Theorem modsumfzodifsn 9768
Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
modsumfzodifsn  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N )  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) )

Proof of Theorem modsumfzodifsn
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9523 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  ->  K  e.  ZZ )
21adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  ZZ )
3 zq 9080 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  QQ )
42, 3syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  QQ )
5 elfzo0 9558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  <->  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )
65biimpi 118 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )
76adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )
87simp1d 955 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  NN0 )
98nn0zd 8836 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  ZZ )
10 zq 9080 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  QQ )
119, 10syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  QQ )
12 qaddcl 9089 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  QQ  /\  J  e.  QQ )  ->  ( K  +  J
)  e.  QQ )
134, 11, 12syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  QQ )
1413adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  QQ )
157simp2d 956 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  NN )
16 nnq 9087 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
1715, 16syl 14 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  QQ )
1817adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  QQ )
19 elfzo1 9566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2019biimpi 118 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  ->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2120adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2221simp1d 955 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  NN )
2322nnnn0d 8696 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  NN0 )
2423, 8nn0addcld 8700 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  NN0 )
2524nn0ge0d 8699 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  0  <_  ( K  +  J ) )
2625adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  0  <_  ( K  +  J ) )
27 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  <  N )
28 modqid 9721 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  +  J )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( K  +  J
)  /\  ( K  +  J )  <  N
) )  ->  (
( K  +  J
)  mod  N )  =  ( K  +  J ) )
2914, 18, 26, 27, 28syl22anc 1175 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  =  ( K  +  J ) )
3024adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  NN0 )
3115adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  NN )
32 elfzo0 9558 . . . . 5  |-  ( ( K  +  J )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( K  +  J )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( K  +  J )  <  N
) )
3330, 31, 27, 32syl3anbrc 1127 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  ( 0..^ N ) )
342zcnd 8839 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  CC )
35 0cnd 7460 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  0  e.  CC )
368nn0cnd 8698 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  CC )
3722nnne0d 8438 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  =/=  0 )
3834, 35, 36, 37addneintr2d 7650 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  =/=  (
0  +  J ) )
3936addid2d 7611 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( 0  +  J )  =  J )
4038, 39neeqtrd 2283 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  =/=  J
)
4140adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  =/=  J )
42 eldifsn 3562 . . . 4  |-  ( ( K  +  J )  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  <->  ( ( K  +  J )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( K  +  J )  =/=  J
) )
4333, 41, 42sylanbrc 408 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
4429, 43eqeltrd 2164 . 2  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
4515nncnd 8408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  CC )
4645adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  CC )
4746mulm1d 7867 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( -u 1  x.  N )  =  -u N )
4847oveq2d 5650 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  +  (
-u 1  x.  N
) )  =  ( ( K  +  J
)  +  -u N
) )
4934, 36addcld 7486 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  CC )
5049, 45negsubd 7778 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  +  -u N )  =  ( ( K  +  J )  -  N
) )
5150adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  +  -u N )  =  ( ( K  +  J
)  -  N ) )
5248, 51eqtrd 2120 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  +  (
-u 1  x.  N
) )  =  ( ( K  +  J
)  -  N ) )
5352oveq1d 5649 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( ( K  +  J )  +  ( -u 1  x.  N ) )  mod 
N )  =  ( ( ( K  +  J )  -  N
)  mod  N )
)
5413adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  QQ )
55 neg1z 8752 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  ZZ
5655a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  -> 
-u 1  e.  ZZ )
5717adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  QQ )
5815nngt0d 8437 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  0  <  N )
5958adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  0  <  N )
60 modqcyc 9731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  +  J )  e.  QQ  /\  -u 1  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  QQ  /\  0  < 
N ) )  -> 
( ( ( K  +  J )  +  ( -u 1  x.  N ) )  mod 
N )  =  ( ( K  +  J
)  mod  N )
)
6154, 56, 57, 59, 60syl22anc 1175 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( ( K  +  J )  +  ( -u 1  x.  N ) )  mod 
N )  =  ( ( K  +  J
)  mod  N )
)
62 qsubcl 9092 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  J
)  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  QQ )
6313, 17, 62syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  e.  QQ )
6463adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  QQ )
65 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  -.  ( K  +  J )  <  N
)
6615nnred 8407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
6766adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  RR )
6824nn0red 8697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  RR )
6968adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  RR )
7067, 69lenltd 7580 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( N  <_  ( K  +  J )  <->  -.  ( K  +  J
)  <  N )
)
7165, 70mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  <_  ( K  +  J ) )
7269, 67subge0d 7988 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( 0  <_  (
( K  +  J
)  -  N )  <-> 
N  <_  ( K  +  J ) ) )
7371, 72mpbird 165 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  0  <_  ( ( K  +  J )  -  N ) )
742zred 8838 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  RR )
758nn0red 8697 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  RR )
7621simp3d 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  <  N )
777simp3d 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  <  N )
7874, 75, 66, 66, 76, 77lt2addd 8020 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  <  ( N  +  N )
)
7968, 66, 66ltsubaddd 7994 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( (
( K  +  J
)  -  N )  <  N  <->  ( K  +  J )  <  ( N  +  N )
) )
8078, 79mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  <  N
)
8180adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  <  N )
82 modqid 9721 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  +  J )  -  N )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( ( K  +  J )  -  N
)  /\  ( ( K  +  J )  -  N )  <  N
) )  ->  (
( ( K  +  J )  -  N
)  mod  N )  =  ( ( K  +  J )  -  N ) )
8364, 57, 73, 81, 82syl22anc 1175 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( ( K  +  J )  -  N )  mod  N
)  =  ( ( K  +  J )  -  N ) )
8453, 61, 833eqtr3d 2128 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  =  ( ( K  +  J )  -  N ) )
8524nn0zd 8836 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  ZZ )
8615nnzd 8837 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
8785, 86zsubcld 8843 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  e.  ZZ )
8887adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  ZZ )
89 elnn0z 8733 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  +  J
)  -  N )  e.  NN0  <->  ( ( ( K  +  J )  -  N )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( K  +  J )  -  N
) ) )
9088, 73, 89sylanbrc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  NN0 )
9115adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  NN )
92 elfzo0 9558 . . . . 5  |-  ( ( ( K  +  J
)  -  N )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( ( K  +  J )  -  N )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( ( K  +  J )  -  N )  <  N
) )
9390, 91, 81, 92syl3anbrc 1127 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
9434, 45subcld 7772 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  -  N )  e.  CC )
9574, 76ltned 7577 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  =/=  N )
9634, 45, 95subne0d 7781 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  -  N )  =/=  0
)
9794, 35, 36, 96addneintr2d 7650 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  -  N )  +  J )  =/=  (
0  +  J ) )
9834, 36, 45addsubd 7793 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  =  ( ( K  -  N
)  +  J ) )
9939eqcomd 2093 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  =  ( 0  +  J
) )
10097, 98, 993netr4d 2288 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  =/=  J
)
101100adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  =/=  J )
102 eldifsn 3562 . . . 4  |-  ( ( ( K  +  J
)  -  N )  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  <->  ( (
( K  +  J
)  -  N )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( K  +  J )  -  N )  =/= 
J ) )
10393, 101, 102sylanbrc 408 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
10484, 103eqeltrd 2164 . 2  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
105 zdclt 8794 . . . 4  |-  ( ( ( K  +  J
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( K  +  J )  <  N )
106 exmiddc 782 . . . 4  |-  (DECID  ( K  +  J )  < 
N  ->  ( ( K  +  J )  <  N  \/  -.  ( K  +  J )  <  N ) )
107105, 106syl 14 . . 3  |-  ( ( ( K  +  J
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  +  J )  <  N  \/  -.  ( K  +  J )  <  N
) )
10885, 86, 107syl2anc 403 . 2  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  <  N  \/  -.  ( K  +  J )  <  N ) )
10944, 104, 108mpjaodan 747 1  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N )  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255    \ cdif 2994   {csn 3441   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632   -ucneg 7633   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   QQcq 9073  ..^cfzo 9518    mod cmo 9694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-fl 9642  df-mod 9695
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