Theorem modsumfzodifsn 10488

Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modsumfzodifsn	|- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )

Proof of Theorem modsumfzodifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10222	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> K e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. ZZ )
3		zq 9700	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. QQ )
5		elfzo0 10258	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) <-> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
6	5	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
8	7	simp1d 1011	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. NN0 )
9	8	nn0zd 9446	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. ZZ )
10		zq 9700	. . . . . . 7 |- ( J e. ZZ -> J e. QQ )
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. QQ )
12		qaddcl 9709	. . . . . 6 |- ( ( K e. QQ /\ J e. QQ ) -> ( K + J ) e. QQ )
13	4, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. QQ )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. QQ )
15	7	simp2d 1012	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. NN )
16		nnq 9707	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. QQ )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> N e. QQ )
19		elfzo1 10266	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
20	19	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
22	21	simp1d 1011	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. NN )
23	22	nnnn0d 9302	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. NN0 )
24	23, 8	nn0addcld 9306	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. NN0 )
25	24	nn0ge0d 9305	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 <_ ( K + J ) )
26	25	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> 0 <_ ( K + J ) )
27		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) < N )
28		modqid 10441	. . . 4 |- ( ( ( ( K + J ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( K + J ) /\ ( K + J ) < N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( K + J ) )
29	14, 18, 26, 27, 28	syl22anc 1250	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( K + J ) )
30	24	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. NN0 )
31	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> N e. NN )
32		elfzo0 10258	. . . . 5 |- ( ( K + J ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( K + J ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( K + J ) < N ) )
33	30, 31, 27, 32	syl3anbrc 1183	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. ( 0..^ N ) )
34	2	zcnd 9449	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. CC )
35		0cnd 8019	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 e. CC )
36	8	nn0cnd 9304	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. CC )
37	22	nnne0d 9035	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K =/= 0 )
38	34, 35, 36, 37	addneintr2d 8215	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) =/= ( 0 + J ) )
39	36	addlidd 8176	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( 0 + J ) = J )
40	38, 39	neeqtrd 2395	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) =/= J )
41	40	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) =/= J )
42		eldifsn 3749	. . . 4 |- ( ( K + J ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) <-> ( ( K + J ) e. ( 0..^ N ) /\ ( K + J ) =/= J ) )
43	33, 41, 42	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
44	29, 43	eqeltrd 2273	. 2 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
45	15	nncnd 9004	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. CC )
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. CC )
47	46	mulm1d 8436	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( -u 1 x. N ) = -u N )
48	47	oveq2d 5938	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) = ( ( K + J ) + -u N ) )
49	34, 36	addcld 8046	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. CC )
50	49, 45	negsubd 8343	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) + -u N ) = ( ( K + J ) - N ) )
51	50	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + -u N ) = ( ( K + J ) - N ) )
52	48, 51	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) = ( ( K + J ) - N ) )
53	52	oveq1d 5937	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) )
54	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. QQ )
55		neg1z 9358	. . . . . 6 |- -u 1 e. ZZ
56	55	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> -u 1 e. ZZ )
57	17	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. QQ )
58	15	nngt0d 9034	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 < N )
59	58	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> 0 < N )
60		modqcyc 10451	. . . . 5 |- ( ( ( ( K + J ) e. QQ /\ -u 1 e. ZZ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( K + J ) mod N ) )
61	54, 56, 57, 59, 60	syl22anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( K + J ) mod N ) )
62		qsubcl 9712	. . . . . . 7 |- ( ( ( K + J ) e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
63	13, 17, 62	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
64	63	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
65		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> -. ( K + J ) < N )
66	15	nnred 9003	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. RR )
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. RR )
68	24	nn0red 9303	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. RR )
69	68	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. RR )
70	67, 69	lenltd 8144	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( N <_ ( K + J ) <-> -. ( K + J ) < N ) )
71	65, 70	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N <_ ( K + J ) )
72	69, 67	subge0d 8562	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) <-> N <_ ( K + J ) ) )
73	71, 72	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> 0 <_ ( ( K + J ) - N ) )
74	2	zred 9448	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. RR )
75	8	nn0red 9303	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. RR )
76	21	simp3d 1013	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K < N )
77	7	simp3d 1013	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J < N )
78	74, 75, 66, 66, 76, 77	lt2addd 8594	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) < ( N + N ) )
79	68, 66, 66	ltsubaddd 8568	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( ( K + J ) - N ) < N <-> ( K + J ) < ( N + N ) ) )
80	78, 79	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) < N )
81	80	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) < N )
82		modqid 10441	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( K + J ) - N ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) ) -> ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
83	64, 57, 73, 81, 82	syl22anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
84	53, 61, 83	3eqtr3d 2237	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
85	24	nn0zd 9446	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. ZZ )
86	15	nnzd 9447	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. ZZ )
87	85, 86	zsubcld 9453	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ZZ )
88	87	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ZZ )
89		elnn0z 9339	. . . . . 6 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. NN0 <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( K + J ) - N ) ) )
90	88, 73, 89	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. NN0 )
91	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. NN )
92		elfzo0 10258	. . . . 5 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) )
93	90, 91, 81, 92	syl3anbrc 1183	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) )
94	34, 45	subcld 8337	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K - N ) e. CC )
95	74, 76	ltned 8140	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K =/= N )
96	34, 45, 95	subne0d 8346	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K - N ) =/= 0 )
97	94, 35, 36, 96	addneintr2d 8215	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K - N ) + J ) =/= ( 0 + J ) )
98	34, 36, 45	addsubd 8358	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) = ( ( K - N ) + J ) )
99	39	eqcomd 2202	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J = ( 0 + J ) )
100	97, 98, 99	3netr4d 2400	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) =/= J )
101	100	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) =/= J )
102		eldifsn 3749	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( K + J ) - N ) =/= J ) )
103	93, 101, 102	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
104	84, 103	eqeltrd 2273	. 2 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
105		zdclt 9403	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( K + J ) < N )
106		exmiddc 837	. . . 4 |- (DECID ( K + J ) < N -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
107	105, 106	syl 14	. . 3 |- ( ( ( K + J ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
108	85, 86, 107	syl2anc 411	. 2 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
109	44, 104, 108	mpjaodan 799	1 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   \ cdif 3154   {csn 3622   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   -ucneg 8198   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   QQcq 9693  ..^cfzo 10217   mod cmo 10414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415

This theorem is referenced by: (None)