Theorem modsumfzodifsn 10762

Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modsumfzodifsn	|- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )

Proof of Theorem modsumfzodifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 10485	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> K e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. ZZ )
3		zq 9961	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. QQ )
5		elfzo0 10524	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) <-> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
6	5	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
8	7	simp1d 1036	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. NN0 )
9	8	nn0zd 9701	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. ZZ )
10		zq 9961	. . . . . . 7 |- ( J e. ZZ -> J e. QQ )
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. QQ )
12		qaddcl 9970	. . . . . 6 |- ( ( K e. QQ /\ J e. QQ ) -> ( K + J ) e. QQ )
13	4, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. QQ )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. QQ )
15	7	simp2d 1037	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. NN )
16		nnq 9968	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. QQ )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> N e. QQ )
19		elfzo1 10534	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
20	19	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
22	21	simp1d 1036	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. NN )
23	22	nnnn0d 9555	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. NN0 )
24	23, 8	nn0addcld 9559	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. NN0 )
25	24	nn0ge0d 9558	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 <_ ( K + J ) )
26	25	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> 0 <_ ( K + J ) )
27		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) < N )
28		modqid 10715	. . . 4 |- ( ( ( ( K + J ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( K + J ) /\ ( K + J ) < N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( K + J ) )
29	14, 18, 26, 27, 28	syl22anc 1275	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( K + J ) )
30	24	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. NN0 )
31	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> N e. NN )
32		elfzo0 10524	. . . . 5 |- ( ( K + J ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( K + J ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( K + J ) < N ) )
33	30, 31, 27, 32	syl3anbrc 1208	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. ( 0..^ N ) )
34	2	zcnd 9704	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. CC )
35		0cnd 8269	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 e. CC )
36	8	nn0cnd 9557	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. CC )
37	22	nnne0d 9284	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K =/= 0 )
38	34, 35, 36, 37	addneintr2d 8464	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) =/= ( 0 + J ) )
39	36	addlidd 8425	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( 0 + J ) = J )
40	38, 39	neeqtrd 2442	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) =/= J )
41	40	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) =/= J )
42		eldifsn 3822	. . . 4 |- ( ( K + J ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) <-> ( ( K + J ) e. ( 0..^ N ) /\ ( K + J ) =/= J ) )
43	33, 41, 42	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
44	29, 43	eqeltrd 2311	. 2 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
45	15	nncnd 9253	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. CC )
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. CC )
47	46	mulm1d 8685	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( -u 1 x. N ) = -u N )
48	47	oveq2d 6068	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) = ( ( K + J ) + -u N ) )
49	34, 36	addcld 8295	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. CC )
50	49, 45	negsubd 8592	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) + -u N ) = ( ( K + J ) - N ) )
51	50	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + -u N ) = ( ( K + J ) - N ) )
52	48, 51	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) = ( ( K + J ) - N ) )
53	52	oveq1d 6067	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) )
54	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. QQ )
55		neg1z 9611	. . . . . 6 |- -u 1 e. ZZ
56	55	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> -u 1 e. ZZ )
57	17	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. QQ )
58	15	nngt0d 9283	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 < N )
59	58	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> 0 < N )
60		modqcyc 10725	. . . . 5 |- ( ( ( ( K + J ) e. QQ /\ -u 1 e. ZZ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( K + J ) mod N ) )
61	54, 56, 57, 59, 60	syl22anc 1275	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( K + J ) mod N ) )
62		qsubcl 9973	. . . . . . 7 |- ( ( ( K + J ) e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
63	13, 17, 62	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
64	63	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. QQ )
65		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> -. ( K + J ) < N )
66	15	nnred 9252	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. RR )
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. RR )
68	24	nn0red 9556	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. RR )
69	68	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( K + J ) e. RR )
70	67, 69	lenltd 8393	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( N <_ ( K + J ) <-> -. ( K + J ) < N ) )
71	65, 70	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N <_ ( K + J ) )
72	69, 67	subge0d 8811	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) <-> N <_ ( K + J ) ) )
73	71, 72	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> 0 <_ ( ( K + J ) - N ) )
74	2	zred 9703	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. RR )
75	8	nn0red 9556	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. RR )
76	21	simp3d 1038	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K < N )
77	7	simp3d 1038	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J < N )
78	74, 75, 66, 66, 76, 77	lt2addd 8843	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) < ( N + N ) )
79	68, 66, 66	ltsubaddd 8817	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( ( K + J ) - N ) < N <-> ( K + J ) < ( N + N ) ) )
80	78, 79	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) < N )
81	80	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) < N )
82		modqid 10715	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( K + J ) - N ) e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) ) -> ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
83	64, 57, 73, 81, 82	syl22anc 1275	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
84	53, 61, 83	3eqtr3d 2275	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
85	24	nn0zd 9701	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. ZZ )
86	15	nnzd 9702	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. ZZ )
87	85, 86	zsubcld 9708	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ZZ )
88	87	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ZZ )
89		elnn0z 9592	. . . . . 6 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. NN0 <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( K + J ) - N ) ) )
90	88, 73, 89	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. NN0 )
91	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> N e. NN )
92		elfzo0 10524	. . . . 5 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) )
93	90, 91, 81, 92	syl3anbrc 1208	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) )
94	34, 45	subcld 8586	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K - N ) e. CC )
95	74, 76	ltned 8389	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K =/= N )
96	34, 45, 95	subne0d 8595	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K - N ) =/= 0 )
97	94, 35, 36, 96	addneintr2d 8464	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K - N ) + J ) =/= ( 0 + J ) )
98	34, 36, 45	addsubd 8607	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) = ( ( K - N ) + J ) )
99	39	eqcomd 2240	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J = ( 0 + J ) )
100	97, 98, 99	3netr4d 2447	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) =/= J )
101	100	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) =/= J )
102		eldifsn 3822	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( K + J ) - N ) =/= J ) )
103	93, 101, 102	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
104	84, 103	eqeltrd 2311	. 2 |- ( ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) /\ -. ( K + J ) < N ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
105		zdclt 9657	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( K + J ) < N )
106		exmiddc 844	. . . 4 |- (DECID ( K + J ) < N -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
107	105, 106	syl 14	. . 3 |- ( ( ( K + J ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
108	85, 86, 107	syl2anc 411	. 2 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) < N \/ -. ( K + J ) < N ) )
109	44, 104, 108	mpjaodan 806	1 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   \ cdif 3210   {csn 3691   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   CCcc 8127   RRcr 8128   0cc0 8129   1c1 8130   + caddc 8132   x. cmul 8134   < clt 8310   <_ cle 8311   - cmin 8446   -ucneg 8447   NNcn 9239   NN0cn0 9498   ZZcz 9579   QQcq 9954  ..^cfzo 10480   mod cmo 10688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-fl 10634  df-mod 10689

This theorem is referenced by: (None)