Theorem gt0ne0d 8847

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	|- ( ph -> A =/= 0 )

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8332	. 2 |- 0 e. RR
2		gt0ne0d.1	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		ltne 8416	. 2 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
4	1, 2, 3	sylancr 418	1 |- ( ph -> A =/= 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4131   RRcr 8184   0cc0 8185   < clt 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371

This theorem is used by:  sup3exmid  9295  modqval  10782  modqvalr  10783  modqcl  10784  flqpmodeq  10785  modq0  10787  modqge0  10790  modqlt  10791  modqdiffl  10793  modqdifz  10794  modqvalp1  10801  modqid  10807  modqcyc  10817  modqadd1  10819  modqmuladd  10824  modqmuladdnn0  10826  modqmul1  10835  modqdi  10850  modqsubdir  10851  ennnfonelemp1  13355  dichmul0orlem5  16962  dichmul0orlem6  16963