Theorem gt0ne0d 8833

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	|- ( ph -> A =/= 0 )

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8319	. 2 |- 0 e. RR
2		gt0ne0d.1	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		ltne 8403	. 2 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
4	1, 2, 3	sylancr 418	1 |- ( ph -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4128   RRcr 8171   0cc0 8172   < clt 8353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1re 8266  ax-addrcl 8269  ax-rnegex 8281  ax-pre-ltirr 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-ltxr 8358

This theorem is referenced by:  sup3exmid  9280  modqval  10742  modqvalr  10743  modqcl  10744  flqpmodeq  10745  modq0  10747  modqge0  10750  modqlt  10751  modqdiffl  10753  modqdifz  10754  modqvalp1  10761  modqid  10767  modqcyc  10777  modqadd1  10779  modqmuladd  10784  modqmuladdnn0  10786  modqmul1  10795  modqdi  10810  modqsubdir  10811  ennnfonelemp1  13278  dichmul0orlem5  16674  dichmul0orlem6  16675