Theorem gt0ne0d 8585

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	|- ( ph -> A =/= 0 )

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8072	. 2 |- 0 e. RR
2		gt0ne0d.1	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		ltne 8157	. 2 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
4	1, 2, 3	sylancr 414	1 |- ( ph -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   =/= wne 2376   class class class wbr 4044   RRcr 7924   0cc0 7925   < clt 8107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112

This theorem is referenced by:  sup3exmid  9030  modqval  10469  modqvalr  10470  modqcl  10471  flqpmodeq  10472  modq0  10474  modqge0  10477  modqlt  10478  modqdiffl  10480  modqdifz  10481  modqvalp1  10488  modqid  10494  modqcyc  10504  modqadd1  10506  modqmuladd  10511  modqmuladdnn0  10513  modqmul1  10522  modqdi  10537  modqsubdir  10538  ennnfonelemp1  12777