Theorem gt0ne0d 8751

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	|- ( ph -> A =/= 0 )

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8239	. 2 |- 0 e. RR
2		gt0ne0d.1	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		ltne 8323	. 2 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
4	1, 2, 3	sylancr 414	1 |- ( ph -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   =/= wne 2403   class class class wbr 4093   RRcr 8091   0cc0 8092   < clt 8273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278

This theorem is referenced by:  sup3exmid  9196  modqval  10649  modqvalr  10650  modqcl  10651  flqpmodeq  10652  modq0  10654  modqge0  10657  modqlt  10658  modqdiffl  10660  modqdifz  10661  modqvalp1  10668  modqid  10674  modqcyc  10684  modqadd1  10686  modqmuladd  10691  modqmuladdnn0  10693  modqmul1  10702  modqdi  10717  modqsubdir  10718  ennnfonelemp1  13107