Theorem gt0ne0d 8840

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	|- ( ph -> A =/= 0 )

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8326	. 2 |- 0 e. RR
2		gt0ne0d.1	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		ltne 8410	. 2 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
4	1, 2, 3	sylancr 418	1 |- ( ph -> A =/= 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4130   RRcr 8178   0cc0 8179   < clt 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365

This theorem is used by:  sup3exmid  9287  modqval  10761  modqvalr  10762  modqcl  10763  flqpmodeq  10764  modq0  10766  modqge0  10769  modqlt  10770  modqdiffl  10772  modqdifz  10773  modqvalp1  10780  modqid  10786  modqcyc  10796  modqadd1  10798  modqmuladd  10803  modqmuladdnn0  10805  modqmul1  10814  modqdi  10829  modqsubdir  10830  ennnfonelemp1  13297  dichmul0orlem5  16757  dichmul0orlem6  16758