Theorem gt0ne0d 8842

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	|- ( ph -> A =/= 0 )

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8327	. 2 |- 0 e. RR
2		gt0ne0d.1	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		ltne 8411	. 2 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
4	1, 2, 3	sylancr 418	1 |- ( ph -> A =/= 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4130   RRcr 8179   0cc0 8180   < clt 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366

This theorem is used by:  sup3exmid  9290  modqval  10776  modqvalr  10777  modqcl  10778  flqpmodeq  10779  modq0  10781  modqge0  10784  modqlt  10785  modqdiffl  10787  modqdifz  10788  modqvalp1  10795  modqid  10801  modqcyc  10811  modqadd1  10813  modqmuladd  10818  modqmuladdnn0  10820  modqmul1  10829  modqdi  10844  modqsubdir  10845  ennnfonelemp1  13349  dichmul0orlem5  16923  dichmul0orlem6  16924