Theorem zdceq 9522

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9489	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9450	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8231	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2486	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 716	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2411	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 717	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9450	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8231	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1338	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   class class class wbr 4083   RRcr 7998   < clt 8181   ZZcz 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9526  nn0lt2  9528  prime  9546  elnn1uz2  9802  iseqf1olemqcl  10721  iseqf1olemnab  10723  iseqf1olemab  10724  seq3f1olemstep  10736  exp3val  10763  hashfzp1  11046  ccat1st1st  11172  swrdccatin1  11257  fprod1p  12110  dvdsdc  12309  zdvdsdc  12323  fsumdvds  12353  dvdsabseq  12358  alzdvds  12365  fzo0dvdseq  12368  gcdmndc  12476  gcdsupex  12478  gcdsupcl  12479  gcd0id  12500  gcdaddm  12505  dfgcd2  12535  gcdmultiplez  12542  dvdssq  12552  nn0seqcvgd  12563  algcvgblem  12571  eucalgval2  12575  lcmmndc  12584  lcmdvds  12601  lcmid  12602  mulgcddvds  12616  cncongr2  12626  isprm3  12640  isprm4  12641  prm2orodd  12648  rpexp  12675  phivalfi  12734  phiprmpw  12744  phimullem  12747  eulerthlemfi  12750  hashgcdeq  12762  phisum  12763  pcxnn0cl  12833  pcge0  12836  pcdvdsb  12843  pcneg  12848  pcdvdstr  12850  pcgcd1  12851  pc2dvds  12853  pcz  12855  pcprmpw2  12856  pcmpt  12866  4sqlemafi  12918  4sqleminfi  12920  4sqexercise1  12921  4sqexercise2  12922  4sqlemsdc  12923  4sqlem11  12924  4sqlem19  12932  ennnfonelemim  12995  unbendc  13025  strsetsid  13065  bassetsnn  13089  mulgval  13659  mulgfng  13661  subgmulg  13725  znf1o  14615  psr1clfi  14652  ply1term  15417  dvply1  15439  perfectlem2  15674  lgsval  15683  lgsfvalg  15684  lgsfcl2  15685  lgscllem  15686  lgsval2lem  15689  lgsneg1  15704  lgsdir2  15712  lgsdirprm  15713  lgsdir  15714  lgsne0  15717  lgsprme0  15721  lgsdirnn0  15726  lgsdinn0  15727  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem2  15757  lgsquad3  15763  2lgs  15783  2lgsoddprm  15792  2sqlem9  15803  nninffeq  16386  nconstwlpolem  16433