Theorem zdceq 9369

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9337	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9298	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8083	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2446	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 712	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2371	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 713	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9298	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8083	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1315	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   class class class wbr 4025   RRcr 7850   < clt 8033   ZZcz 9294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7942  ax-resscn 7943  ax-1cn 7944  ax-1re 7945  ax-icn 7946  ax-addcl 7947  ax-addrcl 7948  ax-mulcl 7949  ax-addcom 7951  ax-addass 7953  ax-distr 7955  ax-i2m1 7956  ax-0lt1 7957  ax-0id 7959  ax-rnegex 7960  ax-cnre 7962  ax-pre-ltirr 7963  ax-pre-ltwlin 7964  ax-pre-lttrn 7965  ax-pre-ltadd 7967

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-br 4026  df-opab 4087  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fv 5250  df-riota 5859  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-pnf 8035  df-mnf 8036  df-xr 8037  df-ltxr 8038  df-le 8039  df-sub 8171  df-neg 8172  df-inn 8961  df-n0 9218  df-z 9295

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9373  nn0lt2  9375  prime  9393  elnn1uz2  9649  iseqf1olemqcl  10531  iseqf1olemnab  10533  iseqf1olemab  10534  seq3f1olemstep  10546  exp3val  10568  hashfzp1  10851  fprod1p  11654  dvdsdc  11852  zdvdsdc  11866  dvdsabseq  11900  alzdvds  11907  fzo0dvdseq  11910  gcdmndc  11992  gcdsupex  12005  gcdsupcl  12006  gcd0id  12027  gcdaddm  12032  dfgcd2  12062  gcdmultiplez  12069  dvdssq  12079  nn0seqcvgd  12090  algcvgblem  12098  eucalgval2  12102  lcmmndc  12111  lcmdvds  12128  lcmid  12129  mulgcddvds  12143  cncongr2  12153  isprm3  12167  isprm4  12168  prm2orodd  12175  rpexp  12202  phivalfi  12261  phiprmpw  12271  phimullem  12274  eulerthlemfi  12277  hashgcdeq  12288  phisum  12289  pcxnn0cl  12359  pcge0  12362  pcdvdsb  12369  pcneg  12374  pcdvdstr  12376  pcgcd1  12377  pc2dvds  12379  pcz  12381  pcprmpw2  12382  pcmpt  12392  4sqlemafi  12444  4sqleminfi  12446  4sqexercise1  12447  4sqexercise2  12448  4sqlemsdc  12449  4sqlem11  12450  4sqlem19  12458  ennnfonelemim  12492  unbendc  12522  strsetsid  12562  mulgval  13095  mulgfng  13097  subgmulg  13160  znf1o  13995  lgsval  14944  lgsfvalg  14945  lgsfcl2  14946  lgscllem  14947  lgsval2lem  14950  lgsneg1  14965  lgsdir2  14973  lgsdirprm  14974  lgsdir  14975  lgsne0  14978  lgsprme0  14982  lgsdirnn0  14987  lgsdinn0  14988  2sqlem9  15010  nninffeq  15309  nconstwlpolem  15354