Theorem zdceq 9729

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9696	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9657	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8416	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2506	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 723	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2431	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 724	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9657	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8416	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1345	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4131   RRcr 8184   < clt 8366   ZZcz 9653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654

This theorem is used by:  zfidc  9732  nn0n0n1ge2b  9734  nn0lt2  9736  fcdmnn0fsuppfi  9743  prime  9755  elnn1uz2  10022  iseqf1olemqcl  10956  iseqf1olemnab  10958  iseqf1olemab  10959  seq3f1olemstep  10971  exp3val  10998  nn0sqdc  11167  hashfzp1  11286  hashfibclem  11303  ccat1st1st  11430  swrdccatin1  11518  fprod1p  12390  dvdsdc  12589  zdvdsdc  12603  fsumdvds  12633  dvdsabseq  12638  alzdvds  12645  fzo0dvdseq  12648  gcdmndc  12756  gcdsupex  12758  gcdsupcl  12759  gcd0id  12780  gcdaddm  12785  dfgcd2  12815  gcdmultiplez  12822  dvdssq  12832  nn0seqcvgd  12843  algcvgblem  12851  eucalgval2  12855  lcmmndc  12864  lcmdvds  12881  lcmid  12882  mulgcddvds  12896  cncongr2  12906  isprm3  12920  isprm4  12921  prm2orodd  12928  rpexp  12956  phivalfi  13018  phiprmpw  13028  phimullem  13031  eulerthlemfi  13034  hashgcdeq  13046  phisum  13047  pcxnn0cl  13117  pcge0  13120  pcdvdsb  13127  pcneg  13132  pcdvdstr  13134  pcgcd1  13135  pc2dvds  13137  pcz  13139  pcprmpw2  13140  pcmpt  13150  4sqlemafi  13202  4sqleminfi  13204  4sqexercise1  13205  4sqexercise2  13206  4sqlemsdc  13207  4sqlem11  13208  4sqlem19  13216  prmlem1a  13249  ballotfilemofi  13276  ballotfilemcdc  13280  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  ballotfilemiex  13301  ballotfilemscl  13304  ballotfilemsle  13305  ennnfonelemim  13372  unbendc  13402  strsetsid  13442  bassetsnn  13466  mulgval  13983  mulgfng  13985  subgmulg  14049  znf1o  15094  psrbagdceq  15167  psr1clfi  15207  ply1term  15986  dvply1  16008  ppiqub  16310  perfectlem2  16317  lgsval  16345  lgsfvalg  16346  lgsfcl2  16347  lgscllem  16348  lgsval2lem  16351  lgsneg1  16366  lgsdir2  16374  lgsdirprm  16375  lgsdir  16376  lgsne0  16379  lgsprme0  16383  lgsdirnn0  16388  lgsdinn0  16389  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  lgsquad3  16425  2lgs  16445  2lgsoddprm  16454  2sqlem9  16465  umgrclwwlkge2  16865  nninffeq  17286  nconstwlpolem  17339