Theorem zdceq 9538

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9505	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9466	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8247	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2486	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 716	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2411	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 717	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9466	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8247	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1338	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   class class class wbr 4083   RRcr 8014   < clt 8197   ZZcz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9542  nn0lt2  9544  prime  9562  elnn1uz2  9819  iseqf1olemqcl  10738  iseqf1olemnab  10740  iseqf1olemab  10741  seq3f1olemstep  10753  exp3val  10780  hashfzp1  11064  ccat1st1st  11193  swrdccatin1  11278  fprod1p  12131  dvdsdc  12330  zdvdsdc  12344  fsumdvds  12374  dvdsabseq  12379  alzdvds  12386  fzo0dvdseq  12389  gcdmndc  12497  gcdsupex  12499  gcdsupcl  12500  gcd0id  12521  gcdaddm  12526  dfgcd2  12556  gcdmultiplez  12563  dvdssq  12573  nn0seqcvgd  12584  algcvgblem  12592  eucalgval2  12596  lcmmndc  12605  lcmdvds  12622  lcmid  12623  mulgcddvds  12637  cncongr2  12647  isprm3  12661  isprm4  12662  prm2orodd  12669  rpexp  12696  phivalfi  12755  phiprmpw  12765  phimullem  12768  eulerthlemfi  12771  hashgcdeq  12783  phisum  12784  pcxnn0cl  12854  pcge0  12857  pcdvdsb  12864  pcneg  12869  pcdvdstr  12871  pcgcd1  12872  pc2dvds  12874  pcz  12876  pcprmpw2  12877  pcmpt  12887  4sqlemafi  12939  4sqleminfi  12941  4sqexercise1  12942  4sqexercise2  12943  4sqlemsdc  12944  4sqlem11  12945  4sqlem19  12953  ennnfonelemim  13016  unbendc  13046  strsetsid  13086  bassetsnn  13110  mulgval  13680  mulgfng  13682  subgmulg  13746  znf1o  14636  psr1clfi  14673  ply1term  15438  dvply1  15460  perfectlem2  15695  lgsval  15704  lgsfvalg  15705  lgsfcl2  15706  lgscllem  15707  lgsval2lem  15710  lgsneg1  15725  lgsdir2  15733  lgsdirprm  15734  lgsdir  15735  lgsne0  15738  lgsprme0  15742  lgsdirnn0  15747  lgsdinn0  15748  lgsquadlem1  15777  lgsquadlem2  15778  lgsquad3  15784  2lgs  15804  2lgsoddprm  15813  2sqlem9  15824  umgrclwwlkge2  16171  nninffeq  16500  nconstwlpolem  16547