Theorem zdceq 9555

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9522	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9483	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8264	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2488	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 718	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2413	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 719	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9483	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8264	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1340	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   \/ w3o 1003   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   class class class wbr 4088   RRcr 8031   < clt 8214   ZZcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9559  nn0lt2  9561  prime  9579  elnn1uz2  9841  iseqf1olemqcl  10762  iseqf1olemnab  10764  iseqf1olemab  10765  seq3f1olemstep  10777  exp3val  10804  hashfzp1  11089  ccat1st1st  11222  swrdccatin1  11310  fprod1p  12178  dvdsdc  12377  zdvdsdc  12391  fsumdvds  12421  dvdsabseq  12426  alzdvds  12433  fzo0dvdseq  12436  gcdmndc  12544  gcdsupex  12546  gcdsupcl  12547  gcd0id  12568  gcdaddm  12573  dfgcd2  12603  gcdmultiplez  12610  dvdssq  12620  nn0seqcvgd  12631  algcvgblem  12639  eucalgval2  12643  lcmmndc  12652  lcmdvds  12669  lcmid  12670  mulgcddvds  12684  cncongr2  12694  isprm3  12708  isprm4  12709  prm2orodd  12716  rpexp  12743  phivalfi  12802  phiprmpw  12812  phimullem  12815  eulerthlemfi  12818  hashgcdeq  12830  phisum  12831  pcxnn0cl  12901  pcge0  12904  pcdvdsb  12911  pcneg  12916  pcdvdstr  12918  pcgcd1  12919  pc2dvds  12921  pcz  12923  pcprmpw2  12924  pcmpt  12934  4sqlemafi  12986  4sqleminfi  12988  4sqexercise1  12989  4sqexercise2  12990  4sqlemsdc  12991  4sqlem11  12992  4sqlem19  13000  ennnfonelemim  13063  unbendc  13093  strsetsid  13133  bassetsnn  13157  mulgval  13727  mulgfng  13729  subgmulg  13793  znf1o  14684  psr1clfi  14721  ply1term  15486  dvply1  15508  perfectlem2  15743  lgsval  15752  lgsfvalg  15753  lgsfcl2  15754  lgscllem  15755  lgsval2lem  15758  lgsneg1  15773  lgsdir2  15781  lgsdirprm  15782  lgsdir  15783  lgsne0  15786  lgsprme0  15790  lgsdirnn0  15795  lgsdinn0  15796  lgsquadlem1  15825  lgsquadlem2  15826  lgsquad3  15832  2lgs  15852  2lgsoddprm  15861  2sqlem9  15872  umgrclwwlkge2  16272  nninffeq  16673  nconstwlpolem  16721