Theorem zdceq 9327

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9295	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9256	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8041	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2433	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 711	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2358	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 712	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9256	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8041	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1304	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4003   RRcr 7809   < clt 7991   ZZcz 9252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9331  nn0lt2  9333  prime  9351  elnn1uz2  9606  iseqf1olemqcl  10485  iseqf1olemnab  10487  iseqf1olemab  10488  seq3f1olemstep  10500  exp3val  10521  hashfzp1  10803  fprod1p  11606  dvdsdc  11804  zdvdsdc  11818  dvdsabseq  11852  alzdvds  11859  fzo0dvdseq  11862  gcdmndc  11944  gcdsupex  11957  gcdsupcl  11958  gcd0id  11979  gcdaddm  11984  dfgcd2  12014  gcdmultiplez  12021  dvdssq  12031  nn0seqcvgd  12040  algcvgblem  12048  eucalgval2  12052  lcmmndc  12061  lcmdvds  12078  lcmid  12079  mulgcddvds  12093  cncongr2  12103  isprm3  12117  isprm4  12118  prm2orodd  12125  rpexp  12152  phivalfi  12211  phiprmpw  12221  phimullem  12224  eulerthlemfi  12227  hashgcdeq  12238  phisum  12239  pcxnn0cl  12309  pcge0  12311  pcdvdsb  12318  pcneg  12323  pcdvdstr  12325  pcgcd1  12326  pc2dvds  12328  pcz  12330  pcprmpw2  12331  pcmpt  12340  ennnfonelemim  12424  unbendc  12454  strsetsid  12494  mulgval  12985  mulgfng  12986  subgmulg  13046  lgsval  14375  lgsfvalg  14376  lgsfcl2  14377  lgscllem  14378  lgsval2lem  14381  lgsneg1  14396  lgsdir2  14404  lgsdirprm  14405  lgsdir  14406  lgsne0  14409  lgsprme0  14413  lgsdirnn0  14418  lgsdinn0  14419  2sqlem9  14441  nninffeq  14739  nconstwlpolem  14782