Theorem zdceq 9616

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9583	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9544	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8323	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2489	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 719	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2414	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 720	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9544	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8323	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1341	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   class class class wbr 4093   RRcr 8091   < clt 8273   ZZcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9620  nn0lt2  9622  prime  9640  elnn1uz2  9902  iseqf1olemqcl  10824  iseqf1olemnab  10826  iseqf1olemab  10827  seq3f1olemstep  10839  exp3val  10866  hashfzp1  11151  ccat1st1st  11284  swrdccatin1  11372  fprod1p  12240  dvdsdc  12439  zdvdsdc  12453  fsumdvds  12483  dvdsabseq  12488  alzdvds  12495  fzo0dvdseq  12498  gcdmndc  12606  gcdsupex  12608  gcdsupcl  12609  gcd0id  12630  gcdaddm  12635  dfgcd2  12665  gcdmultiplez  12672  dvdssq  12682  nn0seqcvgd  12693  algcvgblem  12701  eucalgval2  12705  lcmmndc  12714  lcmdvds  12731  lcmid  12732  mulgcddvds  12746  cncongr2  12756  isprm3  12770  isprm4  12771  prm2orodd  12778  rpexp  12805  phivalfi  12864  phiprmpw  12874  phimullem  12877  eulerthlemfi  12880  hashgcdeq  12892  phisum  12893  pcxnn0cl  12963  pcge0  12966  pcdvdsb  12973  pcneg  12978  pcdvdstr  12980  pcgcd1  12981  pc2dvds  12983  pcz  12985  pcprmpw2  12986  pcmpt  12996  4sqlemafi  13048  4sqleminfi  13050  4sqexercise1  13051  4sqexercise2  13052  4sqlemsdc  13053  4sqlem11  13054  4sqlem19  13062  ennnfonelemim  13125  unbendc  13155  strsetsid  13195  bassetsnn  13219  mulgval  13789  mulgfng  13791  subgmulg  13855  znf1o  14747  psr1clfi  14789  ply1term  15554  dvply1  15576  perfectlem2  15814  lgsval  15823  lgsfvalg  15824  lgsfcl2  15825  lgscllem  15826  lgsval2lem  15829  lgsneg1  15844  lgsdir2  15852  lgsdirprm  15853  lgsdir  15854  lgsne0  15857  lgsprme0  15861  lgsdirnn0  15866  lgsdinn0  15867  lgsquadlem1  15896  lgsquadlem2  15897  lgsquad3  15903  2lgs  15923  2lgsoddprm  15932  2sqlem9  15943  umgrclwwlkge2  16343  nninffeq  16746  nconstwlpolem  16798