Theorem zdceq 9724

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9691	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9652	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8410	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2506	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 723	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2431	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 724	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9652	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8410	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1345	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4130   RRcr 8178   < clt 8360   ZZcz 9648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649

This theorem is used by:  zfidc  9727  nn0n0n1ge2b  9729  nn0lt2  9731  prime  9749  elnn1uz2  10016  iseqf1olemqcl  10949  iseqf1olemnab  10951  iseqf1olemab  10952  seq3f1olemstep  10964  exp3val  10991  nn0sqdc  11160  hashfzp1  11279  hashfibclem  11296  ccat1st1st  11423  swrdccatin1  11511  fprod1p  12382  dvdsdc  12581  zdvdsdc  12595  fsumdvds  12625  dvdsabseq  12630  alzdvds  12637  fzo0dvdseq  12640  gcdmndc  12748  gcdsupex  12750  gcdsupcl  12751  gcd0id  12772  gcdaddm  12777  dfgcd2  12807  gcdmultiplez  12814  dvdssq  12824  nn0seqcvgd  12835  algcvgblem  12843  eucalgval2  12847  lcmmndc  12856  lcmdvds  12873  lcmid  12874  mulgcddvds  12888  cncongr2  12898  isprm3  12912  isprm4  12913  prm2orodd  12920  rpexp  12948  phivalfi  13010  phiprmpw  13020  phimullem  13023  eulerthlemfi  13026  hashgcdeq  13038  phisum  13039  pcxnn0cl  13109  pcge0  13112  pcdvdsb  13119  pcneg  13124  pcdvdstr  13126  pcgcd1  13127  pc2dvds  13129  pcz  13131  pcprmpw2  13132  pcmpt  13142  4sqlemafi  13194  4sqleminfi  13196  4sqexercise1  13197  4sqexercise2  13198  4sqlemsdc  13199  4sqlem11  13200  4sqlem19  13208  prmlem1a  13241  ballotfilemofi  13268  ballotfilemcdc  13272  ballotfilemfc0  13281  ballotfilemfcc  13282  ballotfilemiex  13293  ballotfilemscl  13296  ballotfilemsle  13297  ennnfonelemim  13364  unbendc  13394  strsetsid  13434  bassetsnn  13458  mulgval  13974  mulgfng  13976  subgmulg  14040  znf1o  15035  psr1clfi  15128  ply1term  15893  dvply1  15915  ppiqub  16194  perfectlem2  16198  lgsval  16221  lgsfvalg  16222  lgsfcl2  16223  lgscllem  16224  lgsval2lem  16227  lgsneg1  16242  lgsdir2  16250  lgsdirprm  16251  lgsdir  16252  lgsne0  16255  lgsprme0  16259  lgsdirnn0  16264  lgsdinn0  16265  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  lgsquad3  16301  2lgs  16321  2lgsoddprm  16330  2sqlem9  16341  umgrclwwlkge2  16741  nninffeq  17161  nconstwlpolem  17213