Theorem zdceq 9731

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9698	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9659	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8416	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2506	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 723	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2431	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 724	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9659	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8416	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1345	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4131   RRcr 8184   < clt 8366   ZZcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656

This theorem is used by:  zfidc  9734  nn0n0n1ge2b  9736  nn0lt2  9738  prime  9756  elnn1uz2  10023  iseqf1olemqcl  10957  iseqf1olemnab  10959  iseqf1olemab  10960  seq3f1olemstep  10972  exp3val  10999  nn0sqdc  11168  hashfzp1  11287  hashfibclem  11304  ccat1st1st  11431  swrdccatin1  11519  fprod1p  12391  dvdsdc  12590  zdvdsdc  12604  fsumdvds  12634  dvdsabseq  12639  alzdvds  12646  fzo0dvdseq  12649  gcdmndc  12757  gcdsupex  12759  gcdsupcl  12760  gcd0id  12781  gcdaddm  12786  dfgcd2  12816  gcdmultiplez  12823  dvdssq  12833  nn0seqcvgd  12844  algcvgblem  12852  eucalgval2  12856  lcmmndc  12865  lcmdvds  12882  lcmid  12883  mulgcddvds  12897  cncongr2  12907  isprm3  12921  isprm4  12922  prm2orodd  12929  rpexp  12957  phivalfi  13019  phiprmpw  13029  phimullem  13032  eulerthlemfi  13035  hashgcdeq  13047  phisum  13048  pcxnn0cl  13118  pcge0  13121  pcdvdsb  13128  pcneg  13133  pcdvdstr  13135  pcgcd1  13136  pc2dvds  13138  pcz  13140  pcprmpw2  13141  pcmpt  13151  4sqlemafi  13203  4sqleminfi  13205  4sqexercise1  13206  4sqexercise2  13207  4sqlemsdc  13208  4sqlem11  13209  4sqlem19  13217  prmlem1a  13250  ballotfilemofi  13277  ballotfilemcdc  13281  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  ballotfilemiex  13302  ballotfilemscl  13305  ballotfilemsle  13306  ennnfonelemim  13373  unbendc  13403  strsetsid  13443  bassetsnn  13467  mulgval  13984  mulgfng  13986  subgmulg  14050  znf1o  15095  psr1clfi  15198  ply1term  15969  dvply1  15991  ppiqub  16293  perfectlem2  16300  lgsval  16328  lgsfvalg  16329  lgsfcl2  16330  lgscllem  16331  lgsval2lem  16334  lgsneg1  16349  lgsdir2  16357  lgsdirprm  16358  lgsdir  16359  lgsne0  16362  lgsprme0  16366  lgsdirnn0  16371  lgsdinn0  16372  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  lgsquad3  16408  2lgs  16428  2lgsoddprm  16437  2sqlem9  16448  umgrclwwlkge2  16848  nninffeq  17269  nconstwlpolem  17322