Theorem zdceq 9328

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9296	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9257	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8042	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2433	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 711	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2358	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 712	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9257	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8042	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1304	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4004   RRcr 7810   < clt 7992   ZZcz 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9332  nn0lt2  9334  prime  9352  elnn1uz2  9607  iseqf1olemqcl  10486  iseqf1olemnab  10488  iseqf1olemab  10489  seq3f1olemstep  10501  exp3val  10522  hashfzp1  10804  fprod1p  11607  dvdsdc  11805  zdvdsdc  11819  dvdsabseq  11853  alzdvds  11860  fzo0dvdseq  11863  gcdmndc  11945  gcdsupex  11958  gcdsupcl  11959  gcd0id  11980  gcdaddm  11985  dfgcd2  12015  gcdmultiplez  12022  dvdssq  12032  nn0seqcvgd  12041  algcvgblem  12049  eucalgval2  12053  lcmmndc  12062  lcmdvds  12079  lcmid  12080  mulgcddvds  12094  cncongr2  12104  isprm3  12118  isprm4  12119  prm2orodd  12126  rpexp  12153  phivalfi  12212  phiprmpw  12222  phimullem  12225  eulerthlemfi  12228  hashgcdeq  12239  phisum  12240  pcxnn0cl  12310  pcge0  12312  pcdvdsb  12319  pcneg  12324  pcdvdstr  12326  pcgcd1  12327  pc2dvds  12329  pcz  12331  pcprmpw2  12332  pcmpt  12341  ennnfonelemim  12425  unbendc  12455  strsetsid  12495  mulgval  12986  mulgfng  12987  subgmulg  13048  lgsval  14408  lgsfvalg  14409  lgsfcl2  14410  lgscllem  14411  lgsval2lem  14414  lgsneg1  14429  lgsdir2  14437  lgsdirprm  14438  lgsdir  14439  lgsne0  14442  lgsprme0  14446  lgsdirnn0  14451  lgsdinn0  14452  2sqlem9  14474  nninffeq  14772  nconstwlpolem  14815