Theorem zdceq 9326

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9294	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9255	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8040	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2433	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 711	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2358	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 712	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9255	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8040	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1304	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4003   RRcr 7809   < clt 7990   ZZcz 9251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9330  nn0lt2  9332  prime  9350  elnn1uz2  9605  iseqf1olemqcl  10483  iseqf1olemnab  10485  iseqf1olemab  10486  seq3f1olemstep  10498  exp3val  10519  hashfzp1  10799  fprod1p  11602  dvdsdc  11800  zdvdsdc  11814  dvdsabseq  11847  alzdvds  11854  fzo0dvdseq  11857  gcdmndc  11939  gcdsupex  11952  gcdsupcl  11953  gcd0id  11974  gcdaddm  11979  dfgcd2  12009  gcdmultiplez  12016  dvdssq  12026  nn0seqcvgd  12035  algcvgblem  12043  eucalgval2  12047  lcmmndc  12056  lcmdvds  12073  lcmid  12074  mulgcddvds  12088  cncongr2  12098  isprm3  12112  isprm4  12113  prm2orodd  12120  rpexp  12147  phivalfi  12206  phiprmpw  12216  phimullem  12219  eulerthlemfi  12222  hashgcdeq  12233  phisum  12234  pcxnn0cl  12304  pcge0  12306  pcdvdsb  12313  pcneg  12318  pcdvdstr  12320  pcgcd1  12321  pc2dvds  12323  pcz  12325  pcprmpw2  12326  pcmpt  12335  ennnfonelemim  12419  unbendc  12449  strsetsid  12489  mulgval  12980  mulgfng  12981  subgmulg  13041  lgsval  14336  lgsfvalg  14337  lgsfcl2  14338  lgscllem  14339  lgsval2lem  14342  lgsneg1  14357  lgsdir2  14365  lgsdirprm  14366  lgsdir  14367  lgsne0  14370  lgsprme0  14374  lgsdirnn0  14379  lgsdinn0  14380  2sqlem9  14391  nninffeq  14689  nconstwlpolem  14732