Theorem zdceq 9483

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9450	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9411	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8192	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2464	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 713	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2389	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 714	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9411	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8192	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1317	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   class class class wbr 4059   RRcr 7959   < clt 8142   ZZcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9487  nn0lt2  9489  prime  9507  elnn1uz2  9763  iseqf1olemqcl  10681  iseqf1olemnab  10683  iseqf1olemab  10684  seq3f1olemstep  10696  exp3val  10723  hashfzp1  11006  ccat1st1st  11131  swrdccatin1  11216  fprod1p  12025  dvdsdc  12224  zdvdsdc  12238  fsumdvds  12268  dvdsabseq  12273  alzdvds  12280  fzo0dvdseq  12283  gcdmndc  12391  gcdsupex  12393  gcdsupcl  12394  gcd0id  12415  gcdaddm  12420  dfgcd2  12450  gcdmultiplez  12457  dvdssq  12467  nn0seqcvgd  12478  algcvgblem  12486  eucalgval2  12490  lcmmndc  12499  lcmdvds  12516  lcmid  12517  mulgcddvds  12531  cncongr2  12541  isprm3  12555  isprm4  12556  prm2orodd  12563  rpexp  12590  phivalfi  12649  phiprmpw  12659  phimullem  12662  eulerthlemfi  12665  hashgcdeq  12677  phisum  12678  pcxnn0cl  12748  pcge0  12751  pcdvdsb  12758  pcneg  12763  pcdvdstr  12765  pcgcd1  12766  pc2dvds  12768  pcz  12770  pcprmpw2  12771  pcmpt  12781  4sqlemafi  12833  4sqleminfi  12835  4sqexercise1  12836  4sqexercise2  12837  4sqlemsdc  12838  4sqlem11  12839  4sqlem19  12847  ennnfonelemim  12910  unbendc  12940  strsetsid  12980  mulgval  13573  mulgfng  13575  subgmulg  13639  znf1o  14528  psr1clfi  14565  ply1term  15330  dvply1  15352  perfectlem2  15587  lgsval  15596  lgsfvalg  15597  lgsfcl2  15598  lgscllem  15599  lgsval2lem  15602  lgsneg1  15617  lgsdir2  15625  lgsdirprm  15626  lgsdir  15627  lgsne0  15630  lgsprme0  15634  lgsdirnn0  15639  lgsdinn0  15640  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  lgsquad3  15676  2lgs  15696  2lgsoddprm  15705  2sqlem9  15716  nninffeq  16159  nconstwlpolem  16206