Theorem zdceq 9699

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9666	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9627	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8400	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2506	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 723	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2431	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 724	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9627	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8400	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1345	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4125   RRcr 8168   < clt 8350   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  zfidc  9702  nn0n0n1ge2b  9704  nn0lt2  9706  prime  9724  elnn1uz2  9986  iseqf1olemqcl  10914  iseqf1olemnab  10916  iseqf1olemab  10917  seq3f1olemstep  10929  exp3val  10956  hashfzp1  11243  hashfibclem  11260  ccat1st1st  11387  swrdccatin1  11475  fprod1p  12344  dvdsdc  12543  zdvdsdc  12557  fsumdvds  12587  dvdsabseq  12592  alzdvds  12599  fzo0dvdseq  12602  gcdmndc  12710  gcdsupex  12712  gcdsupcl  12713  gcd0id  12734  gcdaddm  12739  dfgcd2  12769  gcdmultiplez  12776  dvdssq  12786  nn0seqcvgd  12797  algcvgblem  12805  eucalgval2  12809  lcmmndc  12818  lcmdvds  12835  lcmid  12836  mulgcddvds  12850  cncongr2  12860  isprm3  12874  isprm4  12875  prm2orodd  12882  rpexp  12909  phivalfi  12968  phiprmpw  12978  phimullem  12981  eulerthlemfi  12984  hashgcdeq  12996  phisum  12997  pcxnn0cl  13067  pcge0  13070  pcdvdsb  13077  pcneg  13082  pcdvdstr  13084  pcgcd1  13085  pc2dvds  13087  pcz  13089  pcprmpw2  13090  pcmpt  13100  4sqlemafi  13152  4sqleminfi  13154  4sqexercise1  13155  4sqexercise2  13156  4sqlemsdc  13157  4sqlem11  13158  4sqlem19  13166  ballotfilemofi  13197  ballotfilemcdc  13201  ballotfilemfc0  13210  ballotfilemfcc  13211  ballotfilemiex  13222  ballotfilemscl  13225  ballotfilemsle  13226  ennnfonelemim  13293  unbendc  13323  strsetsid  13363  bassetsnn  13387  mulgval  13902  mulgfng  13904  subgmulg  13968  znf1o  14958  psr1clfi  15002  ply1term  15767  dvply1  15789  perfectlem2  16028  lgsval  16037  lgsfvalg  16038  lgsfcl2  16039  lgscllem  16040  lgsval2lem  16043  lgsneg1  16058  lgsdir2  16066  lgsdirprm  16067  lgsdir  16068  lgsne0  16071  lgsprme0  16075  lgsdirnn0  16080  lgsdinn0  16081  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  lgsquad3  16117  2lgs  16137  2lgsoddprm  16146  2sqlem9  16157  umgrclwwlkge2  16557  nninffeq  16968  nconstwlpolem  17020