Theorem zdceq 9670

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9637	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9598	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8374	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2500	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 719	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2425	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 720	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9598	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8374	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1341	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4114   RRcr 8142   < clt 8324   ZZcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595

This theorem is referenced by:  zfidc  9673  nn0n0n1ge2b  9675  nn0lt2  9677  prime  9695  elnn1uz2  9957  iseqf1olemqcl  10885  iseqf1olemnab  10887  iseqf1olemab  10888  seq3f1olemstep  10900  exp3val  10927  hashfzp1  11214  hashfibclem  11231  ccat1st1st  11354  swrdccatin1  11442  fprod1p  12310  dvdsdc  12509  zdvdsdc  12523  fsumdvds  12553  dvdsabseq  12558  alzdvds  12565  fzo0dvdseq  12568  gcdmndc  12676  gcdsupex  12678  gcdsupcl  12679  gcd0id  12700  gcdaddm  12705  dfgcd2  12735  gcdmultiplez  12742  dvdssq  12752  nn0seqcvgd  12763  algcvgblem  12771  eucalgval2  12775  lcmmndc  12784  lcmdvds  12801  lcmid  12802  mulgcddvds  12816  cncongr2  12826  isprm3  12840  isprm4  12841  prm2orodd  12848  rpexp  12875  phivalfi  12934  phiprmpw  12944  phimullem  12947  eulerthlemfi  12950  hashgcdeq  12962  phisum  12963  pcxnn0cl  13033  pcge0  13036  pcdvdsb  13043  pcneg  13048  pcdvdstr  13050  pcgcd1  13051  pc2dvds  13053  pcz  13055  pcprmpw2  13056  pcmpt  13066  4sqlemafi  13118  4sqleminfi  13120  4sqexercise1  13121  4sqexercise2  13122  4sqlemsdc  13123  4sqlem11  13124  4sqlem19  13132  ballotfilemofi  13163  ballotfilemcdc  13167  ballotfilemfc0  13176  ballotfilemfcc  13177  ballotfilemiex  13188  ballotfilemscl  13191  ballotfilemsle  13192  ennnfonelemim  13259  unbendc  13289  strsetsid  13329  bassetsnn  13353  mulgval  13875  mulgfng  13877  subgmulg  13941  znf1o  14925  psr1clfi  14969  ply1term  15734  dvply1  15756  perfectlem2  15994  lgsval  16003  lgsfvalg  16004  lgsfcl2  16005  lgscllem  16006  lgsval2lem  16009  lgsneg1  16024  lgsdir2  16032  lgsdirprm  16033  lgsdir  16034  lgsne0  16037  lgsprme0  16041  lgsdirnn0  16046  lgsdinn0  16047  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  lgsquad3  16083  2lgs  16103  2lgsoddprm  16112  2sqlem9  16123  umgrclwwlkge2  16523  nninffeq  16924  nconstwlpolem  16977