Theorem zdceq 9450

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9417	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9378	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8159	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2462	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 713	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2387	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 714	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9378	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8159	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1317	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   class class class wbr 4045   RRcr 7926   < clt 8109   ZZcz 9374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9454  nn0lt2  9456  prime  9474  elnn1uz2  9730  iseqf1olemqcl  10646  iseqf1olemnab  10648  iseqf1olemab  10649  seq3f1olemstep  10661  exp3val  10688  hashfzp1  10971  ccat1st1st  11096  fprod1p  11943  dvdsdc  12142  zdvdsdc  12156  fsumdvds  12186  dvdsabseq  12191  alzdvds  12198  fzo0dvdseq  12201  gcdmndc  12309  gcdsupex  12311  gcdsupcl  12312  gcd0id  12333  gcdaddm  12338  dfgcd2  12368  gcdmultiplez  12375  dvdssq  12385  nn0seqcvgd  12396  algcvgblem  12404  eucalgval2  12408  lcmmndc  12417  lcmdvds  12434  lcmid  12435  mulgcddvds  12449  cncongr2  12459  isprm3  12473  isprm4  12474  prm2orodd  12481  rpexp  12508  phivalfi  12567  phiprmpw  12577  phimullem  12580  eulerthlemfi  12583  hashgcdeq  12595  phisum  12596  pcxnn0cl  12666  pcge0  12669  pcdvdsb  12676  pcneg  12681  pcdvdstr  12683  pcgcd1  12684  pc2dvds  12686  pcz  12688  pcprmpw2  12689  pcmpt  12699  4sqlemafi  12751  4sqleminfi  12753  4sqexercise1  12754  4sqexercise2  12755  4sqlemsdc  12756  4sqlem11  12757  4sqlem19  12765  ennnfonelemim  12828  unbendc  12858  strsetsid  12898  mulgval  13491  mulgfng  13493  subgmulg  13557  znf1o  14446  psr1clfi  14483  ply1term  15248  dvply1  15270  perfectlem2  15505  lgsval  15514  lgsfvalg  15515  lgsfcl2  15516  lgscllem  15517  lgsval2lem  15520  lgsneg1  15535  lgsdir2  15543  lgsdirprm  15544  lgsdir  15545  lgsne0  15548  lgsprme0  15552  lgsdirnn0  15557  lgsdinn0  15558  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem2  15588  lgsquad3  15594  2lgs  15614  2lgsoddprm  15623  2sqlem9  15634  nninffeq  15994  nconstwlpolem  16041