Theorem zdceq 9287

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9255	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9216	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8004	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2426	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 706	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2351	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 114	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 281	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 707	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 133	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9216	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8004	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 114	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1299	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   \/ w3o 972   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   class class class wbr 3989   RRcr 7773   < clt 7954   ZZcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9291  nn0lt2  9293  prime  9311  elnn1uz2  9566  iseqf1olemqcl  10442  iseqf1olemnab  10444  iseqf1olemab  10445  seq3f1olemstep  10457  exp3val  10478  hashfzp1  10759  fprod1p  11562  dvdsdc  11760  zdvdsdc  11774  dvdsabseq  11807  alzdvds  11814  fzo0dvdseq  11817  gcdmndc  11899  gcdsupex  11912  gcdsupcl  11913  gcd0id  11934  gcdaddm  11939  dfgcd2  11969  gcdmultiplez  11976  dvdssq  11986  nn0seqcvgd  11995  algcvgblem  12003  eucalgval2  12007  lcmmndc  12016  lcmdvds  12033  lcmid  12034  mulgcddvds  12048  cncongr2  12058  isprm3  12072  isprm4  12073  prm2orodd  12080  rpexp  12107  phivalfi  12166  phiprmpw  12176  phimullem  12179  eulerthlemfi  12182  hashgcdeq  12193  phisum  12194  pcxnn0cl  12264  pcge0  12266  pcdvdsb  12273  pcneg  12278  pcdvdstr  12280  pcgcd1  12281  pc2dvds  12283  pcz  12285  pcprmpw2  12286  pcmpt  12295  ennnfonelemim  12379  unbendc  12409  strsetsid  12449  lgsval  13699  lgsfvalg  13700  lgsfcl2  13701  lgscllem  13702  lgsval2lem  13705  lgsneg1  13720  lgsdir2  13728  lgsdirprm  13729  lgsdir  13730  lgsne0  13733  lgsprme0  13737  lgsdirnn0  13742  lgsdinn0  13743  2sqlem9  13754  nninffeq  14053  nconstwlpolem  14096