Theorem zdceq 9533

Description: Equality of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zdceq	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem zdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ztri3or 9500	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		zre 9461	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		ltne 8242	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2486	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 716	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2411	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 717	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		zre 9461	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
16		ltne 8242	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1338	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   class class class wbr 4083   RRcr 8009   < clt 8192   ZZcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458

This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2b  9537  nn0lt2  9539  prime  9557  elnn1uz2  9814  iseqf1olemqcl  10733  iseqf1olemnab  10735  iseqf1olemab  10736  seq3f1olemstep  10748  exp3val  10775  hashfzp1  11059  ccat1st1st  11188  swrdccatin1  11273  fprod1p  12126  dvdsdc  12325  zdvdsdc  12339  fsumdvds  12369  dvdsabseq  12374  alzdvds  12381  fzo0dvdseq  12384  gcdmndc  12492  gcdsupex  12494  gcdsupcl  12495  gcd0id  12516  gcdaddm  12521  dfgcd2  12551  gcdmultiplez  12558  dvdssq  12568  nn0seqcvgd  12579  algcvgblem  12587  eucalgval2  12591  lcmmndc  12600  lcmdvds  12617  lcmid  12618  mulgcddvds  12632  cncongr2  12642  isprm3  12656  isprm4  12657  prm2orodd  12664  rpexp  12691  phivalfi  12750  phiprmpw  12760  phimullem  12763  eulerthlemfi  12766  hashgcdeq  12778  phisum  12779  pcxnn0cl  12849  pcge0  12852  pcdvdsb  12859  pcneg  12864  pcdvdstr  12866  pcgcd1  12867  pc2dvds  12869  pcz  12871  pcprmpw2  12872  pcmpt  12882  4sqlemafi  12934  4sqleminfi  12936  4sqexercise1  12937  4sqexercise2  12938  4sqlemsdc  12939  4sqlem11  12940  4sqlem19  12948  ennnfonelemim  13011  unbendc  13041  strsetsid  13081  bassetsnn  13105  mulgval  13675  mulgfng  13677  subgmulg  13741  znf1o  14631  psr1clfi  14668  ply1term  15433  dvply1  15455  perfectlem2  15690  lgsval  15699  lgsfvalg  15700  lgsfcl2  15701  lgscllem  15702  lgsval2lem  15705  lgsneg1  15720  lgsdir2  15728  lgsdirprm  15729  lgsdir  15730  lgsne0  15733  lgsprme0  15737  lgsdirnn0  15742  lgsdinn0  15743  lgsquadlem1  15772  lgsquadlem2  15773  lgsquad3  15779  2lgs  15799  2lgsoddprm  15808  2sqlem9  15819  umgrclwwlkge2  16145  nninffeq  16474  nconstwlpolem  16521