ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qdceq Unicode version

Theorem qdceq 10017
Description: Equality of rationals is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qdceq  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  -> DECID  A  =  B )

Proof of Theorem qdceq
StepHypRef Expression
1 qtri3or 10013 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B  \/  B  <  A ) )
2 qre 9410 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
3 ltne 7842 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
43necomd 2392 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  A  =/=  B )
5 olc 700 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  B  ->  ( A  =  B  \/  A  =/=  B ) )
6 dcne 2317 . . . . . . . 8  |-  (DECID  A  =  B  <->  ( A  =  B  \/  A  =/= 
B ) )
75, 6sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  B  -> DECID  A  =  B
)
84, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  -> DECID  A  =  B )
98ex 114 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  B  -> DECID  A  =  B
) )
109adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  -> DECID  A  =  B ) )
112, 10sylan 281 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  -> DECID  A  =  B ) )
12 orc 701 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( A  =  B  \/  A  =/=  B ) )
1312, 6sylibr 133 . . . 4  |-  ( A  =  B  -> DECID  A  =  B
)
1413a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  =  B  -> DECID 
A  =  B ) )
15 qre 9410 . . . . 5  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
16 ltne 7842 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  ->  A  =/=  B )
1716, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  -> DECID  A  =  B )
1817ex 114 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  <  A  -> DECID  A  =  B
) )
1915, 18syl 14 . . . 4  |-  ( B  e.  QQ  ->  ( B  <  A  -> DECID  A  =  B
) )
2019adantl 275 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( B  <  A  -> DECID  A  =  B ) )
2111, 14, 203jaod 1282 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  < 
B  \/  A  =  B  \/  B  < 
A )  -> DECID  A  =  B
) )
221, 21mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  -> DECID  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697  DECID wdc 819    \/ w3o 961    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2306   class class class wbr 3924   RRcr 7612    < clt 7793   QQcq 9404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-q 9405  df-rp 9435
This theorem is referenced by:  flqeqceilz  10084  qnnen  11933
  Copyright terms: Public domain W3C validator