Theorem qdceq 10567

Description: Equality of rationals is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qdceq	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem qdceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtri3or 10563	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		qre 9920	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
3		ltne 8323	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	3	necomd 2489	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> A =/= B )
5		olc 719	. . . . . . . 8 |- ( A =/= B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
6		dcne 2414	. . . . . . . 8 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ A =/= B ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> DECID A = B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> DECID A = B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A < B -> DECID A = B ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. QQ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
11	2, 10	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A < B -> DECID A = B ) )
12		orc 720	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A =/= B ) )
13	12, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( A = B -> DECID A = B )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A = B -> DECID A = B ) )
15		qre 9920	. . . . 5 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
16		ltne 8323	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> A =/= B )
17	16, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> DECID A = B )
18	17	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B < A -> DECID A = B ) )
19	15, 18	syl 14	. . . 4 |- ( B e. QQ -> ( B < A -> DECID A = B ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( B < A -> DECID A = B ) )
21	11, 14, 20	3jaod 1341	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A = B ) )
22	1, 21	mpd 13	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   class class class wbr 4093   RRcr 8091   < clt 8273   QQcq 9914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-q 9915  df-rp 9950

This theorem is referenced by:  flqeqceilz  10643  bitsinv1lem  12602  pcxcl  12964  pcxqcl  12965  pcaddlem  12992  pcadd  12993  qexpz  13005  qnnen  13132  apdifflemr  16779