ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qdceq Unicode version

Theorem qdceq 10233
Description: Equality of rationals is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qdceq  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  -> DECID  A  =  B )

Proof of Theorem qdceq
StepHypRef Expression
1 qtri3or 10229 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B  \/  B  <  A ) )
2 qre 9614 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
3 ltne 8032 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
43necomd 2433 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  A  =/=  B )
5 olc 711 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  B  ->  ( A  =  B  \/  A  =/=  B ) )
6 dcne 2358 . . . . . . . 8  |-  (DECID  A  =  B  <->  ( A  =  B  \/  A  =/= 
B ) )
75, 6sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  B  -> DECID  A  =  B
)
84, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  -> DECID  A  =  B )
98ex 115 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  B  -> DECID  A  =  B
) )
109adantr 276 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  -> DECID  A  =  B ) )
112, 10sylan 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  -> DECID  A  =  B ) )
12 orc 712 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( A  =  B  \/  A  =/=  B ) )
1312, 6sylibr 134 . . . 4  |-  ( A  =  B  -> DECID  A  =  B
)
1413a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  =  B  -> DECID 
A  =  B ) )
15 qre 9614 . . . . 5  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
16 ltne 8032 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  ->  A  =/=  B )
1716, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  -> DECID  A  =  B )
1817ex 115 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  <  A  -> DECID  A  =  B
) )
1915, 18syl 14 . . . 4  |-  ( B  e.  QQ  ->  ( B  <  A  -> DECID  A  =  B
) )
2019adantl 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( B  <  A  -> DECID  A  =  B ) )
2111, 14, 203jaod 1304 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  < 
B  \/  A  =  B  \/  B  < 
A )  -> DECID  A  =  B
) )
221, 21mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  -> DECID  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708  DECID wdc 834    \/ w3o 977    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   class class class wbr 4000   RRcr 7801    < clt 7982   QQcq 9608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-q 9609  df-rp 9641
This theorem is referenced by:  flqeqceilz  10304  pcxcl  12294  pcaddlem  12321  pcadd  12322  qexpz  12333  qnnen  12415  apdifflemr  14451
  Copyright terms: Public domain W3C validator