Theorem nngt1ne1 8762

Description: A positive integer is greater than one iff it is not equal to one. (Contributed by NM, 7-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nngt1ne1	|- ( A e. NN -> ( 1 < A <-> A =/= 1 ) )

Proof of Theorem nngt1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7772	. . 3 |- 1 e. RR
2		ltne 7856	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ 1 < A ) -> A =/= 1 )
3	1, 2	mpan 420	. 2 |- ( 1 < A -> A =/= 1 )
4		df-ne 2309	. . 3 |- ( A =/= 1 <-> -. A = 1 )
5		nn1gt1 8761	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( A = 1 \/ 1 < A ) )
6	5	ord 713	. . 3 |- ( A e. NN -> ( -. A = 1 -> 1 < A ) )
7	4, 6	syl5bi 151	. 2 |- ( A e. NN -> ( A =/= 1 -> 1 < A ) )
8	3, 7	impbid2 142	1 |- ( A e. NN -> ( 1 < A <-> A =/= 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   class class class wbr 3929   RRcr 7626   1c1 7628   < clt 7807   NNcn 8727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-inn 8728

This theorem is referenced by:  prime  9157  eluz2b3  9405  ncoprmgcdne1b  11777  ncoprmgcdgt1b  11778