Theorem nngt1ne1 9145

Description: A positive integer is greater than one iff it is not equal to one. (Contributed by NM, 7-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nngt1ne1	|- ( A e. NN -> ( 1 < A <-> A =/= 1 ) )

Proof of Theorem nngt1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8145	. . 3 |- 1 e. RR
2		ltne 8231	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ 1 < A ) -> A =/= 1 )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( 1 < A -> A =/= 1 )
4		df-ne 2401	. . 3 |- ( A =/= 1 <-> -. A = 1 )
5		nn1gt1 9144	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( A = 1 \/ 1 < A ) )
6	5	ord 729	. . 3 |- ( A e. NN -> ( -. A = 1 -> 1 < A ) )
7	4, 6	biimtrid 152	. 2 |- ( A e. NN -> ( A =/= 1 -> 1 < A ) )
8	3, 7	impbid2 143	1 |- ( A e. NN -> ( 1 < A <-> A =/= 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   class class class wbr 4083   RRcr 7998   1c1 8000   < clt 8181   NNcn 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-inn 9111

This theorem is referenced by:  prime  9546  eluz2b3  9799  ncoprmgcdne1b  12611  ncoprmgcdgt1b  12612