ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phibndlem Unicode version

Theorem phibndlem 11466
Description: Lemma for phibnd 11467. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibndlem  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem phibndlem
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
21a1d 22 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
3 eluzelz 9026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
4 gcdid 11251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  N )  =  ( abs `  N
) )
53, 4syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =  ( abs `  N ) )
6 eluz2nn 9055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
7 nnre 8427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
8 nnnn0 8678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
98nn0ge0d 8727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
107, 9absidd 10596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  N )  =  N )
116, 10syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  N )  =  N )
125, 11eqtrd 2120 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =  N )
13 1re 7485 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
14 eluz2gt1 9087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  N )
15 ltne 7568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  <  N )  ->  N  =/=  1 )
1613, 14, 15sylancr 405 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  =/=  1 )
1712, 16eqnetrd 2279 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =/=  1
)
18 oveq1 5659 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
x  gcd  N )  =  ( N  gcd  N ) )
1918neeq1d 2273 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  gcd  N
)  =/=  1  <->  ( N  gcd  N )  =/=  1 ) )
2017, 19syl5ibrcom 155 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( x  =  N  ->  ( x  gcd  N )  =/=  1 ) )
2120imp 122 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  =  N )  ->  (
x  gcd  N )  =/=  1 )
2221adantlr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  =  N )  ->  ( x  gcd  N )  =/=  1
)
2322neneqd 2276 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  =  N )  ->  -.  (
x  gcd  N )  =  1 )
2423pm2.21d 584 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  =  N )  ->  ( (
x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
25 fzm1 9510 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) ) )
26 nnuz 9052 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2725, 26eleq2s 2182 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  <->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) ) )
2827biimpa 290 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) )
296, 28sylan 277 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  \/  x  =  N ) )
302, 24, 29mpjaodan 747 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( x  gcd  N
)  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
3130ralrimiva 2446 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
32 rabss 3098 . 2  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  <->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
3331, 32sylibr 132 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   A.wral 2359   {crab 2363    C_ wss 2999   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   RRcr 7347   1c1 7349    < clt 7520    - cmin 7651   NNcn 8420   2c2 8471   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017   ...cfz 9422   abscabs 10426    gcd cgcd 11212
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-sup 6677  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-fl 9673  df-mod 9726  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-dvds 11071  df-gcd 11213
This theorem is referenced by:  phibnd  11467  dfphi2  11470
  Copyright terms: Public domain W3C validator