ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phibndlem Unicode version

Theorem phibndlem 12095
Description: Lemma for phibnd 12096. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibndlem  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem phibndlem
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
21a1d 22 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
3 eluzelz 9449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
4 gcdid 11874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  N )  =  ( abs `  N
) )
53, 4syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =  ( abs `  N ) )
6 eluz2nn 9478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
7 nnre 8841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
8 nnnn0 9098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
98nn0ge0d 9147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
107, 9absidd 11071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  N )  =  N )
116, 10syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  N )  =  N )
125, 11eqtrd 2190 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =  N )
13 1re 7878 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
14 eluz2gt1 9514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  N )
15 ltne 7963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  <  N )  ->  N  =/=  1 )
1613, 14, 15sylancr 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  =/=  1 )
1712, 16eqnetrd 2351 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  gcd  N )  =/=  1
)
18 oveq1 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
x  gcd  N )  =  ( N  gcd  N ) )
1918neeq1d 2345 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  gcd  N
)  =/=  1  <->  ( N  gcd  N )  =/=  1 ) )
2017, 19syl5ibrcom 156 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( x  =  N  ->  ( x  gcd  N )  =/=  1 ) )
2120imp 123 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  =  N )  ->  (
x  gcd  N )  =/=  1 )
2221adantlr 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  =  N )  ->  ( x  gcd  N )  =/=  1
)
2322neneqd 2348 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  =  N )  ->  -.  (
x  gcd  N )  =  1 )
2423pm2.21d 609 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  /\  x  =  N )  ->  ( (
x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
25 fzm1 10003 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) ) )
26 nnuz 9475 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2725, 26eleq2s 2252 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  <->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) ) )
2827biimpa 294 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  \/  x  =  N ) )
296, 28sylan 281 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  \/  x  =  N ) )
302, 24, 29mpjaodan 788 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( x  gcd  N
)  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
3130ralrimiva 2530 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
32 rabss 3205 . 2  |-  ( { x  e.  ( 1 ... N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } 
C_  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  <->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( x  gcd  N )  =  1  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
3331, 32sylibr 133 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  { x  e.  ( 1 ... N
)  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  C_  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    = wceq 1335    e. wcel 2128    =/= wne 2327   A.wral 2435   {crab 2439    C_ wss 3102   class class class wbr 3966   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   RRcr 7732   1c1 7734    < clt 7913    - cmin 8047   NNcn 8834   2c2 8885   ZZcz 9168   ZZ>=cuz 9440   ...cfz 9913   abscabs 10901    gcd cgcd 11833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-frec 6339  df-sup 6929  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-fl 10173  df-mod 10226  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-dvds 11688  df-gcd 11834
This theorem is referenced by:  phibnd  12096  dfphi2  12099
  Copyright terms: Public domain W3C validator