Theorem phibndlem 12787

Description: Lemma for phibnd 12788. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phibndlem	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem phibndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
2	1	a1d 22	. . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
3		eluzelz 9764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
4		gcdid 12556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N gcd N ) = ( abs ` N ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N gcd N ) = ( abs ` N ) )
6		eluz2nn 9799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
7		nnre 9149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. RR )
8		nnnn0 9408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
9	8	nn0ge0d 9457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
10	7, 9	absidd 11727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( abs ` N ) = N )
11	6, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( abs ` N ) = N )
12	5, 11	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N gcd N ) = N )
13		1re 8177	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
14		eluz2gt1 9835	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < N )
15		ltne 8263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ 1 < N ) -> N =/= 1 )
16	13, 14, 15	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N =/= 1 )
17	12, 16	eqnetrd 2426	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N gcd N ) =/= 1 )
18		oveq1 6024	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( x gcd N ) = ( N gcd N ) )
19	18	neeq1d 2420	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( x gcd N ) =/= 1 <-> ( N gcd N ) =/= 1 ) )
20	17, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( x = N -> ( x gcd N ) =/= 1 ) )
21	20	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x = N ) -> ( x gcd N ) =/= 1 )
22	21	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x = N ) -> ( x gcd N ) =/= 1 )
23	22	neneqd 2423	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x = N ) -> -. ( x gcd N ) = 1 )
24	23	pm2.21d 624	. . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x = N ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
25		fzm1 10334	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( x e. ( 1 ... N ) <-> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) ) )
26		nnuz 9791	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27	25, 26	eleq2s 2326	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( x e. ( 1 ... N ) <-> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) ) )
28	27	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) )
29	6, 28	sylan 283	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) )
30	2, 24, 29	mpjaodan 805	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
31	30	ralrimiva 2605	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A. x e. ( 1 ... N ) ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
32		rabss 3304	. 2 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) <-> A. x e. ( 1 ... N ) ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
33	31, 32	sylibr 134	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   {crab 2514   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   RRcr 8030   1c1 8032   < clt 8213   - cmin 8349   NNcn 9142   2c2 9193   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242   abscabs 11557   gcd cgcd 12523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-sup 7182  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348  df-gcd 12524

This theorem is referenced by:  phibnd  12788  dfphi2  12791