Theorem phibndlem 12095

Description: Lemma for phibnd 12096. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phibndlem	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem phibndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
2	1	a1d 22	. . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
3		eluzelz 9449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
4		gcdid 11874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N gcd N ) = ( abs ` N ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N gcd N ) = ( abs ` N ) )
6		eluz2nn 9478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
7		nnre 8841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. RR )
8		nnnn0 9098	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
9	8	nn0ge0d 9147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
10	7, 9	absidd 11071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( abs ` N ) = N )
11	6, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( abs ` N ) = N )
12	5, 11	eqtrd 2190	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N gcd N ) = N )
13		1re 7878	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
14		eluz2gt1 9514	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < N )
15		ltne 7963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ 1 < N ) -> N =/= 1 )
16	13, 14, 15	sylancr 411	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N =/= 1 )
17	12, 16	eqnetrd 2351	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N gcd N ) =/= 1 )
18		oveq1 5832	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( x gcd N ) = ( N gcd N ) )
19	18	neeq1d 2345	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( x gcd N ) =/= 1 <-> ( N gcd N ) =/= 1 ) )
20	17, 19	syl5ibrcom 156	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( x = N -> ( x gcd N ) =/= 1 ) )
21	20	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x = N ) -> ( x gcd N ) =/= 1 )
22	21	adantlr 469	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x = N ) -> ( x gcd N ) =/= 1 )
23	22	neneqd 2348	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x = N ) -> -. ( x gcd N ) = 1 )
24	23	pm2.21d 609	. . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x = N ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
25		fzm1 10003	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( x e. ( 1 ... N ) <-> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) ) )
26		nnuz 9475	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27	25, 26	eleq2s 2252	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( x e. ( 1 ... N ) <-> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) ) )
28	27	biimpa 294	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) )
29	6, 28	sylan 281	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) )
30	2, 24, 29	mpjaodan 788	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
31	30	ralrimiva 2530	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A. x e. ( 1 ... N ) ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
32		rabss 3205	. 2 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) <-> A. x e. ( 1 ... N ) ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
33	31, 32	sylibr 133	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   A.wral 2435   {crab 2439   C_ wss 3102   class class class wbr 3966   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   RRcr 7732   1c1 7734   < clt 7913   - cmin 8047   NNcn 8834   2c2 8885   ZZcz 9168   ZZ>=cuz 9440   ...cfz 9913   abscabs 10901   gcd cgcd 11833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-frec 6339  df-sup 6929  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-fl 10173  df-mod 10226  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-dvds 11688  df-gcd 11834

This theorem is referenced by:  phibnd  12096  dfphi2  12099