Theorem phibndlem 12653

Description: Lemma for phibnd 12654. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phibndlem	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem phibndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
2	1	a1d 22	. . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
3		eluzelz 9692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
4		gcdid 12422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N gcd N ) = ( abs ` N ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N gcd N ) = ( abs ` N ) )
6		eluz2nn 9722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
7		nnre 9078	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. RR )
8		nnnn0 9337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
9	8	nn0ge0d 9386	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
10	7, 9	absidd 11593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( abs ` N ) = N )
11	6, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( abs ` N ) = N )
12	5, 11	eqtrd 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N gcd N ) = N )
13		1re 8106	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
14		eluz2gt1 9758	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < N )
15		ltne 8192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ 1 < N ) -> N =/= 1 )
16	13, 14, 15	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N =/= 1 )
17	12, 16	eqnetrd 2402	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N gcd N ) =/= 1 )
18		oveq1 5974	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( x gcd N ) = ( N gcd N ) )
19	18	neeq1d 2396	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( x gcd N ) =/= 1 <-> ( N gcd N ) =/= 1 ) )
20	17, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( x = N -> ( x gcd N ) =/= 1 ) )
21	20	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x = N ) -> ( x gcd N ) =/= 1 )
22	21	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x = N ) -> ( x gcd N ) =/= 1 )
23	22	neneqd 2399	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x = N ) -> -. ( x gcd N ) = 1 )
24	23	pm2.21d 620	. . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x = N ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
25		fzm1 10257	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( x e. ( 1 ... N ) <-> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) ) )
26		nnuz 9719	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27	25, 26	eleq2s 2302	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( x e. ( 1 ... N ) <-> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) ) )
28	27	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) )
29	6, 28	sylan 283	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) )
30	2, 24, 29	mpjaodan 800	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
31	30	ralrimiva 2581	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A. x e. ( 1 ... N ) ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
32		rabss 3278	. 2 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) <-> A. x e. ( 1 ... N ) ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
33	31, 32	sylibr 134	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   A.wral 2486   {crab 2490   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   RRcr 7959   1c1 7961   < clt 8142   - cmin 8278   NNcn 9071   2c2 9122   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165   abscabs 11423   gcd cgcd 12389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-sup 7112  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-fl 10450  df-mod 10505  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-dvds 12214  df-gcd 12390

This theorem is referenced by:  phibnd  12654  dfphi2  12657