ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsubadd2 Unicode version

Theorem ltsubadd2 8303
Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
ltsubadd2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <  C  <->  A  <  ( B  +  C ) ) )

Proof of Theorem ltsubadd2
StepHypRef Expression
1 ltsubadd 8302 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <  C  <->  A  <  ( C  +  B ) ) )
2 simp2 983 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
32recnd 7901 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
4 simp3 984 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
54recnd 7901 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  CC )
63, 5addcomd 8021 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  +  C )  =  ( C  +  B ) )
76breq2d 3977 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  ( B  +  C )  <->  A  <  ( C  +  B ) ) )
81, 7bitr4d 190 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <  C  <->  A  <  ( B  +  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 963    e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   RRcr 7726    + caddc 7730    < clt 7907    - cmin 8041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-addcom 7827  ax-addass 7829  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-cnre 7838  ax-pre-ltadd 7843
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-ltxr 7912  df-sub 8043  df-neg 8044
This theorem is referenced by:  ltsub23  8312  ltsubadd2i  8377  ltsubadd2d  8413  absdiflt  10987  caubnd2  11012
  Copyright terms: Public domain W3C validator