Theorem ltsubadd2 8303

Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltsubadd2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - B ) < C <-> A < ( B + C ) ) )

Proof of Theorem ltsubadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubadd 8302	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - B ) < C <-> A < ( C + B ) ) )
2		simp2 983	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
3	2	recnd 7901	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. CC )
4		simp3 984	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
5	4	recnd 7901	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. CC )
6	3, 5	addcomd 8021	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B + C ) = ( C + B ) )
7	6	breq2d 3977	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < ( B + C ) <-> A < ( C + B ) ) )
8	1, 7	bitr4d 190	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - B ) < C <-> A < ( B + C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   RRcr 7726   + caddc 7730   < clt 7907   - cmin 8041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-addcom 7827  ax-addass 7829  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-cnre 7838  ax-pre-ltadd 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-ltxr 7912  df-sub 8043  df-neg 8044

This theorem is referenced by:  ltsub23  8312  ltsubadd2i  8377  ltsubadd2d  8413  absdiflt  10987  caubnd2  11012