ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absdiflt Unicode version

Theorem absdiflt 11043
Description: The absolute value of a difference and 'less than' relation. (Contributed by Paul Chapman, 18-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
absdiflt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( A  -  B )
)  <  C  <->  ( ( B  -  C )  <  A  /\  A  < 
( B  +  C
) ) ) )

Proof of Theorem absdiflt
StepHypRef Expression
1 resubcl 8170 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
2 abslt 11039 . . 3  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( A  -  B )
)  <  C  <->  ( -u C  <  ( A  -  B
)  /\  ( A  -  B )  <  C
) ) )
31, 2stoic3 1424 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( A  -  B )
)  <  C  <->  ( -u C  <  ( A  -  B
)  /\  ( A  -  B )  <  C
) ) )
4 renegcl 8167 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR  ->  -u C  e.  RR )
5 ltaddsub2 8343 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  -u C  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  +  -u C )  <  A  <->  -u C  <  ( A  -  B ) ) )
64, 5syl3an2 1267 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( B  +  -u C )  <  A  <->  -u C  <  ( A  -  B ) ) )
763comr 1206 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( B  +  -u C )  <  A  <->  -u C  <  ( A  -  B ) ) )
8 recn 7894 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
9 recn 7894 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  CC )
10 negsub 8154 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  +  -u C )  =  ( B  -  C ) )
118, 9, 10syl2an 287 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  +  -u C )  =  ( B  -  C ) )
12113adant1 1010 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  +  -u C )  =  ( B  -  C ) )
1312breq1d 3997 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( B  +  -u C )  <  A  <->  ( B  -  C )  <  A ) )
147, 13bitr3d 189 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( -u C  <  ( A  -  B )  <->  ( B  -  C )  <  A
) )
15 ltsubadd2 8339 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <  C  <->  A  <  ( B  +  C ) ) )
1614, 15anbi12d 470 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( -u C  <  ( A  -  B )  /\  ( A  -  B
)  <  C )  <->  ( ( B  -  C
)  <  A  /\  A  <  ( B  +  C ) ) ) )
173, 16bitrd 187 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( A  -  B )
)  <  C  <->  ( ( B  -  C )  <  A  /\  A  < 
( B  +  C
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759   RRcr 7760    + caddc 7764    < clt 7941    - cmin 8077   -ucneg 8078   abscabs 10948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-rp 9598  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950
This theorem is referenced by:  absdifltd  11129  qdenre  11153  bl2ioo  13257
  Copyright terms: Public domain W3C validator