Theorem lesubadd 8009

Description: 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lesubadd	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ C <-> A <_ ( C + B ) ) )

Proof of Theorem lesubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 946	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
2		simp2 947	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
3	1, 2	resubcld 7956	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4		simp3 948	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
5		leadd1 8005	. . 3 |- ( ( ( A - B ) e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ C <-> ( ( A - B ) + B ) <_ ( C + B ) ) )
6	3, 4, 2, 5	syl3anc 1181	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ C <-> ( ( A - B ) + B ) <_ ( C + B ) ) )
7	1	recnd 7613	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. CC )
8	2	recnd 7613	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. CC )
9	7, 8	npcand 7894	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )
10	9	breq1d 3877	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( ( A - B ) + B ) <_ ( C + B ) <-> A <_ ( C + B ) ) )
11	6, 10	bitrd 187	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ C <-> A <_ ( C + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 927   e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   RRcr 7446   + caddc 7450   <_ cle 7620   - cmin 7750

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753

This theorem is referenced by:  lesubadd2  8010  suble  8015  lesub1  8031  lesub2  8032  subge02  8053  lesubaddi  8081  lesubaddd  8116  fzen  9606  abs2dif  10670