Theorem lesubadd 8342

Description: 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lesubadd	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ C <-> A <_ ( C + B ) ) )

Proof of Theorem lesubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 992	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. RR )
2		simp2 993	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. RR )
3	1, 2	resubcld 8289	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A - B ) e. RR )
4		simp3 994	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> C e. RR )
5		leadd1 8338	. . 3 |- ( ( ( A - B ) e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ C <-> ( ( A - B ) + B ) <_ ( C + B ) ) )
6	3, 4, 2, 5	syl3anc 1233	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ C <-> ( ( A - B ) + B ) <_ ( C + B ) ) )
7	1	recnd 7937	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> A e. CC )
8	2	recnd 7937	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> B e. CC )
9	7, 8	npcand 8223	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )
10	9	breq1d 3997	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( ( A - B ) + B ) <_ ( C + B ) <-> A <_ ( C + B ) ) )
11	6, 10	bitrd 187	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ C <-> A <_ ( C + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   RRcr 7762   + caddc 7766   <_ cle 7944   - cmin 8079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-addass 7865  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874  ax-pre-ltadd 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082

This theorem is referenced by:  lesubadd2  8343  suble  8348  lesub1  8364  lesub2  8365  subge02  8386  lesubaddi  8414  lesubaddd  8450  fzen  9988  abs2dif  11059