Theorem caubnd2 11059

Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cau3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
caubnd2	|- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )

Distinct variable groups:   j, k, x, y, F   j, M, k, x   j, Z, k, x, y

Allowed substitution hint:   M( y)

Proof of Theorem caubnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 9593	. . 3 |- 1 e. RR+
2		breq2 3986	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
3	2	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) )
4	3	rexralbidv 2492	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) )
5	4	rspcv 2826	. . 3 |- ( 1 e. RR+ -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) )
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
7		eluzelz 9475	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
8		cau3.1	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
9	7, 8	eleq2s 2261	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
10		uzid 9480	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
12		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( F ` k ) e. CC )
13	12	ralimi 2529	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. CC )
14		fveq2 5486	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
15	14	eleq1d 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` j ) e. CC ) )
16	15	rspcva 2828	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` j ) e. CC )
17	11, 13, 16	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
18		abscl 10993	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` j ) e. CC -> ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR )
20		1re 7898	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
21		readdcl 7879	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) e. RR )
22	19, 20, 21	sylancl 410	. . . . . 6 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) e. RR )
23		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` k ) e. CC )
24		simplr 520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` j ) e. CC )
25		abs2dif 11048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
27		abscl 10993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` k ) e. CC -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
28	23, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
29	24, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR )
30	28, 29	resubcld 8279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) e. RR )
31	23, 24	subcld 8209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) e. CC )
32		abscl 10993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) e. CC -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR )
34		lelttr 7987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
35	20, 34	mp3an3 1316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
36	30, 33, 35	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
37	26, 36	mpand 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
38		ltsubadd2 8331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
39	20, 38	mp3an3 1316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
40	28, 29, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
41	37, 40	sylibd 148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
42	41	expimpd 361	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
43	42	ralimdv 2534	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
44	43	impancom 258	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( ( F ` j ) e. CC -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
45	17, 44	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) )
46		breq2 3986	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) < y <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
47	46	ralbidv 2466	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
48	47	rspcev 2830	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) e. RR /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) -> E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
49	22, 45, 48	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
50	49	ex 114	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) )
51	50	reximia 2561	. . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> E. j e. Z E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
52		rexcom 2630	. . 3 |- ( E. j e. Z E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y <-> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
53	51, 52	sylib 121	. 2 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
54	6, 53	syl 14	1 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   RR+crp 9589   abscabs 10939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941

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