Theorem caubnd2 10921

Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cau3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
caubnd2	|- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )

Distinct variable groups:   j, k, x, y, F   j, M, k, x   j, Z, k, x, y

Allowed substitution hint:   M( y)

Proof of Theorem caubnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 9474	. . 3 |- 1 e. RR+
2		breq2 3941	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
3	2	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) )
4	3	rexralbidv 2464	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) )
5	4	rspcv 2789	. . 3 |- ( 1 e. RR+ -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) )
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
7		eluzelz 9359	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
8		cau3.1	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
9	7, 8	eleq2s 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
10		uzid 9364	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
12		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( F ` k ) e. CC )
13	12	ralimi 2498	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. CC )
14		fveq2 5429	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
15	14	eleq1d 2209	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` j ) e. CC ) )
16	15	rspcva 2791	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` j ) e. CC )
17	11, 13, 16	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
18		abscl 10855	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` j ) e. CC -> ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR )
20		1re 7789	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
21		readdcl 7770	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) e. RR )
22	19, 20, 21	sylancl 410	. . . . . 6 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) e. RR )
23		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` k ) e. CC )
24		simplr 520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` j ) e. CC )
25		abs2dif 10910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
27		abscl 10855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` k ) e. CC -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
28	23, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
29	24, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR )
30	28, 29	resubcld 8167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) e. RR )
31	23, 24	subcld 8097	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) e. CC )
32		abscl 10855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) e. CC -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR )
34		lelttr 7876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
35	20, 34	mp3an3 1305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
36	30, 33, 35	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
37	26, 36	mpand 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
38		ltsubadd2 8219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
39	20, 38	mp3an3 1305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
40	28, 29, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
41	37, 40	sylibd 148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
42	41	expimpd 361	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
43	42	ralimdv 2503	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
44	43	impancom 258	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( ( F ` j ) e. CC -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
45	17, 44	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) )
46		breq2 3941	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) < y <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
47	46	ralbidv 2438	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
48	47	rspcev 2793	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) e. RR /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) -> E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
49	22, 45, 48	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
50	49	ex 114	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) )
51	50	reximia 2530	. . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> E. j e. Z E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
52		rexcom 2598	. . 3 |- ( E. j e. Z E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y <-> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
53	51, 52	sylib 121	. 2 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
54	6, 53	syl 14	1 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   <_ cle 7825   - cmin 7957   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   RR+crp 9470   abscabs 10801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803

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