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Theorem caubnd2 10857
Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
caubnd2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
)
Distinct variable groups:    j, k, x, y, F    j, M, k, x    j, Z, k, x, y
Allowed substitution hint:    M( y)

Proof of Theorem caubnd2
StepHypRef Expression
1 1rp 9413 . . 3  |-  1  e.  RR+
2 breq2 3903 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
) )
32anbi2d 459 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) ) )
43rexralbidv 2438 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) ) )
54rspcv 2759 . . 3  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 ) ) )
61, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 ) )
7 eluzelz 9303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
8 cau3.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
97, 8eleq2s 2212 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
10 uzid 9308 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
119, 10syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
12 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
1312ralimi 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC )
14 fveq2 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1514eleq1d 2186 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  j )  e.  CC ) )
1615rspcva 2761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  CC )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
1711, 13, 16syl2an 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
18 abscl 10791 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  j )  e.  CC  ->  ( abs `  ( F `  j ) )  e.  RR )
1917, 18syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  ( abs `  ( F `  j ) )  e.  RR )
20 1re 7733 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
21 readdcl 7714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  ( F `  j )
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR )
2219, 20, 21sylancl 409 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR )
23 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
24 simplr 504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
25 abs2dif 10846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
2623, 24, 25syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  <_  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
27 abscl 10791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
2823, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR )
2924, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  e.  RR )
3028, 29resubcld 8111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  e.  RR )
3123, 24subcld 8041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) )  e.  CC )
32 abscl 10791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  e.  RR )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  e.  RR )
34 lelttr 7820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3520, 34mp3an3 1289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3630, 33, 35syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3726, 36mpand 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <  1 ) )
38 ltsubadd2 8163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 j ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
3920, 38mp3an3 1289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 j ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4028, 29, 39syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 k ) )  -  ( abs `  ( F `  j )
) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 ) ) )
4137, 40sylibd 148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
4241expimpd 360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4342ralimdv 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 ) ) )
4443impancom 258 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4517, 44mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) )
46 breq2 3903 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 )  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  < 
y  <->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
4746ralbidv 2414 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4847rspcev 2763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
4922, 45, 48syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
5049ex 114 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
) )
5150reximia 2504 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  E. j  e.  Z  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
52 rexcom 2572 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y  <->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
5351, 52sylib 121 . 2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
546, 53syl 14 1  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   1c1 7589    + caddc 7591    < clt 7768    <_ cle 7769    - cmin 7901   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294   RR+crp 9409   abscabs 10737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739
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