Theorem caubnd2 11126

Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cau3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
caubnd2	|- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )

Distinct variable groups:   j, k, x, y, F   j, M, k, x   j, Z, k, x, y

Allowed substitution hint:   M( y)

Proof of Theorem caubnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 9657	. . 3 |- 1 e. RR+
2		breq2 4008	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
3	2	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) )
4	3	rexralbidv 2503	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) )
5	4	rspcv 2838	. . 3 |- ( 1 e. RR+ -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) )
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
7		eluzelz 9537	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
8		cau3.1	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
9	7, 8	eleq2s 2272	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
10		uzid 9542	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( j e. Z -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
12		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( F ` k ) e. CC )
13	12	ralimi 2540	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. CC )
14		fveq2 5516	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
15	14	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` j ) e. CC ) )
16	15	rspcva 2840	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` j ) e. CC )
17	11, 13, 16	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( F ` j ) e. CC )
18		abscl 11060	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` j ) e. CC -> ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR )
20		1re 7956	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
21		readdcl 7937	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) e. RR )
22	19, 20, 21	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) e. RR )
23		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` k ) e. CC )
24		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` j ) e. CC )
25		abs2dif 11115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
27		abscl 11060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` k ) e. CC -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
28	23, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
29	24, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR )
30	28, 29	resubcld 8338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) e. RR )
31	23, 24	subcld 8268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) e. CC )
32		abscl 11060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) e. CC -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR )
34		lelttr 8046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
35	20, 34	mp3an3 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
36	30, 33, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
37	26, 36	mpand 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 ) )
38		ltsubadd2 8390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
39	20, 38	mp3an3 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` j ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
40	28, 29, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) - ( abs ` ( F ` j ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
41	37, 40	sylibd 149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
42	41	expimpd 363	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
43	42	ralimdv 2545	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
44	43	impancom 260	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> ( ( F ` j ) e. CC -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
45	17, 44	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) )
46		breq2 4008	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) < y <-> ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
47	46	ralbidv 2477	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) )
48	47	rspcev 2842	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) e. RR /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < ( ( abs ` ( F ` j ) ) + 1 ) ) -> E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
49	22, 45, 48	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) ) -> E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
50	49	ex 115	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y ) )
51	50	reximia 2572	. . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> E. j e. Z E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
52		rexcom 2641	. . 3 |- ( E. j e. Z E. y e. RR A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y <-> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
53	51, 52	sylib 122	. 2 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < 1 ) -> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )
54	6, 53	syl 14	1 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. y e. RR E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( F ` k ) ) < y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4004   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   RRcr 7810   1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992   <_ cle 7993   - cmin 8128   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   RR+crp 9653   abscabs 11006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008

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