Theorem metrtri 15603

Description: Reverse triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
metrtri	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) )

Proof of Theorem metrtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
2		simpr2 1035	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
3		simpr3 1036	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
4		simpr1 1034	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X )
5		mettri 15599	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( B e. X /\ C e. X /\ A e. X ) ) -> ( B D C ) <_ ( ( B D A ) + ( A D C ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1280	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) <_ ( ( B D A ) + ( A D C ) ) )
7		metcl 15579	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR )
8	1, 4, 2, 7	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) e. RR )
9	8	recnd 8360	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) e. CC )
10		metcl 15579	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. RR )
11	1, 4, 3, 10	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) e. RR )
12	11	recnd 8360	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) e. CC )
13		metsym 15597	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ B e. X /\ A e. X ) -> ( B D A ) = ( A D B ) )
14	1, 2, 4, 13	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D A ) = ( A D B ) )
15	14	oveq1d 6103	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D A ) + ( A D C ) ) = ( ( A D B ) + ( A D C ) ) )
16	9, 12, 15	comraddd 8490	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D A ) + ( A D C ) ) = ( ( A D C ) + ( A D B ) ) )
17	6, 16	breqtrd 4157	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) <_ ( ( A D C ) + ( A D B ) ) )
18		metcl 15579	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( B D C ) e. RR )
19	1, 2, 3, 18	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) e. RR )
20	19, 8, 11	lesubaddd 8877	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( B D C ) - ( A D B ) ) <_ ( A D C ) <-> ( B D C ) <_ ( ( A D C ) + ( A D B ) ) ) )
21	17, 20	mpbird 167	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D C ) - ( A D B ) ) <_ ( A D C ) )
22		mettri 15599	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ C e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D C ) <_ ( ( A D B ) + ( B D C ) ) )
23	1, 4, 3, 2, 22	syl13anc 1280	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) <_ ( ( A D B ) + ( B D C ) ) )
24	19	recnd 8360	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) e. CC )
25	9, 24	addcomd 8484	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D B ) + ( B D C ) ) = ( ( B D C ) + ( A D B ) ) )
26	23, 25	breqtrd 4157	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) <_ ( ( B D C ) + ( A D B ) ) )
27	11, 19, 8	absdifled 11968	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) <-> ( ( ( B D C ) - ( A D B ) ) <_ ( A D C ) /\ ( A D C ) <_ ( ( B D C ) + ( A D B ) ) ) ) )
28	21, 26, 27	mpbir2and 957	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8184   + caddc 8188   <_ cle 8367   - cmin 8504   abscabs 11785   Metcmet 14983

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-xadd 10192  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-xmet 14990  df-met 14991

This theorem is used by:  msrtri  15702