Theorem metrtri 15242

Description: Reverse triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
metrtri	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) )

Proof of Theorem metrtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
2		simpr2 1031	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
3		simpr3 1032	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
4		simpr1 1030	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X )
5		mettri 15238	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( B e. X /\ C e. X /\ A e. X ) ) -> ( B D C ) <_ ( ( B D A ) + ( A D C ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1276	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) <_ ( ( B D A ) + ( A D C ) ) )
7		metcl 15218	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR )
8	1, 4, 2, 7	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) e. RR )
9	8	recnd 8302	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) e. CC )
10		metcl 15218	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. RR )
11	1, 4, 3, 10	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) e. RR )
12	11	recnd 8302	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) e. CC )
13		metsym 15236	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ B e. X /\ A e. X ) -> ( B D A ) = ( A D B ) )
14	1, 2, 4, 13	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D A ) = ( A D B ) )
15	14	oveq1d 6065	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D A ) + ( A D C ) ) = ( ( A D B ) + ( A D C ) ) )
16	9, 12, 15	comraddd 8430	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D A ) + ( A D C ) ) = ( ( A D C ) + ( A D B ) ) )
17	6, 16	breqtrd 4135	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) <_ ( ( A D C ) + ( A D B ) ) )
18		metcl 15218	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( B D C ) e. RR )
19	1, 2, 3, 18	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) e. RR )
20	19, 8, 11	lesubaddd 8816	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( B D C ) - ( A D B ) ) <_ ( A D C ) <-> ( B D C ) <_ ( ( A D C ) + ( A D B ) ) ) )
21	17, 20	mpbird 167	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D C ) - ( A D B ) ) <_ ( A D C ) )
22		mettri 15238	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ C e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D C ) <_ ( ( A D B ) + ( B D C ) ) )
23	1, 4, 3, 2, 22	syl13anc 1276	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) <_ ( ( A D B ) + ( B D C ) ) )
24	19	recnd 8302	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) e. CC )
25	9, 24	addcomd 8424	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D B ) + ( B D C ) ) = ( ( B D C ) + ( A D B ) ) )
26	23, 25	breqtrd 4135	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) <_ ( ( B D C ) + ( A D B ) ) )
27	11, 19, 8	absdifled 11864	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) <-> ( ( ( B D C ) - ( A D B ) ) <_ ( A D C ) /\ ( A D C ) <_ ( ( B D C ) + ( A D B ) ) ) ) )
28	21, 26, 27	mpbir2and 953	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   RRcr 8126   + caddc 8130   <_ cle 8309   - cmin 8444   abscabs 11682   Metcmet 14685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-map 6884  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-rp 9987  df-xadd 10106  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-xmet 14692  df-met 14693

This theorem is referenced by:  msrtri  15341