Theorem metrtri 15401

Description: Reverse triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
metrtri	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) )

Proof of Theorem metrtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
2		simpr2 1035	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
3		simpr3 1036	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
4		simpr1 1034	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X )
5		mettri 15397	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( B e. X /\ C e. X /\ A e. X ) ) -> ( B D C ) <_ ( ( B D A ) + ( A D C ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1280	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) <_ ( ( B D A ) + ( A D C ) ) )
7		metcl 15377	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR )
8	1, 4, 2, 7	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) e. RR )
9	8	recnd 8344	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) e. CC )
10		metcl 15377	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. RR )
11	1, 4, 3, 10	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) e. RR )
12	11	recnd 8344	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) e. CC )
13		metsym 15395	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ B e. X /\ A e. X ) -> ( B D A ) = ( A D B ) )
14	1, 2, 4, 13	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D A ) = ( A D B ) )
15	14	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D A ) + ( A D C ) ) = ( ( A D B ) + ( A D C ) ) )
16	9, 12, 15	comraddd 8473	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D A ) + ( A D C ) ) = ( ( A D C ) + ( A D B ) ) )
17	6, 16	breqtrd 4151	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) <_ ( ( A D C ) + ( A D B ) ) )
18		metcl 15377	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( B D C ) e. RR )
19	1, 2, 3, 18	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) e. RR )
20	19, 8, 11	lesubaddd 8860	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( B D C ) - ( A D B ) ) <_ ( A D C ) <-> ( B D C ) <_ ( ( A D C ) + ( A D B ) ) ) )
21	17, 20	mpbird 167	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D C ) - ( A D B ) ) <_ ( A D C ) )
22		mettri 15397	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ C e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D C ) <_ ( ( A D B ) + ( B D C ) ) )
23	1, 4, 3, 2, 22	syl13anc 1280	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) <_ ( ( A D B ) + ( B D C ) ) )
24	19	recnd 8344	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) e. CC )
25	9, 24	addcomd 8467	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D B ) + ( B D C ) ) = ( ( B D C ) + ( A D B ) ) )
26	23, 25	breqtrd 4151	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) <_ ( ( B D C ) + ( A D B ) ) )
27	11, 19, 8	absdifled 11923	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) <-> ( ( ( B D C ) - ( A D B ) ) <_ ( A D C ) /\ ( A D C ) <_ ( ( B D C ) + ( A D B ) ) ) ) )
28	21, 26, 27	mpbir2and 957	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   + caddc 8172   <_ cle 8351   - cmin 8487   abscabs 11741   Metcmet 14846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-map 6914  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-xadd 10154  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-xmet 14853  df-met 14854

This theorem is referenced by:  msrtri  15500