Theorem metrtri 13171

Description: Reverse triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
metrtri	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) )

Proof of Theorem metrtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
2		simpr2 999	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
3		simpr3 1000	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
4		simpr1 998	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X )
5		mettri 13167	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( B e. X /\ C e. X /\ A e. X ) ) -> ( B D C ) <_ ( ( B D A ) + ( A D C ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1235	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) <_ ( ( B D A ) + ( A D C ) ) )
7		metcl 13147	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR )
8	1, 4, 2, 7	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) e. RR )
9	8	recnd 7948	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) e. CC )
10		metcl 13147	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. RR )
11	1, 4, 3, 10	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) e. RR )
12	11	recnd 7948	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) e. CC )
13		metsym 13165	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ B e. X /\ A e. X ) -> ( B D A ) = ( A D B ) )
14	1, 2, 4, 13	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D A ) = ( A D B ) )
15	14	oveq1d 5868	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D A ) + ( A D C ) ) = ( ( A D B ) + ( A D C ) ) )
16	9, 12, 15	comraddd 8076	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D A ) + ( A D C ) ) = ( ( A D C ) + ( A D B ) ) )
17	6, 16	breqtrd 4015	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) <_ ( ( A D C ) + ( A D B ) ) )
18		metcl 13147	. . . . 5 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( B D C ) e. RR )
19	1, 2, 3, 18	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) e. RR )
20	19, 8, 11	lesubaddd 8461	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( ( B D C ) - ( A D B ) ) <_ ( A D C ) <-> ( B D C ) <_ ( ( A D C ) + ( A D B ) ) ) )
21	17, 20	mpbird 166	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D C ) - ( A D B ) ) <_ ( A D C ) )
22		mettri 13167	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ C e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D C ) <_ ( ( A D B ) + ( B D C ) ) )
23	1, 4, 3, 2, 22	syl13anc 1235	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) <_ ( ( A D B ) + ( B D C ) ) )
24	19	recnd 7948	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) e. CC )
25	9, 24	addcomd 8070	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D B ) + ( B D C ) ) = ( ( B D C ) + ( A D B ) ) )
26	23, 25	breqtrd 4015	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) <_ ( ( B D C ) + ( A D B ) ) )
27	11, 19, 8	absdifled 11143	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) <-> ( ( ( B D C ) - ( A D B ) ) <_ ( A D C ) /\ ( A D C ) <_ ( ( B D C ) + ( A D B ) ) ) ) )
28	21, 26, 27	mpbir2and 939	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   + caddc 7777   <_ cle 7955   - cmin 8090   abscabs 10961   Metcmet 12775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-xmet 12782  df-met 12783

This theorem is referenced by:  msrtri  13270