ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metrtri Unicode version

Theorem metrtri 13510
Description: Reverse triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
metrtri  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( abs `  ( ( A D C )  -  ( B D C ) ) )  <_  ( A D B ) )

Proof of Theorem metrtri
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 simpr2 1004 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
3 simpr3 1005 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  C  e.  X )
4 simpr1 1003 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
5 mettri 13506 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( B  e.  X  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( B D C )  <_  (
( B D A )  +  ( A D C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1240 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B D C )  <_  (
( B D A )  +  ( A D C ) ) )
7 metcl 13486 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )
81, 4, 2, 7syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D B )  e.  RR )
98recnd 7963 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D B )  e.  CC )
10 metcl 13486 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A D C )  e.  RR )
111, 4, 3, 10syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D C )  e.  RR )
1211recnd 7963 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D C )  e.  CC )
13 metsym 13504 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B D A )  =  ( A D B ) )
141, 2, 4, 13syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B D A )  =  ( A D B ) )
1514oveq1d 5883 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( B D A )  +  ( A D C ) )  =  ( ( A D B )  +  ( A D C ) ) )
169, 12, 15comraddd 8091 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( B D A )  +  ( A D C ) )  =  ( ( A D C )  +  ( A D B ) ) )
176, 16breqtrd 4026 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B D C )  <_  (
( A D C )  +  ( A D B ) ) )
18 metcl 13486 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B D C )  e.  RR )
191, 2, 3, 18syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B D C )  e.  RR )
2019, 8, 11lesubaddd 8476 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( (
( B D C )  -  ( A D B ) )  <_  ( A D C )  <->  ( B D C )  <_  (
( A D C )  +  ( A D B ) ) ) )
2117, 20mpbird 167 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( B D C )  -  ( A D B ) )  <_  ( A D C ) )
22 mettri 13506 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D C )  <_  (
( A D B )  +  ( B D C ) ) )
231, 4, 3, 2, 22syl13anc 1240 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D C )  <_  (
( A D B )  +  ( B D C ) ) )
2419recnd 7963 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B D C )  e.  CC )
259, 24addcomd 8085 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A D B )  +  ( B D C ) )  =  ( ( B D C )  +  ( A D B ) ) )
2623, 25breqtrd 4026 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D C )  <_  (
( B D C )  +  ( A D B ) ) )
2711, 19, 8absdifled 11159 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A D C )  -  ( B D C ) ) )  <_  ( A D B )  <->  ( (
( B D C )  -  ( A D B ) )  <_  ( A D C )  /\  ( A D C )  <_ 
( ( B D C )  +  ( A D B ) ) ) ) )
2821, 26, 27mpbir2and 944 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( abs `  ( ( A D C )  -  ( B D C ) ) )  <_  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4000   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   RRcr 7788    + caddc 7792    <_ cle 7970    - cmin 8105   abscabs 10977   Metcmet 13114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-map 6643  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-rp 9628  df-xadd 9747  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-xmet 13121  df-met 13122
This theorem is referenced by:  msrtri  13609
  Copyright terms: Public domain W3C validator