Theorem ringmgp 13107

Description: A ring is a monoid under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringmgp.g	|- G = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringmgp	|- ( R e. Ring -> G e. Mnd )

Proof of Theorem ringmgp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		ringmgp.g	. . 3 |- G = (mulGrp ` R )
3		eqid 2177	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2177	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5	1, 2, 3, 4	isring 13105	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` R ) z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` R ) z ) ) ) ) )
6	5	simp2bi 1013	1 |- ( R e. Ring -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   Basecbs 12453   +g cplusg 12527   .rcmulr 12528   Mndcmnd 12748   Grpcgrp 12808  mulGrpcmgp 13052   Ringcrg 13101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1re 7901  ax-addrcl 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-fv 5222  df-ov 5874  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-ndx 12456  df-slot 12457  df-base 12459  df-plusg 12540  df-mulr 12541  df-ring 13103

This theorem is referenced by:  mgpf  13116  ringcl  13118  iscrng2  13120  ringass  13121  ringideu  13122  ringidcl  13125  ringidmlem  13127  ringsrg  13146  unitsubm  13210  invrpropdg  13240  subrgcrng  13275  subrgsubm  13284  subrgugrp  13290  issubrg3  13297  cnfldexp  13331