ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringmgp Unicode version

Theorem ringmgp 13191
Description: A ring is a monoid under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ringmgp.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
ringmgp  |-  ( R  e.  Ring  ->  G  e. 
Mnd )

Proof of Theorem ringmgp
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 ringmgp.g . . 3  |-  G  =  (mulGrp `  R )
3 eqid 2177 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 eqid 2177 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
51, 2, 3, 4isring 13189 . 2  |-  ( R  e.  Ring  <->  ( R  e. 
Grp  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( Base `  R
) A. z  e.  ( Base `  R
) ( ( x ( .r `  R
) ( y ( +g  `  R ) z ) )  =  ( ( x ( .r `  R ) y ) ( +g  `  R ) ( x ( .r `  R
) z ) )  /\  ( ( x ( +g  `  R
) y ) ( .r `  R ) z )  =  ( ( x ( .r
`  R ) z ) ( +g  `  R
) ( y ( .r `  R ) z ) ) ) ) )
65simp2bi 1013 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  G  e. 
Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   Basecbs 12465   +g cplusg 12539   .rcmulr 12540   Mndcmnd 12823   Grpcgrp 12883  mulGrpcmgp 13136   Ringcrg 13185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1re 7908  ax-addrcl 7911
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5881  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-ring 13187
This theorem is referenced by:  mgpf  13200  ringcl  13202  iscrng2  13204  ringass  13205  ringideu  13206  ringidcl  13209  ringidmlem  13211  ringsrg  13230  unitsubm  13294  invrpropdg  13324  subrgcrng  13352  subrgsubm  13361  subrgugrp  13367  issubrg3  13374  cnfldexp  13611
  Copyright terms: Public domain W3C validator