Theorem mgpf 13507

Description: Restricted functionality of the multiplicative group on rings. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mgpf	⊢ (mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd

Proof of Theorem mgpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmgp 13418	. . 3 ⊢ mulGrp Fn V
2		ssv 3201	. . 3 ⊢ Ring ⊆ V
3		fnssres 5367	. . 3 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ Ring ⊆ V) → (mulGrp ↾ Ring) Fn Ring)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 ⊢ (mulGrp ↾ Ring) Fn Ring
5		fvres 5578	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ Ring → ((mulGrp ↾ Ring)‘𝑎) = (mulGrp‘𝑎))
6		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑎) = (mulGrp‘𝑎)
7	6	ringmgp 13498	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑎) ∈ Mnd)
8	5, 7	eqeltrd 2270	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ Ring → ((mulGrp ↾ Ring)‘𝑎) ∈ Mnd)
9	8	rgen 2547	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ Ring ((mulGrp ↾ Ring)‘𝑎) ∈ Mnd
10		ffnfv 5716	. 2 ⊢ ((mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd ↔ ((mulGrp ↾ Ring) Fn Ring ∧ ∀𝑎 ∈ Ring ((mulGrp ↾ Ring)‘𝑎) ∈ Mnd))
11	4, 9, 10	mpbir2an 944	1 ⊢ (mulGrp ↾ Ring):Ring⟶Mnd

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153   ↾ cres 4661   Fn wfn 5249  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  Mndcmnd 12997  mulGrpcmgp 13416  Ringcrg 13492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-mgp 13417  df-ring 13494

This theorem is referenced by: (None)