Theorem zeo 9730

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zeo	|- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem zeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9625	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
3		2cn 9354	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
4		2ap0 9376	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
5	3, 4	div0api 9066	. . . . . . 7 |- ( 0 / 2 ) = 0
6		0z 9634	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
7	5, 6	eqeltri 2311	. . . . . 6 |- ( 0 / 2 ) e. ZZ
8	2, 7	eqeltrdi 2329	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( N / 2 ) e. ZZ )
9	8	orcd 745	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
10	9	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ N = 0 ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
11		nneoor 9727	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
12		nnz 9642	. . . . . 6 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ )
13		nnz 9642	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
14	12, 13	orim12i 771	. . . . 5 |- ( ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
15	11, 14	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
16	15	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
17		nneoor 9727	. . . . 5 |- ( -u N e. NN -> ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
18	17	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
19		recn 8302	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> N e. CC )
20		divnegap 9026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
21	3, 4, 20	mp3an23 1370	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. CC -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
23	22	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( -u ( N / 2 ) e. NN <-> ( -u N / 2 ) e. NN ) )
24		nnnegz 9626	. . . . . . . 8 |- ( -u ( N / 2 ) e. NN -> -u -u ( N / 2 ) e. ZZ )
25	23, 24	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( ( -u N / 2 ) e. NN -> -u -u ( N / 2 ) e. ZZ ) )
26	19	halfcld 9529	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> ( N / 2 ) e. CC )
27	26	negnegd 8618	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> -u -u ( N / 2 ) = ( N / 2 ) )
28	27	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( -u -u ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
29	25, 28	sylibd 149	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( -u N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
30		nnz 9642	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
31		peano2zm 9661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
32		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
33	32, 3	negsubdi2i 8602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u ( 1 - 2 ) = ( 2 - 1 )
34		2m1e1 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 - 1 ) = 1
35	33, 34	eqtr2i 2260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 = -u ( 1 - 2 )
36	32, 3	subcli 8592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 - 2 ) e. CC
37	32, 36	negcon2i 8599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 = -u ( 1 - 2 ) <-> ( 1 - 2 ) = -u 1 )
38	35, 37	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 2 ) = -u 1
39	38	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u N + ( 1 - 2 ) ) = ( -u N + -u 1 )
40		negcl 8516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. CC -> -u N e. CC )
41		addsubass 8526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u N e. CC /\ 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
42	32, 3, 41	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
43	40, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
44		negdi 8573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( N + 1 ) = ( -u N + -u 1 ) )
45	32, 44	mpan2 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> -u ( N + 1 ) = ( -u N + -u 1 ) )
46	39, 43, 45	3eqtr4a 2297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = -u ( N + 1 ) )
47	46	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
48		2div2e1 9416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 / 2 ) = 1
49	48	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 = ( 2 / 2 )
50	49	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) )
51		peano2cn 8451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u N e. CC -> ( -u N + 1 ) e. CC )
52	40, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> ( -u N + 1 ) e. CC )
53	3, 4	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
54		divsubdirap 9028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -u N + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
55	3, 53, 54	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u N + 1 ) e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
56	52, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
57	50, 56	eqtr4id 2290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) )
58		peano2cn 8451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
59		divnegap 9026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
60	3, 4, 59	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N + 1 ) e. CC -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
61	58, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
62	47, 57, 61	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = -u ( ( N + 1 ) / 2 ) )
63	19, 62	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = -u ( ( N + 1 ) / 2 ) )
64	63	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ <-> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
65	31, 64	imbitrid 154	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
66		znegcl 9654	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
67	65, 66	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
68		peano2re 8452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
69	68	recnd 8344	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. CC )
70	69	halfcld 9529	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. CC )
71	70	negnegd 8618	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
72	71	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
73	67, 72	sylibd 149	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
74	30, 73	syl5 32	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
75	29, 74	orim12d 798	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) ) )
76	75	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) ) )
77	18, 76	mpd 13	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
78	10, 16, 77	3jaodan 1347	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
79	1, 78	sylbi 121	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   - cmin 8487   -ucneg 8488   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  zeo2  9731  zeo3  12613  mulsucdiv2z  12630  abssinper  15870  lgseisenlem1  16103