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Theorem zeo 9149
Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
zeo  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zeo
StepHypRef Expression
1 elz 9049 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
2 oveq1 5774 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
3 2cn 8784 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
4 2ap0 8806 . . . . . . . 8  |-  2 #  0
53, 4div0api 8499 . . . . . . 7  |-  ( 0  /  2 )  =  0
6 0z 9058 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
75, 6eqeltri 2210 . . . . . 6  |-  ( 0  /  2 )  e.  ZZ
82, 7syl6eqel 2228 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
98orcd 722 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
109adantl 275 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  =  0 )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
11 nneoor 9146 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
12 nnz 9066 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
13 nnz 9066 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
1412, 13orim12i 748 . . . . 5  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
1511, 14syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
1615adantl 275 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  / 
2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
17 nneoor 9146 . . . . 5  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( ( -u N  / 
2 )  e.  NN  \/  ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN ) )
1817adantl 275 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( -u N  /  2 )  e.  NN  \/  ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
19 recn 7746 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
20 divnegap 8459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2 #  0 )  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
213, 4, 20mp3an23 1307 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2219, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2322eleq1d 2206 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  <->  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
24 nnnegz 9050 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ )
2523, 24syl6bir 163 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ ) )
2619halfcld 8957 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  CC )
2726negnegd 8057 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u ( N  /  2 )  =  ( N  /  2
) )
2827eleq1d 2206 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
2925, 28sylibd 148 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
30 nnz 9066 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
31 peano2zm 9085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
32 ax-1cn 7706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
3332, 3negsubdi2i 8041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u (
1  -  2 )  =  ( 2  -  1 )
34 2m1e1 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  -  1 )  =  1
3533, 34eqtr2i 2159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =  -u ( 1  -  2 )
3632, 3subcli 8031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  -  2 )  e.  CC
3732, 36negcon2i 8038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =  -u ( 1  -  2 )  <->  ( 1  -  2 )  = 
-u 1 )
3835, 37mpbi 144 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  2 )  = 
-u 1
3938oveq2i 5778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) )  =  ( -u N  +  -u 1 )
40 negcl 7955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  CC  ->  -u N  e.  CC )
41 addsubass 7965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u N  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  =  (
-u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4232, 3, 41mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4340, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
44 negdi 8012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( N  + 
1 )  =  (
-u N  +  -u
1 ) )
4532, 44mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  +  1 )  =  ( -u N  +  -u 1 ) )
4639, 43, 453eqtr4a 2196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  -u ( N  + 
1 ) )
4746oveq1d 5782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( -u ( N  +  1
)  /  2 ) )
48 peano2cn 7890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  (
-u N  +  1 )  e.  CC )
4940, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  ( -u N  +  1 )  e.  CC )
503, 4pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
51 divsubdirap 8461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  ->  ( ( (
-u N  +  1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  /  2
) ) )
523, 50, 51mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u N  +  1 )  e.  CC  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
5349, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
54 2div2e1 8845 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  /  2 )  =  1
5554eqcomi 2141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 2  / 
2 )
5655oveq2i 5778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )
5753, 56syl6reqr 2189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  /  2 ) )
58 peano2cn 7890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
59 divnegap 8459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2 #  0 )  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
603, 4, 59mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6158, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6247, 57, 613eqtr4d 2180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6319, 62syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6463eleq1d 2206 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  ZZ  <->  -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
6531, 64syl5ib 153 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
66 znegcl 9078 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
6765, 66syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u -u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
68 peano2re 7891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
6968recnd 7787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
7069halfcld 8957 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
7170negnegd 8057 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( ( N  +  1 )  / 
2 ) )
7271eleq1d 2206 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
7367, 72sylibd 148 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7430, 73syl5 32 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7529, 74orim12d 775 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  /  2 )  e.  NN  \/  ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN )  -> 
( ( N  / 
2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) ) )
7675adantr 274 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( (
-u N  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) ) )
7718, 76mpd 13 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
7810, 16, 773jaodan 1284 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
791, 78sylbi 120 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697    \/ w3o 961    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   0cc0 7613   1c1 7614    + caddc 7616    - cmin 7926   -ucneg 7927   # cap 8336    / cdiv 8425   NNcn 8713   2c2 8764   ZZcz 9047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048
This theorem is referenced by:  zeo2  9150  zeo3  11554  mulsucdiv2z  11571  abssinper  12916
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