Theorem zeo 9563

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zeo	|- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem zeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9459	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		oveq1 6014	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
3		2cn 9192	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
4		2ap0 9214	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
5	3, 4	div0api 8904	. . . . . . 7 |- ( 0 / 2 ) = 0
6		0z 9468	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
7	5, 6	eqeltri 2302	. . . . . 6 |- ( 0 / 2 ) e. ZZ
8	2, 7	eqeltrdi 2320	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( N / 2 ) e. ZZ )
9	8	orcd 738	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
10	9	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ N = 0 ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
11		nneoor 9560	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
12		nnz 9476	. . . . . 6 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ )
13		nnz 9476	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
14	12, 13	orim12i 764	. . . . 5 |- ( ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
15	11, 14	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
16	15	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
17		nneoor 9560	. . . . 5 |- ( -u N e. NN -> ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
18	17	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
19		recn 8143	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> N e. CC )
20		divnegap 8864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
21	3, 4, 20	mp3an23 1363	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. CC -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
23	22	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( -u ( N / 2 ) e. NN <-> ( -u N / 2 ) e. NN ) )
24		nnnegz 9460	. . . . . . . 8 |- ( -u ( N / 2 ) e. NN -> -u -u ( N / 2 ) e. ZZ )
25	23, 24	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( ( -u N / 2 ) e. NN -> -u -u ( N / 2 ) e. ZZ ) )
26	19	halfcld 9367	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> ( N / 2 ) e. CC )
27	26	negnegd 8459	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> -u -u ( N / 2 ) = ( N / 2 ) )
28	27	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( -u -u ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
29	25, 28	sylibd 149	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( -u N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
30		nnz 9476	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
31		peano2zm 9495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
32		ax-1cn 8103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
33	32, 3	negsubdi2i 8443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u ( 1 - 2 ) = ( 2 - 1 )
34		2m1e1 9239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 - 1 ) = 1
35	33, 34	eqtr2i 2251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 = -u ( 1 - 2 )
36	32, 3	subcli 8433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 - 2 ) e. CC
37	32, 36	negcon2i 8440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 = -u ( 1 - 2 ) <-> ( 1 - 2 ) = -u 1 )
38	35, 37	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 2 ) = -u 1
39	38	oveq2i 6018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u N + ( 1 - 2 ) ) = ( -u N + -u 1 )
40		negcl 8357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. CC -> -u N e. CC )
41		addsubass 8367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u N e. CC /\ 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
42	32, 3, 41	mp3an23 1363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
43	40, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
44		negdi 8414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( N + 1 ) = ( -u N + -u 1 ) )
45	32, 44	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> -u ( N + 1 ) = ( -u N + -u 1 ) )
46	39, 43, 45	3eqtr4a 2288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = -u ( N + 1 ) )
47	46	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
48		2div2e1 9254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 / 2 ) = 1
49	48	eqcomi 2233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 = ( 2 / 2 )
50	49	oveq2i 6018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) )
51		peano2cn 8292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u N e. CC -> ( -u N + 1 ) e. CC )
52	40, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> ( -u N + 1 ) e. CC )
53	3, 4	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
54		divsubdirap 8866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -u N + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
55	3, 53, 54	mp3an23 1363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u N + 1 ) e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
56	52, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
57	50, 56	eqtr4id 2281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) )
58		peano2cn 8292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
59		divnegap 8864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
60	3, 4, 59	mp3an23 1363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N + 1 ) e. CC -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
61	58, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
62	47, 57, 61	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = -u ( ( N + 1 ) / 2 ) )
63	19, 62	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = -u ( ( N + 1 ) / 2 ) )
64	63	eleq1d 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ <-> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
65	31, 64	imbitrid 154	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
66		znegcl 9488	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
67	65, 66	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
68		peano2re 8293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
69	68	recnd 8186	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. CC )
70	69	halfcld 9367	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. CC )
71	70	negnegd 8459	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
72	71	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
73	67, 72	sylibd 149	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
74	30, 73	syl5 32	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
75	29, 74	orim12d 791	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) ) )
76	75	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) ) )
77	18, 76	mpd 13	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
78	10, 16, 77	3jaodan 1340	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
79	1, 78	sylbi 121	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   - cmin 8328   -ucneg 8329   # cap 8739   / cdiv 8830   NNcn 9121   2c2 9172   ZZcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-n0 9381  df-z 9458

This theorem is referenced by:  zeo2  9564  zeo3  12395  mulsucdiv2z  12412  abssinper  15536  lgseisenlem1  15765