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Theorem zeo 9358
Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
zeo  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zeo
StepHypRef Expression
1 elz 9255 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
2 oveq1 5882 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
3 2cn 8990 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
4 2ap0 9012 . . . . . . . 8  |-  2 #  0
53, 4div0api 8703 . . . . . . 7  |-  ( 0  /  2 )  =  0
6 0z 9264 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
75, 6eqeltri 2250 . . . . . 6  |-  ( 0  /  2 )  e.  ZZ
82, 7eqeltrdi 2268 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
98orcd 733 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
109adantl 277 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  =  0 )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
11 nneoor 9355 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
12 nnz 9272 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
13 nnz 9272 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
1412, 13orim12i 759 . . . . 5  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
1511, 14syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
1615adantl 277 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  / 
2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
17 nneoor 9355 . . . . 5  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( ( -u N  / 
2 )  e.  NN  \/  ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN ) )
1817adantl 277 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( -u N  /  2 )  e.  NN  \/  ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
19 recn 7944 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
20 divnegap 8663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2 #  0 )  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
213, 4, 20mp3an23 1329 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2219, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2322eleq1d 2246 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  <->  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
24 nnnegz 9256 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ )
2523, 24syl6bir 164 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ ) )
2619halfcld 9163 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  CC )
2726negnegd 8259 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u ( N  /  2 )  =  ( N  /  2
) )
2827eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
2925, 28sylibd 149 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
30 nnz 9272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
31 peano2zm 9291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
32 ax-1cn 7904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
3332, 3negsubdi2i 8243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u (
1  -  2 )  =  ( 2  -  1 )
34 2m1e1 9037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  -  1 )  =  1
3533, 34eqtr2i 2199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =  -u ( 1  -  2 )
3632, 3subcli 8233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  -  2 )  e.  CC
3732, 36negcon2i 8240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =  -u ( 1  -  2 )  <->  ( 1  -  2 )  = 
-u 1 )
3835, 37mpbi 145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  2 )  = 
-u 1
3938oveq2i 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) )  =  ( -u N  +  -u 1 )
40 negcl 8157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  CC  ->  -u N  e.  CC )
41 addsubass 8167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u N  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  =  (
-u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4232, 3, 41mp3an23 1329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4340, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
44 negdi 8214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( N  + 
1 )  =  (
-u N  +  -u
1 ) )
4532, 44mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  +  1 )  =  ( -u N  +  -u 1 ) )
4639, 43, 453eqtr4a 2236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  -u ( N  + 
1 ) )
4746oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( -u ( N  +  1
)  /  2 ) )
48 2div2e1 9051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  /  2 )  =  1
4948eqcomi 2181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 2  / 
2 )
5049oveq2i 5886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )
51 peano2cn 8092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  (
-u N  +  1 )  e.  CC )
5240, 51syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  ( -u N  +  1 )  e.  CC )
533, 4pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
54 divsubdirap 8665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  ->  ( ( (
-u N  +  1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  /  2
) ) )
553, 53, 54mp3an23 1329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u N  +  1 )  e.  CC  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
5652, 55syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
5750, 56eqtr4id 2229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  /  2 ) )
58 peano2cn 8092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
59 divnegap 8663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2 #  0 )  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
603, 4, 59mp3an23 1329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6158, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6247, 57, 613eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6319, 62syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6463eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  ZZ  <->  -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
6531, 64imbitrid 154 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
66 znegcl 9284 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
6765, 66syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u -u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
68 peano2re 8093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
6968recnd 7986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
7069halfcld 9163 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
7170negnegd 8259 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( ( N  +  1 )  / 
2 ) )
7271eleq1d 2246 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
7367, 72sylibd 149 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7430, 73syl5 32 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7529, 74orim12d 786 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  /  2 )  e.  NN  \/  ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN )  -> 
( ( N  / 
2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) ) )
7675adantr 276 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( (
-u N  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) ) )
7718, 76mpd 13 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
7810, 16, 773jaodan 1306 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
791, 78sylbi 121 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708    \/ w3o 977    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   CCcc 7809   RRcr 7810   0cc0 7811   1c1 7812    + caddc 7814    - cmin 8128   -ucneg 8129   # cap 8538    / cdiv 8629   NNcn 8919   2c2 8970   ZZcz 9253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254
This theorem is referenced by:  zeo2  9359  zeo3  11873  mulsucdiv2z  11890  abssinper  14270  lgseisenlem1  14453
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