Theorem zeo 8950

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zeo	|- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem zeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 8850	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		oveq1 5697	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
3		2cn 8591	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
4		2ap0 8613	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
5	3, 4	div0api 8310	. . . . . . 7 |- ( 0 / 2 ) = 0
6		0z 8859	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
7	5, 6	eqeltri 2167	. . . . . 6 |- ( 0 / 2 ) e. ZZ
8	2, 7	syl6eqel 2185	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( N / 2 ) e. ZZ )
9	8	orcd 690	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
10	9	adantl 272	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ N = 0 ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
11		nneoor 8947	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
12		nnz 8867	. . . . . 6 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ )
13		nnz 8867	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
14	12, 13	orim12i 714	. . . . 5 |- ( ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
15	11, 14	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
16	15	adantl 272	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
17		nneoor 8947	. . . . 5 |- ( -u N e. NN -> ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
18	17	adantl 272	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
19		recn 7572	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> N e. CC )
20		divnegap 8270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
21	3, 4, 20	mp3an23 1272	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. CC -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
23	22	eleq1d 2163	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( -u ( N / 2 ) e. NN <-> ( -u N / 2 ) e. NN ) )
24		nnnegz 8851	. . . . . . . 8 |- ( -u ( N / 2 ) e. NN -> -u -u ( N / 2 ) e. ZZ )
25	23, 24	syl6bir 163	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( ( -u N / 2 ) e. NN -> -u -u ( N / 2 ) e. ZZ ) )
26	19	halfcld 8758	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> ( N / 2 ) e. CC )
27	26	negnegd 7881	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> -u -u ( N / 2 ) = ( N / 2 ) )
28	27	eleq1d 2163	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( -u -u ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
29	25, 28	sylibd 148	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( -u N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
30		nnz 8867	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
31		peano2zm 8886	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
32		ax-1cn 7535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
33	32, 3	negsubdi2i 7865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u ( 1 - 2 ) = ( 2 - 1 )
34		2m1e1 8638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 - 1 ) = 1
35	33, 34	eqtr2i 2116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 = -u ( 1 - 2 )
36	32, 3	subcli 7855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 - 2 ) e. CC
37	32, 36	negcon2i 7862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 = -u ( 1 - 2 ) <-> ( 1 - 2 ) = -u 1 )
38	35, 37	mpbi 144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 2 ) = -u 1
39	38	oveq2i 5701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u N + ( 1 - 2 ) ) = ( -u N + -u 1 )
40		negcl 7779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. CC -> -u N e. CC )
41		addsubass 7789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u N e. CC /\ 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
42	32, 3, 41	mp3an23 1272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
43	40, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
44		negdi 7836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( N + 1 ) = ( -u N + -u 1 ) )
45	32, 44	mpan2 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> -u ( N + 1 ) = ( -u N + -u 1 ) )
46	39, 43, 45	3eqtr4a 2153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = -u ( N + 1 ) )
47	46	oveq1d 5705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
48		peano2cn 7714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u N e. CC -> ( -u N + 1 ) e. CC )
49	40, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> ( -u N + 1 ) e. CC )
50	3, 4	pm3.2i 267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
51		divsubdirap 8272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -u N + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
52	3, 50, 51	mp3an23 1272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u N + 1 ) e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
53	49, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
54		2div2e1 8646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 / 2 ) = 1
55	54	eqcomi 2099	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 = ( 2 / 2 )
56	55	oveq2i 5701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) )
57	53, 56	syl6reqr 2146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) )
58		peano2cn 7714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
59		divnegap 8270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
60	3, 4, 59	mp3an23 1272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N + 1 ) e. CC -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
61	58, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
62	47, 57, 61	3eqtr4d 2137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = -u ( ( N + 1 ) / 2 ) )
63	19, 62	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = -u ( ( N + 1 ) / 2 ) )
64	63	eleq1d 2163	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ <-> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
65	31, 64	syl5ib 153	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
66		znegcl 8879	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
67	65, 66	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
68		peano2re 7715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
69	68	recnd 7613	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. CC )
70	69	halfcld 8758	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. CC )
71	70	negnegd 7881	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
72	71	eleq1d 2163	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
73	67, 72	sylibd 148	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
74	30, 73	syl5 32	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
75	29, 74	orim12d 738	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) ) )
76	75	adantr 271	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) ) )
77	18, 76	mpd 13	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
78	10, 16, 77	3jaodan 1249	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
79	1, 78	sylbi 120	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 667   \/ w3o 926   = wceq 1296   e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   CCcc 7445   RRcr 7446   0cc0 7447   1c1 7448   + caddc 7450   - cmin 7750   -ucneg 7751   # cap 8155   / cdiv 8236   NNcn 8520   2c2 8571   ZZcz 8848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-n0 8772  df-z 8849

This theorem is referenced by:  zeo2  8951  zeo3  11310  mulsucdiv2z  11327