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Theorem zeo 9317
Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
zeo  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zeo
StepHypRef Expression
1 elz 9214 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
2 oveq1 5860 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
3 2cn 8949 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
4 2ap0 8971 . . . . . . . 8  |-  2 #  0
53, 4div0api 8663 . . . . . . 7  |-  ( 0  /  2 )  =  0
6 0z 9223 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
75, 6eqeltri 2243 . . . . . 6  |-  ( 0  /  2 )  e.  ZZ
82, 7eqeltrdi 2261 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
98orcd 728 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
109adantl 275 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  =  0 )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
11 nneoor 9314 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
12 nnz 9231 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
13 nnz 9231 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
1412, 13orim12i 754 . . . . 5  |-  ( ( ( N  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
1511, 14syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
1615adantl 275 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  / 
2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
17 nneoor 9314 . . . . 5  |-  ( -u N  e.  NN  ->  ( ( -u N  / 
2 )  e.  NN  \/  ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN ) )
1817adantl 275 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( -u N  /  2 )  e.  NN  \/  ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
19 recn 7907 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
20 divnegap 8623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2 #  0 )  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
213, 4, 20mp3an23 1324 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2219, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u ( N  /  2 )  =  ( -u N  / 
2 ) )
2322eleq1d 2239 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  <->  ( -u N  /  2 )  e.  NN ) )
24 nnnegz 9215 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ )
2523, 24syl6bir 163 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ ) )
2619halfcld 9122 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  2 )  e.  CC )
2726negnegd 8221 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u ( N  /  2 )  =  ( N  /  2
) )
2827eleq1d 2239 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
2925, 28sylibd 148 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u N  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
30 nnz 9231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
31 peano2zm 9250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
32 ax-1cn 7867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
3332, 3negsubdi2i 8205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u (
1  -  2 )  =  ( 2  -  1 )
34 2m1e1 8996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  -  1 )  =  1
3533, 34eqtr2i 2192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =  -u ( 1  -  2 )
3632, 3subcli 8195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  -  2 )  e.  CC
3732, 36negcon2i 8202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =  -u ( 1  -  2 )  <->  ( 1  -  2 )  = 
-u 1 )
3835, 37mpbi 144 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  2 )  = 
-u 1
3938oveq2i 5864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) )  =  ( -u N  +  -u 1 )
40 negcl 8119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  CC  ->  -u N  e.  CC )
41 addsubass 8129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u N  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  =  (
-u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4232, 3, 41mp3an23 1324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
4340, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  ( -u N  +  ( 1  -  2 ) ) )
44 negdi 8176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( N  + 
1 )  =  (
-u N  +  -u
1 ) )
4532, 44mpan2 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  -u ( N  +  1 )  =  ( -u N  +  -u 1 ) )
4639, 43, 453eqtr4a 2229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( -u N  +  1 )  -  2 )  =  -u ( N  + 
1 ) )
4746oveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( -u ( N  +  1
)  /  2 ) )
48 2div2e1 9010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  /  2 )  =  1
4948eqcomi 2174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 2  / 
2 )
5049oveq2i 5864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )
51 peano2cn 8054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u N  e.  CC  ->  (
-u N  +  1 )  e.  CC )
5240, 51syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  ( -u N  +  1 )  e.  CC )
533, 4pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
54 divsubdirap 8625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u N  + 
1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  ->  ( ( (
-u N  +  1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  /  2
) ) )
553, 53, 54mp3an23 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u N  +  1 )  e.  CC  ->  ( ( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
5652, 55syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  - 
2 )  /  2
)  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
5750, 56eqtr4id 2222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  ( ( ( -u N  + 
1 )  -  2 )  /  2 ) )
58 peano2cn 8054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
59 divnegap 8623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2 #  0 )  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
603, 4, 59mp3an23 1324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  1 )  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6158, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( -u ( N  +  1 )  /  2 ) )
6247, 57, 613eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6319, 62syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  =  -u (
( N  +  1 )  /  2 ) )
6463eleq1d 2239 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( ( -u N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  ZZ  <->  -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
6531, 64syl5ib 153 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
66 znegcl 9243 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
6765, 66syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  -> 
-u -u ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
68 peano2re 8055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
6968recnd 7948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
7069halfcld 9122 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
7170negnegd 8221 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u (
( N  +  1 )  /  2 )  =  ( ( N  +  1 )  / 
2 ) )
7271eleq1d 2239 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
7367, 72sylibd 148 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7430, 73syl5 32 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7529, 74orim12d 781 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( ( -u N  /  2 )  e.  NN  \/  ( (
-u N  +  1 )  /  2 )  e.  NN )  -> 
( ( N  / 
2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) ) )
7675adantr 274 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( (
-u N  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( -u N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) ) )
7718, 76mpd 13 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  \/  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
7810, 16, 773jaodan 1301 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
791, 78sylbi 120 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703    \/ w3o 972    = wceq 1348    e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775    + caddc 7777    - cmin 8090   -ucneg 8091   # cap 8500    / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   ZZcz 9212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213
This theorem is referenced by:  zeo2  9318  zeo3  11827  mulsucdiv2z  11844  abssinper  13561
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