Theorem negelrpd 9744

Description: The negation of a negative number is in the positive real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
negelrpd.1	|- ( ph -> A e. RR )
negelrpd.2	|- ( ph -> A < 0 )

Assertion

Ref	Expression
negelrpd	|- ( ph -> -u A e. RR+ )

Proof of Theorem negelrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negelrpd.2	. 2 |- ( ph -> A < 0 )
2		negelrpd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		negelrp 9743	. . 3 |- ( A e. RR -> ( -u A e. RR+ <-> A < 0 ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( -u A e. RR+ <-> A < 0 ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ph -> -u A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   RRcr 7861   0cc0 7862   < clt 8044   -ucneg 8181   RR+crp 9709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-ltxr 8049  df-sub 8182  df-neg 8183  df-rp 9710

This theorem is referenced by:  mul2lt0rlt0  9815