Theorem negelrpd 9845

Description: The negation of a negative number is in the positive real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
negelrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
negelrpd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
negelrpd	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem negelrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negelrpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2		negelrpd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		negelrp 9844	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 𝐴 < 0))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 𝐴 < 0))
5	1, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  ℝcr 7959  0cc0 7960   < clt 8142  -cneg 8279  ℝ⁺crp 9810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-sub 8280  df-neg 8281  df-rp 9811

This theorem is referenced by:  mul2lt0rlt0  9916