ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negsubdi GIF version

Theorem negsubdi 8216
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsubdi ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴𝐵) = (-𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem negsubdi
StepHypRef Expression
1 0cn 7952 . . 3 0 ∈ ℂ
2 subsub 8190 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 − (𝐴𝐵)) = ((0 − 𝐴) + 𝐵))
31, 2mp3an1 1324 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 − (𝐴𝐵)) = ((0 − 𝐴) + 𝐵))
4 df-neg 8134 . 2 -(𝐴𝐵) = (0 − (𝐴𝐵))
5 df-neg 8134 . . 3 -𝐴 = (0 − 𝐴)
65oveq1i 5888 . 2 (-𝐴 + 𝐵) = ((0 − 𝐴) + 𝐵)
73, 4, 63eqtr4g 2235 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴𝐵) = (-𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5878  cc 7812  0cc0 7814   + caddc 7817  cmin 8131  -cneg 8132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-sub 8133  df-neg 8134
This theorem is referenced by:  negdi  8217  negsubdi2  8219  neg2sub  8220  negsubdid  8286  odd2np1  11881  sin2pim  14374  cos2pim  14375
  Copyright terms: Public domain W3C validator