ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negsubdi GIF version

Theorem negsubdi 8211
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsubdi ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴𝐵) = (-𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem negsubdi
StepHypRef Expression
1 0cn 7948 . . 3 0 ∈ ℂ
2 subsub 8185 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 − (𝐴𝐵)) = ((0 − 𝐴) + 𝐵))
31, 2mp3an1 1324 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 − (𝐴𝐵)) = ((0 − 𝐴) + 𝐵))
4 df-neg 8129 . 2 -(𝐴𝐵) = (0 − (𝐴𝐵))
5 df-neg 8129 . . 3 -𝐴 = (0 − 𝐴)
65oveq1i 5884 . 2 (-𝐴 + 𝐵) = ((0 − 𝐴) + 𝐵)
73, 4, 63eqtr4g 2235 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴𝐵) = (-𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5874  cc 7808  0cc0 7810   + caddc 7813  cmin 8126  -cneg 8127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sub 8128  df-neg 8129
This theorem is referenced by:  negdi  8212  negsubdi2  8214  neg2sub  8215  negsubdid  8281  odd2np1  11872  sin2pim  14165  cos2pim  14166
  Copyright terms: Public domain W3C validator