Theorem negsubdi 8434

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (-𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem negsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8170	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		subsub 8408	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 − (𝐴 − 𝐵)) = ((0 − 𝐴) + 𝐵))
3	1, 2	mp3an1 1360	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 − (𝐴 − 𝐵)) = ((0 − 𝐴) + 𝐵))
4		df-neg 8352	. 2 ⊢ -(𝐴 − 𝐵) = (0 − (𝐴 − 𝐵))
5		df-neg 8352	. . 3 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
6	5	oveq1i 6027	. 2 ⊢ (-𝐴 + 𝐵) = ((0 − 𝐴) + 𝐵)
7	3, 4, 6	3eqtr4g 2289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (-𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  0cc0 8031   + caddc 8034   − cmin 8349  -cneg 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-neg 8352

This theorem is referenced by:  negdi  8435  negsubdi2  8437  neg2sub  8438  negsubdid  8504  odd2np1  12433  sin2pim  15536  cos2pim  15537