Theorem odd2np1 12497

Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1	|- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem odd2np1

Dummy variables k x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9551	. . . 4 |- 2 e. ZZ
2		divides 12413	. . . 4 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 || N <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
3	1, 2	mpan 424	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
4	3	notbid 673	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
5		elznn0 9538	. . . 4 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) )
6		odd2np1lem 12496	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
8		odd2np1lem 12496	. . . . . . 7 |- ( -u N e. NN0 -> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = -u N ) )
9		peano2z 9559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> ( x + 1 ) e. ZZ )
10		znegcl 9554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x + 1 ) e. ZZ -> -u ( x + 1 ) e. ZZ )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> -u ( x + 1 ) e. ZZ )
12	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N ) -> -u ( x + 1 ) e. ZZ )
13		zcn 9528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
14		2cn 9256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. CC
15		mulcl 8202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
16	14, 15	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( 2 x. x ) e. CC )
17		peano2cn 8356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 x. x ) e. CC -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC )
19	13, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC )
21		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> N e. RR )
22	21	recnd 8250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> N e. CC )
23		negcon2 8474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N <-> N = -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) ) )
24	20, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N <-> N = -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) ) )
25		eqcom 2233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) <-> -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = N )
26	14, 13, 15	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. CC )
27		ax-1cn 8168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. CC
28	14, 27	mulcli 8227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 x. 1 ) e. CC
29		addsubass 8431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 2 x. x ) e. CC /\ ( 2 x. 1 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) ) )
30	28, 27, 29	mp3an23 1366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 x. x ) e. CC -> ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) ) )
31	26, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) ) )
32		2t1e2 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 x. 1 ) = 2
33	32	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) = ( 2 - 1 )
34		2m1e1 9303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 - 1 ) = 1
35	33, 34	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) = 1
36	35	oveq2i 6039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 x. x ) + ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) + 1 )
37	31, 36	eqtr2di 2281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) )
38		adddi 8207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) )
39	14, 27, 38	mp3an13 1365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) )
40	13, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) )
41	40	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) )
42	37, 41	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) = ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) )
43	42	negeqd 8416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) )
44	9	zcnd 9647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> ( x + 1 ) e. CC )
45		mulneg2 8617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. CC /\ ( x + 1 ) e. CC ) -> ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) = -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) )
46	14, 44, 45	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) = -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) )
47	46	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = ( -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) + 1 ) )
48		mulcl 8202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. CC /\ ( x + 1 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) e. CC )
49	14, 44, 48	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) e. CC )
50		negsubdi 8477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) = ( -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) + 1 ) )
51	49, 27, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> -u ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) = ( -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) + 1 ) )
52	47, 51	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = -u ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) )
53	43, 52	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) )
55	54	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = N <-> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) )
56	25, 55	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( N = -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) <-> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) )
57	24, 56	bitrd 188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N <-> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) )
58	57	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N ) -> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N )
59		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = -u ( x + 1 ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) )
60	59	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = -u ( x + 1 ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) )
61	60	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = -u ( x + 1 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) )
62	61	rspcev 2911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u ( x + 1 ) e. ZZ /\ ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N )
63	12, 58, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N ) -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N )
64	63	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
65	64	rexlimdva 2651	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
66		znegcl 9554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
67	66	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) /\ ( y x. 2 ) = -u N ) -> -u y e. ZZ )
68		zcn 9528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
69		mulcl 8202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( y x. 2 ) e. CC )
70	68, 14, 69	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> ( y x. 2 ) e. CC )
71		recn 8208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> N e. CC )
72		negcon2 8474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y x. 2 ) e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( y x. 2 ) = -u N <-> N = -u ( y x. 2 ) ) )
73	70, 71, 72	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = -u N <-> N = -u ( y x. 2 ) ) )
74		eqcom 2233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = -u ( y x. 2 ) <-> -u ( y x. 2 ) = N )
75		mulneg1 8616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( -u y x. 2 ) = -u ( y x. 2 ) )
76	68, 14, 75	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> ( -u y x. 2 ) = -u ( y x. 2 ) )
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( -u y x. 2 ) = -u ( y x. 2 ) )
78	77	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( ( -u y x. 2 ) = N <-> -u ( y x. 2 ) = N ) )
79	74, 78	bitr4id 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( N = -u ( y x. 2 ) <-> ( -u y x. 2 ) = N ) )
80	73, 79	bitrd 188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = -u N <-> ( -u y x. 2 ) = N ) )
81	80	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) /\ ( y x. 2 ) = -u N ) -> ( -u y x. 2 ) = N )
82		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = -u y -> ( k x. 2 ) = ( -u y x. 2 ) )
83	82	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = -u y -> ( ( k x. 2 ) = N <-> ( -u y x. 2 ) = N ) )
84	83	rspcev 2911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u y e. ZZ /\ ( -u y x. 2 ) = N ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N )
85	67, 81, 84	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) /\ ( y x. 2 ) = -u N ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N )
86	85	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = -u N -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
87	86	rexlimdva 2651	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = -u N -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
88	65, 87	orim12d 794	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = -u N ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) )
89	8, 88	syl5 32	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( -u N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) )
90	89	imp 124	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
91	7, 90	jaodan 805	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
92	5, 91	sylbi 121	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
93		halfnz 9620	. . . 4 |- -. ( 1 / 2 ) e. ZZ
94		reeanv 2704	. . . . 5 |- ( E. n e. ZZ E. k e. ZZ ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ ( k x. 2 ) = N ) <-> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
95		eqtr3 2251	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ ( k x. 2 ) = N ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( k x. 2 ) )
96		zcn 9528	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
97		mulcom 8204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( k x. 2 ) = ( 2 x. k ) )
98	96, 14, 97	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ -> ( k x. 2 ) = ( 2 x. k ) )
99	98	eqeq2d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( k x. 2 ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
100	99	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( k x. 2 ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
101		mulcl 8202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ k e. CC ) -> ( 2 x. k ) e. CC )
102	14, 96, 101	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ -> ( 2 x. k ) e. CC )
103		zcn 9528	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
104		mulcl 8202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ n e. CC ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
105	14, 103, 104	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. CC )
106		subadd 8424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. k ) e. CC /\ ( 2 x. n ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
107	27, 106	mp3an3 1363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. k ) e. CC /\ ( 2 x. n ) e. CC ) -> ( ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
108	102, 105, 107	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
109		subcl 8420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. CC /\ n e. CC ) -> ( k - n ) e. CC )
110		2ap0 9278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 # 0
111	14, 110	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
112		eqcom 2233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 1 / 2 ) = ( k - n ) )
113		divmulap 8897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( k - n ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) = ( k - n ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
114	112, 113	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ ( k - n ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
115	27, 111, 114	mp3an13 1365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k - n ) e. CC -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
116	109, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
117	116	ancoms 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
118		subdi 8606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. CC /\ k e. CC /\ n e. CC ) -> ( 2 x. ( k - n ) ) = ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) )
119	14, 118	mp3an1 1361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. CC /\ n e. CC ) -> ( 2 x. ( k - n ) ) = ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) )
120	119	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ k e. CC ) -> ( 2 x. ( k - n ) ) = ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) )
121	120	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 ) )
122	117, 121	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 ) )
123	103, 96, 122	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 ) )
124		zsubcl 9564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( k - n ) e. ZZ )
125		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) -> ( ( k - n ) e. ZZ <-> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
126	124, 125	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
127	126	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
128	123, 127	sylbird 170	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
129	108, 128	sylbird 170	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
130	100, 129	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( k x. 2 ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
131	95, 130	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ ( k x. 2 ) = N ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
132	131	rexlimivv 2657	. . . . 5 |- ( E. n e. ZZ E. k e. ZZ ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ ( k x. 2 ) = N ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ )
133	94, 132	sylbir 135	. . . 4 |- ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ )
134	93, 133	mto 668	. . 3 |- -. ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N )
135		df-xor 1421	. . . . 5 |- ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/_ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) <-> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) /\ -. ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) )
136		xorbin 1429	. . . . 5 |- ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/_ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
137	135, 136	sylbir 135	. . . 4 |- ( ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) /\ -. ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
138	137	bicomd 141	. . 3 |- ( ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) /\ -. ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) -> ( -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
139	92, 134, 138	sylancl 413	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
140	4, 139	bitrd 188	1 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   \/_ wxo 1420   e. wcel 2202   E.wrex 2512   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   - cmin 8392   -ucneg 8393   # cap 8803   / cdiv 8894   2c2 9236   NN0cn0 9444   ZZcz 9523   || cdvds 12411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-n0 9445  df-z 9524  df-dvds 12412

This theorem is referenced by:  oddm1even  12499  oexpneg  12501  oddnn02np1  12504  2tp1odd  12508  sqoddm1div8z  12510  ltoddhalfle  12517  halfleoddlt  12518  opoe  12519  omoe  12520  opeo  12521  omeo  12522  m1expo  12524  m1exp1  12525  flodddiv4  12560  lgsquadlem1  15879