ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  odd2np1 Unicode version

Theorem odd2np1 11497
Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem odd2np1
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 9050 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
2 divides 11422 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  N  <->  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
31, 2mpan 420 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  N  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
43notbid 641 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
5 elznn0 9037 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
6 odd2np1lem 11496 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. n  e.  ZZ  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
76adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
8 odd2np1lem 11496 . . . . . . 7  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  \/  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  -u N
) )
9 peano2z 9058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  ZZ )
10 znegcl 9053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  +  1 )  e.  ZZ  ->  -u (
x  +  1 )  e.  ZZ )
119, 10syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
x  +  1 )  e.  ZZ )
1211ad2antlr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N )  ->  -u (
x  +  1 )  e.  ZZ )
13 zcn 9027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
14 2cn 8759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
15 mulcl 7715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  CC )
1614, 15mpan 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
17 peano2cn 7865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  x )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  e.  CC )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  e.  CC )
1913, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  e.  CC )
2019adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  e.  CC )
21 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
2221recnd 7762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
23 negcon2 7983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 ) ) )
2420, 22, 23syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 ) ) )
25 eqcom 2119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  <->  -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  N )
2614, 13, 15sylancr 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
27 ax-1cn 7681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
2814, 27mulcli 7739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  x.  1 )  e.  CC
29 addsubass 7940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 2  x.  x
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) )
3028, 27, 29mp3an23 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  x.  x )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
3126, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
32 2t1e2 8841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3332oveq1i 5752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
34 2m1e1 8806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  -  1 )  =  1
3533, 34eqtri 2138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  1
3635oveq2i 5753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  x.  x )  +  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  1 )
3731, 36syl6req 2167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  - 
1 ) )
38 adddi 7720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
3914, 27, 38mp3an13 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
4013, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
4140oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  x )  +  ( 2  x.  1 ) )  - 
1 ) )
4237, 41eqtr4d 2153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )
4342negeqd 7925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  -u ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )
449zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  CC )
45 mulneg2 8126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( x  +  1
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) )  =  -u ( 2  x.  (
x  +  1 ) ) )
4614, 44, 45sylancr 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  -u (
x  +  1 ) )  =  -u (
2  x.  ( x  +  1 ) ) )
4746oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  ( -u (
2  x.  ( x  +  1 ) )  +  1 ) )
48 mulcl 7715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( x  +  1
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( x  +  1 ) )  e.  CC )
4914, 44, 48sylancr 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( x  +  1 ) )  e.  CC )
50 negsubdi 7986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 2  x.  (
x  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 )  =  (
-u ( 2  x.  ( x  +  1 ) )  +  1 ) )
5149, 27, 50sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
( 2  x.  (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( -u (
2  x.  ( x  +  1 ) )  +  1 ) )
5247, 51eqtr4d 2153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  -u ( ( 2  x.  ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )
5343, 52eqtr4d 2153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u (
( 2  x.  x
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 ) )
5453adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  -> 
-u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 ) )
5554eqeq1d 2126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  N  <->  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 )  =  N ) )
5625, 55syl5bb 191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  =  -u ( ( 2  x.  x )  +  1 )  <->  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 )  =  N ) )
5724, 56bitrd 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N 
<->  ( ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) )  +  1 )  =  N ) )
5857biimpa 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N )  ->  (
( 2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  N )
59 oveq2 5750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  -u ( x  + 
1 )  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) ) )
6059oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  -u ( x  + 
1 )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  -u ( x  + 
1 ) )  +  1 ) )
6160eqeq1d 2126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  -u ( x  + 
1 )  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  ( (
2  x.  -u (
x  +  1 ) )  +  1 )  =  N ) )
6261rspcev 2763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u ( x  + 
1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  -u ( x  +  1 ) )  +  1 )  =  N )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N )
6312, 58, 62syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N )  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N )
6463ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
6564rexlimdva 2526 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  ->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
66 znegcl 9053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  -u y  e.  ZZ )
6766ad2antlr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  -u y  e.  ZZ )
68 zcn 9027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
69 mulcl 7715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( y  x.  2 )  e.  CC )
7068, 14, 69sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  x.  2 )  e.  CC )
71 recn 7721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
72 negcon2 7983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  x.  2 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
y  x.  2 ) ) )
7370, 71, 72syl2anr 288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N 
<->  N  =  -u (
y  x.  2 ) ) )
74 mulneg1 8125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( -u y  x.  2 )  =  -u ( y  x.  2 ) )
7568, 14, 74sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( -u y  x.  2 )  =  -u ( y  x.  2 ) )
7675adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u y  x.  2 )  =  -u ( y  x.  2 ) )
7776eqeq1d 2126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( -u y  x.  2 )  =  N  <->  -u ( y  x.  2 )  =  N ) )
78 eqcom 2119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  -u ( y  x.  2 )  <->  -u ( y  x.  2 )  =  N )
7977, 78syl6rbbr 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( N  =  -u ( y  x.  2 )  <->  ( -u y  x.  2 )  =  N ) )
8073, 79bitrd 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N 
<->  ( -u y  x.  2 )  =  N ) )
8180biimpa 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  ( -u y  x.  2 )  =  N )
82 oveq1 5749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  -u y  ->  (
k  x.  2 )  =  ( -u y  x.  2 ) )
8382eqeq1d 2126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  -u y  ->  (
( k  x.  2 )  =  N  <->  ( -u y  x.  2 )  =  N ) )
8483rspcev 2763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u y  e.  ZZ  /\  ( -u y  x.  2 )  =  N )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )
8567, 81, 84syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )
8685ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( y  x.  2 )  =  -u N  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
8786rexlimdva 2526 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  -u N  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
8865, 87orim12d 760 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( E. x  e.  ZZ  ( ( 2  x.  x )  +  1 )  =  -u N  \/  E. y  e.  ZZ  ( y  x.  2 )  =  -u N )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) ) )
898, 88syl5 32 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u N  e.  NN0  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) ) )
9089imp 123 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
917, 90jaodan 771 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
925, 91sylbi 120 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )
93 halfnz 9115 . . . 4  |-  -.  (
1  /  2 )  e.  ZZ
94 reeanv 2577 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  <-> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
95 eqtr3 2137 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 ) )
96 zcn 9027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
97 mulcom 7717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( k  x.  2 )  =  ( 2  x.  k ) )
9896, 14, 97sylancl 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  x.  2 )  =  ( 2  x.  k ) )
9998eqeq2d 2129 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 )  <->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k
) ) )
10099adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 )  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
101 mulcl 7715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  CC )
10214, 96, 101sylancr 410 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
103 zcn 9027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
104 mulcl 7715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  CC )
10514, 103, 104sylancr 410 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
106 subadd 7933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  n
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) )  =  1  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
10727, 106mp3an3 1289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  n
)  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n ) )  =  1  <->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
108102, 105, 107syl2anr 288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) )  =  1  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k ) ) )
109 subcl 7929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( k  -  n
)  e.  CC )
110 2ap0 8781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2 #  0
11114, 110pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
112 eqcom 2119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  -  n )  =  ( 1  / 
2 )  <->  ( 1  /  2 )  =  ( k  -  n
) )
113 divmulap 8403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( k  -  n
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  =  ( k  -  n
)  <->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  =  1 ) )
114112, 113syl5bb 191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( k  -  n
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2
)  <->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  =  1 ) )
11527, 111, 114mp3an13 1291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  -  n )  e.  CC  ->  (
( k  -  n
)  =  ( 1  /  2 )  <->  ( 2  x.  ( k  -  n ) )  =  1 ) )
116109, 115syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  1 ) )
117116ancoms 266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  1 ) )
118 subdi 8115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) ) )
11914, 118mp3an1 1287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n ) ) )
120119ancoms 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n ) ) )
121120eqeq1d 2126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( k  -  n
) )  =  1  <-> 
( ( 2  x.  k )  -  (
2  x.  n ) )  =  1 ) )
122117, 121bitrd 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( ( 2  x.  k )  -  (
2  x.  n ) )  =  1 ) )
123103, 96, 122syl2an 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  <-> 
( ( 2  x.  k )  -  (
2  x.  n ) )  =  1 ) )
124 zsubcl 9063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( k  -  n
)  e.  ZZ )
125 eleq1 2180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  -  n )  =  ( 1  / 
2 )  ->  (
( k  -  n
)  e.  ZZ  <->  ( 1  /  2 )  e.  ZZ ) )
126124, 125syl5ibcom 154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
127126ancoms 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  -  n )  =  ( 1  /  2 )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
128123, 127sylbird 169 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  -  ( 2  x.  n
) )  =  1  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
129108, 128sylbird 169 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( 2  x.  k )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
130100, 129sylbid 149 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( k  x.  2 )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ ) )
13195, 130syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  ->  (
1  /  2 )  e.  ZZ ) )
132131rexlimivv 2532 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  ( k  x.  2 )  =  N )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  ZZ )
13394, 132sylbir 134 . . . 4  |-  ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N )  -> 
( 1  /  2
)  e.  ZZ )
13493, 133mto 636 . . 3  |-  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N )
135 df-xor 1339 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/_  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N )  <->  ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N )  /\  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) ) )
136 xorbin 1347 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/_  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N )  -> 
( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
137135, 136sylbir 134 . . . 4  |-  ( ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )  /\  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N ) )
138137bicomd 140 . . 3  |-  ( ( ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  \/  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N )  /\  -.  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  /\  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N ) )  ->  ( -.  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  2 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
13992, 134, 138sylancl 409 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
1404, 139bitrd 187 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    /\ w3a 947    = wceq 1316    \/_ wxo 1338    e. wcel 1465   E.wrex 2394   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593    - cmin 7901   -ucneg 7902   # cap 8311    / cdiv 8400   2c2 8739   NN0cn0 8945   ZZcz 9022    || cdvds 11420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-xor 1339  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-n0 8946  df-z 9023  df-dvds 11421
This theorem is referenced by:  oddm1even  11499  oexpneg  11501  oddnn02np1  11504  2tp1odd  11508  sqoddm1div8z  11510  ltoddhalfle  11517  halfleoddlt  11518  opoe  11519  omoe  11520  opeo  11521  omeo  11522  m1expo  11524  m1exp1  11525  flodddiv4  11558
  Copyright terms: Public domain W3C validator