Theorem odd2np1 12014

Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1	|- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem odd2np1

Dummy variables k x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9345	. . . 4 |- 2 e. ZZ
2		divides 11932	. . . 4 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 || N <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
3	1, 2	mpan 424	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || N <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
4	3	notbid 668	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
5		elznn0 9332	. . . 4 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) )
6		odd2np1lem 12013	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
7	6	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
8		odd2np1lem 12013	. . . . . . 7 |- ( -u N e. NN0 -> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = -u N ) )
9		peano2z 9353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> ( x + 1 ) e. ZZ )
10		znegcl 9348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x + 1 ) e. ZZ -> -u ( x + 1 ) e. ZZ )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> -u ( x + 1 ) e. ZZ )
12	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N ) -> -u ( x + 1 ) e. ZZ )
13		zcn 9322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
14		2cn 9053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. CC
15		mulcl 7999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
16	14, 15	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( 2 x. x ) e. CC )
17		peano2cn 8154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 x. x ) e. CC -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC )
19	13, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC )
21		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> N e. RR )
22	21	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> N e. CC )
23		negcon2 8272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N <-> N = -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) ) )
24	20, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N <-> N = -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) ) )
25		eqcom 2195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) <-> -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = N )
26	14, 13, 15	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. CC )
27		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. CC
28	14, 27	mulcli 8024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 x. 1 ) e. CC
29		addsubass 8229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 2 x. x ) e. CC /\ ( 2 x. 1 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) ) )
30	28, 27, 29	mp3an23 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 x. x ) e. CC -> ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) ) )
31	26, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) + ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) ) )
32		2t1e2 9135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 x. 1 ) = 2
33	32	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) = ( 2 - 1 )
34		2m1e1 9100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 - 1 ) = 1
35	33, 34	eqtri 2214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) = 1
36	35	oveq2i 5929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 x. x ) + ( ( 2 x. 1 ) - 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) + 1 )
37	31, 36	eqtr2di 2243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) )
38		adddi 8004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) )
39	14, 27, 38	mp3an13 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. CC -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) )
40	13, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) )
41	40	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. 1 ) ) - 1 ) )
42	37, 41	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. x ) + 1 ) = ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) )
43	42	negeqd 8214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) )
44	9	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> ( x + 1 ) e. CC )
45		mulneg2 8415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. CC /\ ( x + 1 ) e. CC ) -> ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) = -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) )
46	14, 44, 45	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) = -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) )
47	46	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = ( -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) + 1 ) )
48		mulcl 7999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. CC /\ ( x + 1 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) e. CC )
49	14, 44, 48	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. ( x + 1 ) ) e. CC )
50		negsubdi 8275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) = ( -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) + 1 ) )
51	49, 27, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> -u ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) = ( -u ( 2 x. ( x + 1 ) ) + 1 ) )
52	47, 51	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = -u ( ( 2 x. ( x + 1 ) ) - 1 ) )
53	43, 52	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) )
55	54	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) = N <-> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) )
56	25, 55	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( N = -u ( ( 2 x. x ) + 1 ) <-> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) )
57	24, 56	bitrd 188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N <-> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) )
58	57	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N ) -> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N )
59		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = -u ( x + 1 ) -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) )
60	59	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = -u ( x + 1 ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) )
61	60	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = -u ( x + 1 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) )
62	61	rspcev 2864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u ( x + 1 ) e. ZZ /\ ( ( 2 x. -u ( x + 1 ) ) + 1 ) = N ) -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N )
63	12, 58, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N ) -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N )
64	63	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
65	64	rexlimdva 2611	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N -> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
66		znegcl 9348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
67	66	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) /\ ( y x. 2 ) = -u N ) -> -u y e. ZZ )
68		zcn 9322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
69		mulcl 7999	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( y x. 2 ) e. CC )
70	68, 14, 69	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> ( y x. 2 ) e. CC )
71		recn 8005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> N e. CC )
72		negcon2 8272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y x. 2 ) e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( y x. 2 ) = -u N <-> N = -u ( y x. 2 ) ) )
73	70, 71, 72	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = -u N <-> N = -u ( y x. 2 ) ) )
74		eqcom 2195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = -u ( y x. 2 ) <-> -u ( y x. 2 ) = N )
75		mulneg1 8414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( -u y x. 2 ) = -u ( y x. 2 ) )
76	68, 14, 75	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ZZ -> ( -u y x. 2 ) = -u ( y x. 2 ) )
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( -u y x. 2 ) = -u ( y x. 2 ) )
78	77	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( ( -u y x. 2 ) = N <-> -u ( y x. 2 ) = N ) )
79	74, 78	bitr4id 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( N = -u ( y x. 2 ) <-> ( -u y x. 2 ) = N ) )
80	73, 79	bitrd 188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = -u N <-> ( -u y x. 2 ) = N ) )
81	80	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) /\ ( y x. 2 ) = -u N ) -> ( -u y x. 2 ) = N )
82		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = -u y -> ( k x. 2 ) = ( -u y x. 2 ) )
83	82	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = -u y -> ( ( k x. 2 ) = N <-> ( -u y x. 2 ) = N ) )
84	83	rspcev 2864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u y e. ZZ /\ ( -u y x. 2 ) = N ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N )
85	67, 81, 84	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) /\ ( y x. 2 ) = -u N ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N )
86	85	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. 2 ) = -u N -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
87	86	rexlimdva 2611	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = -u N -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
88	65, 87	orim12d 787	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( ( E. x e. ZZ ( ( 2 x. x ) + 1 ) = -u N \/ E. y e. ZZ ( y x. 2 ) = -u N ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) )
89	8, 88	syl5 32	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( -u N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) )
90	89	imp 124	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN0 ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
91	7, 90	jaodan 798	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
92	5, 91	sylbi 121	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
93		halfnz 9413	. . . 4 |- -. ( 1 / 2 ) e. ZZ
94		reeanv 2664	. . . . 5 |- ( E. n e. ZZ E. k e. ZZ ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ ( k x. 2 ) = N ) <-> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
95		eqtr3 2213	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ ( k x. 2 ) = N ) -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( k x. 2 ) )
96		zcn 9322	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
97		mulcom 8001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( k x. 2 ) = ( 2 x. k ) )
98	96, 14, 97	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ -> ( k x. 2 ) = ( 2 x. k ) )
99	98	eqeq2d 2205	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( k x. 2 ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
100	99	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( k x. 2 ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
101		mulcl 7999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ k e. CC ) -> ( 2 x. k ) e. CC )
102	14, 96, 101	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ -> ( 2 x. k ) e. CC )
103		zcn 9322	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
104		mulcl 7999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ n e. CC ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
105	14, 103, 104	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. CC )
106		subadd 8222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. k ) e. CC /\ ( 2 x. n ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
107	27, 106	mp3an3 1337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. k ) e. CC /\ ( 2 x. n ) e. CC ) -> ( ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
108	102, 105, 107	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) ) )
109		subcl 8218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. CC /\ n e. CC ) -> ( k - n ) e. CC )
110		2ap0 9075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 # 0
111	14, 110	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
112		eqcom 2195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 1 / 2 ) = ( k - n ) )
113		divmulap 8694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( k - n ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) = ( k - n ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
114	112, 113	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ ( k - n ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
115	27, 111, 114	mp3an13 1339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k - n ) e. CC -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
116	109, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
117	116	ancoms 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 ) )
118		subdi 8404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. CC /\ k e. CC /\ n e. CC ) -> ( 2 x. ( k - n ) ) = ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) )
119	14, 118	mp3an1 1335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. CC /\ n e. CC ) -> ( 2 x. ( k - n ) ) = ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) )
120	119	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ k e. CC ) -> ( 2 x. ( k - n ) ) = ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) )
121	120	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( 2 x. ( k - n ) ) = 1 <-> ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 ) )
122	117, 121	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 ) )
123	103, 96, 122	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) <-> ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 ) )
124		zsubcl 9358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( k - n ) e. ZZ )
125		eleq1 2256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) -> ( ( k - n ) e. ZZ <-> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
126	124, 125	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
127	126	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k - n ) = ( 1 / 2 ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
128	123, 127	sylbird 170	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. k ) - ( 2 x. n ) ) = 1 -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
129	108, 128	sylbird 170	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( 2 x. k ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
130	100, 129	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( k x. 2 ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
131	95, 130	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( n e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ ( k x. 2 ) = N ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ ) )
132	131	rexlimivv 2617	. . . . 5 |- ( E. n e. ZZ E. k e. ZZ ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ ( k x. 2 ) = N ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ )
133	94, 132	sylbir 135	. . . 4 |- ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) -> ( 1 / 2 ) e. ZZ )
134	93, 133	mto 663	. . 3 |- -. ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N )
135		df-xor 1387	. . . . 5 |- ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/_ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) <-> ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) /\ -. ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) )
136		xorbin 1395	. . . . 5 |- ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/_ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
137	135, 136	sylbir 135	. . . 4 |- ( ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) /\ -. ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) )
138	137	bicomd 141	. . 3 |- ( ( ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N \/ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) /\ -. ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N /\ E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N ) ) -> ( -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
139	92, 134, 138	sylancl 413	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
140	4, 139	bitrd 188	1 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   \/_ wxo 1386   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   - cmin 8190   -ucneg 8191   # cap 8600   / cdiv 8691   2c2 9033   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   || cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  oddm1even  12016  oexpneg  12018  oddnn02np1  12021  2tp1odd  12025  sqoddm1div8z  12027  ltoddhalfle  12034  halfleoddlt  12035  opoe  12036  omoe  12037  opeo  12038  omeo  12039  m1expo  12041  m1exp1  12042  flodddiv4  12075  lgsquadlem1  15191