Theorem nn0addcld 9462

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	|- ( ph -> A e. NN0 )
nn0addcld.2	|- ( ph -> B e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
2		nn0addcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN0 )
3		nn0addcl 9440	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A + B ) e. NN0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202  (class class class)co 6021   + caddc 8038   NN0cn0 9405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-i2m1 8140  ax-0id 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6024  df-inn 9147  df-n0 9406

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10662  expaddzap  10849  nn0opthlem1d  10986  nn0opthlem2d  10987  nn0opthd  10988  nn0opth2d  10989  bccl  11033  ccatfvalfi  11176  ccatcl  11177  ccatalpha  11197  swrdccat2  11259  mertenslemi1  12117  bitsmod  12538  bitsinv1lem  12543  pcpremul  12887  gzabssqcl  12975  4sqlem2  12983  mul4sq  12988  4sqlemsdc  12994  4sqlem12  12996  4sqlem14  12998  4sqlem16  13000  mplsubgfilemcl  14740  plymullem  15501  lgseisenlem2  15827  2sqlem8  15879  vtxdgfif  16171  clwwlknccat  16301