Theorem nn0addcld 9323

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	|- ( ph -> A e. NN0 )
nn0addcld.2	|- ( ph -> B e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
2		nn0addcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN0 )
3		nn0addcl 9301	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A + B ) e. NN0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   + caddc 7899   NN0cn0 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-n0 9267

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10505  expaddzap  10692  nn0opthlem1d  10829  nn0opthlem2d  10830  nn0opthd  10831  nn0opth2d  10832  bccl  10876  mertenslemi1  11717  bitsmod  12138  bitsinv1lem  12143  pcpremul  12487  gzabssqcl  12575  4sqlem2  12583  mul4sq  12588  4sqlemsdc  12594  4sqlem12  12596  4sqlem14  12598  4sqlem16  12600  plymullem  15070  lgseisenlem2  15396  2sqlem8  15448