Theorem nn0addcld 9606

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	|- ( ph -> A e. NN0 )
nn0addcld.2	|- ( ph -> B e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
2		nn0addcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN0 )
3		nn0addcl 9580	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A + B ) e. NN0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6078   + caddc 8175   NN0cn0 9545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-i2m1 8277  ax-0id 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6081  df-inn 9287  df-n0 9546

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10814  expaddzap  11001  nn0opthlem1d  11139  nn0opthlem2d  11140  nn0opthd  11141  nn0opth2d  11142  bccl  11186  ccatfvalfi  11341  ccatcl  11342  ccatalpha  11362  swrdccat2  11424  mertenslemi1  12283  bitsmod  12704  bitsinv1lem  12709  pcpremul  13053  gzabssqcl  13141  4sqlem2  13149  mul4sq  13154  4sqlemsdc  13160  4sqlem12  13162  4sqlem14  13164  4sqlem16  13166  mplsubgfilemcl  15016  plymullem  15777  lgseisenlem2  16107  2sqlem8  16159  vtxdgfif  16451  clwwlknccat  16581