Theorem nn0addcld 9629

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	|- ( ph -> A e. NN0 )
nn0addcld.2	|- ( ph -> B e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
2		nn0addcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN0 )
3		nn0addcl 9603	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A + B ) e. NN0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. NN0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   + caddc 8183   NN0cn0 9568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-n0 9569

This theorem is used by:  modsumfzodifsn  10848  expaddzap  11035  nn0opthlem1d  11174  nn0opthlem2d  11175  nn0opthd  11176  nn0opth2d  11177  bccl  11221  ccatfvalfi  11376  ccatcl  11377  ccatalpha  11397  swrdccat2  11459  mertenslemi1  12321  bitsmod  12742  bitsinv1lem  12747  pcpremul  13095  gzabssqcl  13183  4sqlem2  13191  mul4sq  13196  4sqlemsdc  13202  4sqlem12  13204  4sqlem14  13206  4sqlem16  13208  mplsubgfilemcl  15181  plymullem  15942  chtublem  16256  lgseisenlem2  16356  2sqlem8  16408  vtxdgfif  16700  clwwlknccat  16830