Theorem nn0addcld 9635

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	|- ( ph -> A e. NN0 )
nn0addcld.2	|- ( ph -> B e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
2		nn0addcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN0 )
3		nn0addcl 9609	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A + B ) e. NN0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. NN0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   + caddc 8188   NN0cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-n0 9575

This theorem is used by:  modsumfzodifsn  10854  expaddzap  11041  nn0opthlem1d  11180  nn0opthlem2d  11181  nn0opthd  11182  nn0opth2d  11183  bccl  11227  ccatfvalfi  11382  ccatcl  11383  ccatalpha  11403  swrdccat2  11465  mertenslemi1  12327  bitsmod  12748  bitsinv1lem  12753  pcpremul  13101  gzabssqcl  13189  4sqlem2  13197  mul4sq  13202  4sqlemsdc  13208  4sqlem12  13210  4sqlem14  13212  4sqlem16  13214  mplsubgfilemcl  15215  plymullem  15976  chtublem  16295  lgseisenlem2  16395  2sqlem8  16447  vtxdgfif  16739  clwwlknccat  16869