Theorem nn0addcld 9559

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	|- ( ph -> A e. NN0 )
nn0addcld.2	|- ( ph -> B e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
2		nn0addcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN0 )
3		nn0addcl 9533	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A + B ) e. NN0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205  (class class class)co 6052   + caddc 8132   NN0cn0 9498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-i2m1 8234  ax-0id 8237

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-iota 5314  df-fv 5362  df-ov 6055  df-inn 9240  df-n0 9499

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10762  expaddzap  10949  nn0opthlem1d  11086  nn0opthlem2d  11087  nn0opthd  11088  nn0opth2d  11089  bccl  11133  ccatfvalfi  11284  ccatcl  11285  ccatalpha  11305  swrdccat2  11367  mertenslemi1  12225  bitsmod  12646  bitsinv1lem  12651  pcpremul  12995  gzabssqcl  13083  4sqlem2  13091  mul4sq  13096  4sqlemsdc  13102  4sqlem12  13104  4sqlem14  13106  4sqlem16  13108  mplsubgfilemcl  14871  plymullem  15632  lgseisenlem2  15961  2sqlem8  16013  vtxdgfif  16305  clwwlknccat  16435