ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0opth2d Unicode version

Theorem nn0opth2d 10674
Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. See comments for nn0opthd 10673. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opthd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
nn0opthd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
nn0opthd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
nn0opthd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0opth2d  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  +  B )  =  ( ( ( C  +  D ) ^ 2 )  +  D )  <-> 
( A  =  C  /\  B  =  D ) ) )

Proof of Theorem nn0opth2d
StepHypRef Expression
1 nn0opthd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0opthd.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
31, 2nn0addcld 9209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN0 )
43nn0cnd 9207 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
54sqvald 10623 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  +  B ) ) )
65oveq1d 5883 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  +  B
)  =  ( ( ( A  +  B
)  x.  ( A  +  B ) )  +  B ) )
7 nn0opthd.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
8 nn0opthd.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
97, 8nn0addcld 9209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  +  D
)  e.  NN0 )
109nn0cnd 9207 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  +  D
)  e.  CC )
1110sqvald 10623 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  D ) ^ 2 )  =  ( ( C  +  D )  x.  ( C  +  D ) ) )
1211oveq1d 5883 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  +  D ) ^
2 )  +  D
)  =  ( ( ( C  +  D
)  x.  ( C  +  D ) )  +  D ) )
136, 12eqeq12d 2192 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  +  B )  =  ( ( ( C  +  D ) ^ 2 )  +  D )  <-> 
( ( ( A  +  B )  x.  ( A  +  B
) )  +  B
)  =  ( ( ( C  +  D
)  x.  ( C  +  D ) )  +  D ) ) )
141, 2, 7, 8nn0opthd 10673 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  +  B )  x.  ( A  +  B ) )  +  B )  =  ( ( ( C  +  D )  x.  ( C  +  D )
)  +  D )  <-> 
( A  =  C  /\  B  =  D ) ) )
1513, 14bitrd 188 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  +  B )  =  ( ( ( C  +  D ) ^ 2 )  +  D )  <-> 
( A  =  C  /\  B  =  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148  (class class class)co 5868    + caddc 7792    x. cmul 7794   2c2 8946   NN0cn0 9152   ^cexp 10492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-seqfrec 10419  df-exp 10493
This theorem is referenced by:  nn0opth2  10675
  Copyright terms: Public domain W3C validator