Theorem nn0opth2d 10940

Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. See comments for nn0opthd 10939. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthd.1	|- ( ph -> A e. NN0 )
nn0opthd.2	|- ( ph -> B e. NN0 )
nn0opthd.3	|- ( ph -> C e. NN0 )
nn0opthd.4	|- ( ph -> D e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0opth2d	|- ( ph -> ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) + B ) = ( ( ( C + D ) ^ 2 ) + D ) <-> ( A = C /\ B = D ) ) )

Proof of Theorem nn0opth2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthd.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. NN0 )
2		nn0opthd.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. NN0 )
3	1, 2	nn0addcld 9422	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A + B ) e. NN0 )
4	3	nn0cnd 9420	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + B ) e. CC )
5	4	sqvald 10887	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + B ) ^ 2 ) = ( ( A + B ) x. ( A + B ) ) )
6	5	oveq1d 6015	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) + B ) = ( ( ( A + B ) x. ( A + B ) ) + B ) )
7		nn0opthd.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. NN0 )
8		nn0opthd.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. NN0 )
9	7, 8	nn0addcld 9422	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C + D ) e. NN0 )
10	9	nn0cnd 9420	. . . . 5 |- ( ph -> ( C + D ) e. CC )
11	10	sqvald 10887	. . . 4 |- ( ph -> ( ( C + D ) ^ 2 ) = ( ( C + D ) x. ( C + D ) ) )
12	11	oveq1d 6015	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( C + D ) ^ 2 ) + D ) = ( ( ( C + D ) x. ( C + D ) ) + D ) )
13	6, 12	eqeq12d 2244	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) + B ) = ( ( ( C + D ) ^ 2 ) + D ) <-> ( ( ( A + B ) x. ( A + B ) ) + B ) = ( ( ( C + D ) x. ( C + D ) ) + D ) ) )
14	1, 2, 7, 8	nn0opthd 10939	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( A + B ) x. ( A + B ) ) + B ) = ( ( ( C + D ) x. ( C + D ) ) + D ) <-> ( A = C /\ B = D ) ) )
15	13, 14	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( ( ( ( A + B ) ^ 2 ) + B ) = ( ( ( C + D ) ^ 2 ) + D ) <-> ( A = C /\ B = D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6000   + caddc 7998   x. cmul 8000   2c2 9157   NN0cn0 9365   ^cexp 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-seqfrec 10665  df-exp 10756

This theorem is referenced by:  nn0opth2  10941