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Theorem 4sqlem2 12389
Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . Change bound variables in S. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem2 |- ( A e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:   a, b, c, d, n, w, x, y, z   A, a, b, c, d, n   S, a, b, c, d, n
Allowed substitution hints:   A( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)
Proof of Theorem 4sqlem2
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
21eleq2i 2244 . 2 |- ( A e. S <-> A e. { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) } )
3 zsqcl2 10600 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. ZZ -> ( a ^ 2 ) e. NN0 )
43ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( a ^ 2 ) e. NN0 )
5 zsqcl2 10600 . . . . . . . . . 10 |- ( b e. ZZ -> ( b ^ 2 ) e. NN0 )
65ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( b ^ 2 ) e. NN0 )
74, 6nn0addcld 9235 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) e. NN0 )
8 zsqcl2 10600 . . . . . . . . . 10 |- ( c e. ZZ -> ( c ^ 2 ) e. NN0 )
98ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( c ^ 2 ) e. NN0 )
10 zsqcl2 10600 . . . . . . . . . 10 |- ( d e. ZZ -> ( d ^ 2 ) e. NN0 )
1110ad2antll 491 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( d ^ 2 ) e. NN0 )
129, 11nn0addcld 9235 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) e. NN0 )
137, 12nn0addcld 9235 . . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
14 eleq1 2240 . . . . . . 7 |- ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> ( A e. NN0 <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) e. NN0 ) )
1513, 14syl5ibrcom 157 . . . . . 6 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. NN0 ) )
16 elex 2750 . . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> A e. _V )
1715, 16syl6 33 . . . . 5 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V ) )
1817rexlimdvva 2602 . . . 4 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V ) )
1918rexlimivv 2600 . . 3 |- ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V )
20 oveq1 5884 . . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( x ^ 2 ) = ( a ^ 2 ) )
2120oveq1d 5892 . . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
2221oveq1d 5892 . . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
2322eqeq2d 2189 . . . . . 6 |- ( x = a -> ( n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
24232rexbidv 2502 . . . . 5 |- ( x = a -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
25 oveq1 5884 . . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( y ^ 2 ) = ( b ^ 2 ) )
2625oveq2d 5893 . . . . . . . 8 |- ( y = b -> ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
2726oveq1d 5892 . . . . . . 7 |- ( y = b -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
2827eqeq2d 2189 . . . . . 6 |- ( y = b -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
29282rexbidv 2502 . . . . 5 |- ( y = b -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
3024, 29cbvrex2vw 2717 . . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
31 oveq1 5884 . . . . . . . . . 10 |- ( z = c -> ( z ^ 2 ) = ( c ^ 2 ) )
3231oveq1d 5892 . . . . . . . . 9 |- ( z = c -> ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) = ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 5893 . . . . . . . 8 |- ( z = c -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
3433eqeq2d 2189 . . . . . . 7 |- ( z = c -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
35 oveq1 5884 . . . . . . . . . 10 |- ( w = d -> ( w ^ 2 ) = ( d ^ 2 ) )
3635oveq2d 5893 . . . . . . . . 9 |- ( w = d -> ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) = ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
3736oveq2d 5893 . . . . . . . 8 |- ( w = d -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3837eqeq2d 2189 . . . . . . 7 |- ( w = d -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
3934, 38cbvrex2vw 2717 . . . . . 6 |- ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
40 eqeq1 2184 . . . . . . 7 |- ( n = A -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
41402rexbidv 2502 . . . . . 6 |- ( n = A -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4239, 41bitrid 192 . . . . 5 |- ( n = A -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
43422rexbidv 2502 . . . 4 |- ( n = A -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4430, 43bitrid 192 . . 3 |- ( n = A -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4519, 44elab3 2891 . 2 |- ( A e. { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) } <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
462, 45bitri 184 1 |- ( A e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   E.wrex 2456   _Vcvv 2739  (class class class)co 5877   + caddc 7816   2c2 8972   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ^cexp 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-exp 10522
This theorem is referenced by:  4sqlem3  12390  4sqlem4  12392
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