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Theorem 4sqlem2 12315
Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . Change bound variables in S. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem2 |- ( A e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:   a, b, c, d, n, w, x, y, z   A, a, b, c, d, n   S, a, b, c, d, n
Allowed substitution hints:   A( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)
Proof of Theorem 4sqlem2
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
21eleq2i 2232 . 2 |- ( A e. S <-> A e. { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) } )
3 zsqcl2 10528 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. ZZ -> ( a ^ 2 ) e. NN0 )
43ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( a ^ 2 ) e. NN0 )
5 zsqcl2 10528 . . . . . . . . . 10 |- ( b e. ZZ -> ( b ^ 2 ) e. NN0 )
65ad2antlr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( b ^ 2 ) e. NN0 )
74, 6nn0addcld 9167 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) e. NN0 )
8 zsqcl2 10528 . . . . . . . . . 10 |- ( c e. ZZ -> ( c ^ 2 ) e. NN0 )
98ad2antrl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( c ^ 2 ) e. NN0 )
10 zsqcl2 10528 . . . . . . . . . 10 |- ( d e. ZZ -> ( d ^ 2 ) e. NN0 )
1110ad2antll 483 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( d ^ 2 ) e. NN0 )
129, 11nn0addcld 9167 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) e. NN0 )
137, 12nn0addcld 9167 . . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
14 eleq1 2228 . . . . . . 7 |- ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> ( A e. NN0 <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) e. NN0 ) )
1513, 14syl5ibrcom 156 . . . . . 6 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. NN0 ) )
16 elex 2736 . . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> A e. _V )
1715, 16syl6 33 . . . . 5 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V ) )
1817rexlimdvva 2590 . . . 4 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V ) )
1918rexlimivv 2588 . . 3 |- ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V )
20 oveq1 5848 . . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( x ^ 2 ) = ( a ^ 2 ) )
2120oveq1d 5856 . . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
2221oveq1d 5856 . . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
2322eqeq2d 2177 . . . . . 6 |- ( x = a -> ( n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
24232rexbidv 2490 . . . . 5 |- ( x = a -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
25 oveq1 5848 . . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( y ^ 2 ) = ( b ^ 2 ) )
2625oveq2d 5857 . . . . . . . 8 |- ( y = b -> ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
2726oveq1d 5856 . . . . . . 7 |- ( y = b -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
2827eqeq2d 2177 . . . . . 6 |- ( y = b -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
29282rexbidv 2490 . . . . 5 |- ( y = b -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
3024, 29cbvrex2vw 2703 . . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
31 oveq1 5848 . . . . . . . . . 10 |- ( z = c -> ( z ^ 2 ) = ( c ^ 2 ) )
3231oveq1d 5856 . . . . . . . . 9 |- ( z = c -> ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) = ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 5857 . . . . . . . 8 |- ( z = c -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
3433eqeq2d 2177 . . . . . . 7 |- ( z = c -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
35 oveq1 5848 . . . . . . . . . 10 |- ( w = d -> ( w ^ 2 ) = ( d ^ 2 ) )
3635oveq2d 5857 . . . . . . . . 9 |- ( w = d -> ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) = ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
3736oveq2d 5857 . . . . . . . 8 |- ( w = d -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3837eqeq2d 2177 . . . . . . 7 |- ( w = d -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
3934, 38cbvrex2vw 2703 . . . . . 6 |- ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
40 eqeq1 2172 . . . . . . 7 |- ( n = A -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
41402rexbidv 2490 . . . . . 6 |- ( n = A -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4239, 41syl5bb 191 . . . . 5 |- ( n = A -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
43422rexbidv 2490 . . . 4 |- ( n = A -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4430, 43syl5bb 191 . . 3 |- ( n = A -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4519, 44elab3 2877 . 2 |- ( A e. { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) } <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
462, 45bitri 183 1 |- ( A e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   E.wrex 2444   _Vcvv 2725  (class class class)co 5841   + caddc 7752   2c2 8904   NN0cn0 9110   ZZcz 9187   ^cexp 10450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-seqfrec 10377  df-exp 10451
This theorem is referenced by:  4sqlem3  12316  4sqlem4  12318
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