ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4sqlem2 Unicode version
Theorem 4sqlem2 12345
Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . Change bound variables in S. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem2 |- ( A e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:   a, b, c, d, n, w, x, y, z   A, a, b, c, d, n   S, a, b, c, d, n
Allowed substitution hints:   A( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)
Proof of Theorem 4sqlem2
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
21eleq2i 2238 . 2 |- ( A e. S <-> A e. { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) } )
3 zsqcl2 10557 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. ZZ -> ( a ^ 2 ) e. NN0 )
43ad2antrr 486 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( a ^ 2 ) e. NN0 )
5 zsqcl2 10557 . . . . . . . . . 10 |- ( b e. ZZ -> ( b ^ 2 ) e. NN0 )
65ad2antlr 487 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( b ^ 2 ) e. NN0 )
74, 6nn0addcld 9196 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) e. NN0 )
8 zsqcl2 10557 . . . . . . . . . 10 |- ( c e. ZZ -> ( c ^ 2 ) e. NN0 )
98ad2antrl 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( c ^ 2 ) e. NN0 )
10 zsqcl2 10557 . . . . . . . . . 10 |- ( d e. ZZ -> ( d ^ 2 ) e. NN0 )
1110ad2antll 489 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( d ^ 2 ) e. NN0 )
129, 11nn0addcld 9196 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) e. NN0 )
137, 12nn0addcld 9196 . . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
14 eleq1 2234 . . . . . . 7 |- ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> ( A e. NN0 <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) e. NN0 ) )
1513, 14syl5ibrcom 156 . . . . . 6 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. NN0 ) )
16 elex 2742 . . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> A e. _V )
1715, 16syl6 33 . . . . 5 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V ) )
1817rexlimdvva 2596 . . . 4 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V ) )
1918rexlimivv 2594 . . 3 |- ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V )
20 oveq1 5864 . . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( x ^ 2 ) = ( a ^ 2 ) )
2120oveq1d 5872 . . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
2221oveq1d 5872 . . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
2322eqeq2d 2183 . . . . . 6 |- ( x = a -> ( n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
24232rexbidv 2496 . . . . 5 |- ( x = a -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
25 oveq1 5864 . . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( y ^ 2 ) = ( b ^ 2 ) )
2625oveq2d 5873 . . . . . . . 8 |- ( y = b -> ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
2726oveq1d 5872 . . . . . . 7 |- ( y = b -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
2827eqeq2d 2183 . . . . . 6 |- ( y = b -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
29282rexbidv 2496 . . . . 5 |- ( y = b -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
3024, 29cbvrex2vw 2709 . . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
31 oveq1 5864 . . . . . . . . . 10 |- ( z = c -> ( z ^ 2 ) = ( c ^ 2 ) )
3231oveq1d 5872 . . . . . . . . 9 |- ( z = c -> ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) = ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 5873 . . . . . . . 8 |- ( z = c -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
3433eqeq2d 2183 . . . . . . 7 |- ( z = c -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
35 oveq1 5864 . . . . . . . . . 10 |- ( w = d -> ( w ^ 2 ) = ( d ^ 2 ) )
3635oveq2d 5873 . . . . . . . . 9 |- ( w = d -> ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) = ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
3736oveq2d 5873 . . . . . . . 8 |- ( w = d -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3837eqeq2d 2183 . . . . . . 7 |- ( w = d -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
3934, 38cbvrex2vw 2709 . . . . . 6 |- ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
40 eqeq1 2178 . . . . . . 7 |- ( n = A -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
41402rexbidv 2496 . . . . . 6 |- ( n = A -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4239, 41bitrid 191 . . . . 5 |- ( n = A -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
43422rexbidv 2496 . . . 4 |- ( n = A -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4430, 43bitrid 191 . . 3 |- ( n = A -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4519, 44elab3 2883 . 2 |- ( A e. { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) } <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
462, 45bitri 183 1 |- ( A e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1349   e. wcel 2142   {cab 2157   E.wrex 2450   _Vcvv 2731  (class class class)co 5857   + caddc 7781   2c2 8933   NN0cn0 9139   ZZcz 9216   ^cexp 10479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-mulrcl 7877  ax-addcom 7878  ax-mulcom 7879  ax-addass 7880  ax-mulass 7881  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-1rid 7885  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-precex 7888  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-apti 7893  ax-pre-ltadd 7894  ax-pre-mulgt0 7895  ax-pre-mulext 7896
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-po 4282  df-iso 4283  df-iord 4352  df-on 4354  df-ilim 4355  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-frec 6374  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-reap 8498  df-ap 8505  df-div 8594  df-inn 8883  df-2 8941  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-seqfrec 10406  df-exp 10480
This theorem is referenced by:  4sqlem3  12346  4sqlem4  12348
  Copyright terms: Public domain W3C validator