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Theorem 4sqlem2 12583
Description: Lemma for 4sq 12604. Change bound variables in S. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem2 |- ( A e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:   a, b, c, d, n, w, x, y, z   A, a, b, c, d, n   S, a, b, c, d, n
Allowed substitution hints:   A( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)
Proof of Theorem 4sqlem2
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
21eleq2i 2263 . 2 |- ( A e. S <-> A e. { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) } )
3 zsqcl2 10726 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. ZZ -> ( a ^ 2 ) e. NN0 )
43ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( a ^ 2 ) e. NN0 )
5 zsqcl2 10726 . . . . . . . . . 10 |- ( b e. ZZ -> ( b ^ 2 ) e. NN0 )
65ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( b ^ 2 ) e. NN0 )
74, 6nn0addcld 9323 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) e. NN0 )
8 zsqcl2 10726 . . . . . . . . . 10 |- ( c e. ZZ -> ( c ^ 2 ) e. NN0 )
98ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( c ^ 2 ) e. NN0 )
10 zsqcl2 10726 . . . . . . . . . 10 |- ( d e. ZZ -> ( d ^ 2 ) e. NN0 )
1110ad2antll 491 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( d ^ 2 ) e. NN0 )
129, 11nn0addcld 9323 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) e. NN0 )
137, 12nn0addcld 9323 . . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
14 eleq1 2259 . . . . . . 7 |- ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> ( A e. NN0 <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) e. NN0 ) )
1513, 14syl5ibrcom 157 . . . . . 6 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. NN0 ) )
16 elex 2774 . . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> A e. _V )
1715, 16syl6 33 . . . . 5 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V ) )
1817rexlimdvva 2622 . . . 4 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V ) )
1918rexlimivv 2620 . . 3 |- ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V )
20 oveq1 5932 . . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( x ^ 2 ) = ( a ^ 2 ) )
2120oveq1d 5940 . . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
2221oveq1d 5940 . . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
2322eqeq2d 2208 . . . . . 6 |- ( x = a -> ( n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
24232rexbidv 2522 . . . . 5 |- ( x = a -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
25 oveq1 5932 . . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( y ^ 2 ) = ( b ^ 2 ) )
2625oveq2d 5941 . . . . . . . 8 |- ( y = b -> ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
2726oveq1d 5940 . . . . . . 7 |- ( y = b -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
2827eqeq2d 2208 . . . . . 6 |- ( y = b -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
29282rexbidv 2522 . . . . 5 |- ( y = b -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
3024, 29cbvrex2vw 2741 . . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
31 oveq1 5932 . . . . . . . . . 10 |- ( z = c -> ( z ^ 2 ) = ( c ^ 2 ) )
3231oveq1d 5940 . . . . . . . . 9 |- ( z = c -> ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) = ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 5941 . . . . . . . 8 |- ( z = c -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
3433eqeq2d 2208 . . . . . . 7 |- ( z = c -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
35 oveq1 5932 . . . . . . . . . 10 |- ( w = d -> ( w ^ 2 ) = ( d ^ 2 ) )
3635oveq2d 5941 . . . . . . . . 9 |- ( w = d -> ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) = ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
3736oveq2d 5941 . . . . . . . 8 |- ( w = d -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3837eqeq2d 2208 . . . . . . 7 |- ( w = d -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
3934, 38cbvrex2vw 2741 . . . . . 6 |- ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
40 eqeq1 2203 . . . . . . 7 |- ( n = A -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
41402rexbidv 2522 . . . . . 6 |- ( n = A -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4239, 41bitrid 192 . . . . 5 |- ( n = A -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
43422rexbidv 2522 . . . 4 |- ( n = A -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4430, 43bitrid 192 . . 3 |- ( n = A -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4519, 44elab3 2916 . 2 |- ( A e. { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) } <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
462, 45bitri 184 1 |- ( A e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   E.wrex 2476   _Vcvv 2763  (class class class)co 5925   + caddc 7899   2c2 9058   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ^cexp 10647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557  df-exp 10648
This theorem is referenced by:  4sqlem3  12584  4sqlem4  12586  4sqlem18  12602  4sq  12604
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