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Theorem 4sqlem2 12421
Description: Lemma for 4sq 12442. Change bound variables in S. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem2 |- ( A e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:   a, b, c, d, n, w, x, y, z   A, a, b, c, d, n   S, a, b, c, d, n
Allowed substitution hints:   A( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)
Proof of Theorem 4sqlem2
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
21eleq2i 2256 . 2 |- ( A e. S <-> A e. { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) } )
3 zsqcl2 10629 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. ZZ -> ( a ^ 2 ) e. NN0 )
43ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( a ^ 2 ) e. NN0 )
5 zsqcl2 10629 . . . . . . . . . 10 |- ( b e. ZZ -> ( b ^ 2 ) e. NN0 )
65ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( b ^ 2 ) e. NN0 )
74, 6nn0addcld 9263 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) e. NN0 )
8 zsqcl2 10629 . . . . . . . . . 10 |- ( c e. ZZ -> ( c ^ 2 ) e. NN0 )
98ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( c ^ 2 ) e. NN0 )
10 zsqcl2 10629 . . . . . . . . . 10 |- ( d e. ZZ -> ( d ^ 2 ) e. NN0 )
1110ad2antll 491 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( d ^ 2 ) e. NN0 )
129, 11nn0addcld 9263 . . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) e. NN0 )
137, 12nn0addcld 9263 . . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
14 eleq1 2252 . . . . . . 7 |- ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> ( A e. NN0 <-> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) e. NN0 ) )
1513, 14syl5ibrcom 157 . . . . . 6 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. NN0 ) )
16 elex 2763 . . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> A e. _V )
1715, 16syl6 33 . . . . 5 |- ( ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V ) )
1817rexlimdvva 2615 . . . 4 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V ) )
1918rexlimivv 2613 . . 3 |- ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> A e. _V )
20 oveq1 5903 . . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( x ^ 2 ) = ( a ^ 2 ) )
2120oveq1d 5911 . . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
2221oveq1d 5911 . . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
2322eqeq2d 2201 . . . . . 6 |- ( x = a -> ( n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
24232rexbidv 2515 . . . . 5 |- ( x = a -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
25 oveq1 5903 . . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( y ^ 2 ) = ( b ^ 2 ) )
2625oveq2d 5912 . . . . . . . 8 |- ( y = b -> ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) )
2726oveq1d 5911 . . . . . . 7 |- ( y = b -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
2827eqeq2d 2201 . . . . . 6 |- ( y = b -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
29282rexbidv 2515 . . . . 5 |- ( y = b -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
3024, 29cbvrex2vw 2730 . . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
31 oveq1 5903 . . . . . . . . . 10 |- ( z = c -> ( z ^ 2 ) = ( c ^ 2 ) )
3231oveq1d 5911 . . . . . . . . 9 |- ( z = c -> ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) = ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 5912 . . . . . . . 8 |- ( z = c -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) )
3433eqeq2d 2201 . . . . . . 7 |- ( z = c -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) ) )
35 oveq1 5903 . . . . . . . . . 10 |- ( w = d -> ( w ^ 2 ) = ( d ^ 2 ) )
3635oveq2d 5912 . . . . . . . . 9 |- ( w = d -> ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) = ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) )
3736oveq2d 5912 . . . . . . . 8 |- ( w = d -> ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
3837eqeq2d 2201 . . . . . . 7 |- ( w = d -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
3934, 38cbvrex2vw 2730 . . . . . 6 |- ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
40 eqeq1 2196 . . . . . . 7 |- ( n = A -> ( n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
41402rexbidv 2515 . . . . . 6 |- ( n = A -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4239, 41bitrid 192 . . . . 5 |- ( n = A -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
43422rexbidv 2515 . . . 4 |- ( n = A -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4430, 43bitrid 192 . . 3 |- ( n = A -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) )
4519, 44elab3 2904 . 2 |- ( A e. { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) } <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
462, 45bitri 184 1 |- ( A e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ A = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cab 2175   E.wrex 2469   _Vcvv 2752  (class class class)co 5896   + caddc 7844   2c2 9000   NN0cn0 9206   ZZcz 9283   ^cexp 10550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-seqfrec 10477  df-exp 10551
This theorem is referenced by:  4sqlem3  12422  4sqlem4  12424  4sqlem18  12440  4sq  12442
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