Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0opthd Unicode version

Theorem nn0opthd 10468
 Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers and by . If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 3536 that works for any set. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opthd.1
nn0opthd.2
nn0opthd.3
nn0opthd.4
Assertion
Ref Expression
nn0opthd

Proof of Theorem nn0opthd
StepHypRef Expression
1 nn0opthd.1 . . . . . . . . . . . . . . 15
2 nn0opthd.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
3 nn0opthd.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 nn0opthd.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53, 4nn0addcld 9034 . . . . . . . . . . . . . . 15
61, 2, 5, 4nn0opthlem2d 10467 . . . . . . . . . . . . . 14
76imp 123 . . . . . . . . . . . . 13
87necomd 2394 . . . . . . . . . . . 12
98ex 114 . . . . . . . . . . 11
101, 2nn0addcld 9034 . . . . . . . . . . . 12
113, 4, 10, 2nn0opthlem2d 10467 . . . . . . . . . . 11
129, 11jaod 706 . . . . . . . . . 10
1310nn0red 9031 . . . . . . . . . . 11
145nn0red 9031 . . . . . . . . . . 11
15 reaplt 8350 . . . . . . . . . . 11 #
1613, 14, 15syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 #
1710, 10nn0mulcld 9035 . . . . . . . . . . . . 13
1817, 2nn0addcld 9034 . . . . . . . . . . . 12
1918nn0zd 9171 . . . . . . . . . . 11
205, 5nn0mulcld 9035 . . . . . . . . . . . . 13
2120, 4nn0addcld 9034 . . . . . . . . . . . 12
2221nn0zd 9171 . . . . . . . . . . 11
23 zapne 9125 . . . . . . . . . . 11 #
2419, 22, 23syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 #
2512, 16, 243imtr4d 202 . . . . . . . . 9 # #
2625con3d 620 . . . . . . . 8 # #
2718nn0cnd 9032 . . . . . . . . 9
2821nn0cnd 9032 . . . . . . . . 9
29 apti 8384 . . . . . . . . 9 #
3027, 28, 29syl2anc 408 . . . . . . . 8 #
3110nn0cnd 9032 . . . . . . . . 9
325nn0cnd 9032 . . . . . . . . 9
33 apti 8384 . . . . . . . . 9 #
3431, 32, 33syl2anc 408 . . . . . . . 8 #
3526, 30, 343imtr4d 202 . . . . . . 7
3635imp 123 . . . . . 6
37 simpr 109 . . . . . . . . 9
3836, 36oveq12d 5792 . . . . . . . . . 10
3938oveq1d 5789 . . . . . . . . 9
4037, 39eqtr4d 2175 . . . . . . . 8
4131, 31mulcld 7786 . . . . . . . . . 10
422nn0cnd 9032 . . . . . . . . . 10
434nn0cnd 9032 . . . . . . . . . 10
4441, 42, 43addcand 7946 . . . . . . . . 9
4544adantr 274 . . . . . . . 8
4640, 45mpbid 146 . . . . . . 7
4746oveq2d 5790 . . . . . 6
4836, 47eqtr4d 2175 . . . . 5
491nn0cnd 9032 . . . . . . 7
503nn0cnd 9032 . . . . . . 7
5149, 50, 42addcan2d 7947 . . . . . 6
5251adantr 274 . . . . 5
5348, 52mpbid 146 . . . 4
5453, 46jca 304 . . 3
5554ex 114 . 2
56 oveq12 5783 . . . 4
5756, 56oveq12d 5792 . . 3
58 simpr 109 . . 3
5957, 58oveq12d 5792 . 2
6055, 59impbid1 141 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 697   wceq 1331   wcel 1480   wne 2308   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cc 7618  cr 7619   caddc 7623   cmul 7625   clt 7800   # cap 8343  cn0 8977  cz 9054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219  df-exp 10293 This theorem is referenced by:  nn0opth2d  10469
 Copyright terms: Public domain W3C validator